Расстояние между двумя прямыми в пространстве

Рассмотрим две прямые в пространстве L₁ и L₂ такой, что L₁ проходит через точку P₁ и параллельна вектору v₁ и L₂ проходит через точку P₂ и параллельна вектору v₂. Вычислим наименьшее расстояние D между двумя прямыми.

Если две прямые пересекаются, то ясно, что D = 0. Если они не пересекаются и параллельны, то D соответствует расстоянию между точкой P₂ и прямой L₁ и задается

Предположим, что прямые не параллельны и не пересекаются (косые прямые), и пусть вектор n = v1 ×v2 будет перпендикулярен двум прямы. Проекция вектора P1P2 над векторомn даст нам D, i.e.,

Формула

Пример

Рассмотрим две прямыеL₁ : x = 0, y = −t, z = t и L₂ : x = 1 + 2s, y = s, z = −3s. Прямые являются косыми по отношению друг к другу. Пусть P₁ = (0, 0, 0), вектор v1 = (0, −1, 1), P₂ = (2, 1, −3). Затем, вектор P1P2 = (1, 0, 0) и вектор n = v1 × v2 = (2, 2, 2). Мы получаем