{"id":164,"date":"2026-10-03T13:25:39","date_gmt":"2026-10-03T12:25:39","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/kragtraeger-moment\/"},"modified":"2026-10-03T13:25:39","modified_gmt":"2026-10-03T12:25:39","slug":"kragtraeger-moment","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/ingenieurwesen\/kragtraeger-moment\/","title":{"rendered":"Kragtr\u00e4ger mit aufgepr\u00e4gtem Moment \u2013 Rechner"},"content":{"rendered":"\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Formel f\u00fcr Kragtr\u00e4ger mit aufgepr\u00e4gtem Moment<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Formel<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ \\theta_{free} = \\frac{M \\cdot L}{E \\cdot I} \\]\n\\[ \\delta_x = \\frac{M \\cdot x^2}{2 \\cdot E \\cdot I} \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>mit:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(M\\) \u2014 am freien Ende angreifendes Moment (Kr\u00e4ftepaar) (lb\u00b7in oder N\u00b7m)<\/li>\n<li>\\(L\\) \u2014 L\u00e4nge des Balkens, vom eingespannten Ende bis zum freien Ende (in oder m)<\/li>\n<li>\\(x\\) \u2014 Abstand vom eingespannten Ende bis zu der Stelle, an der die Durchbiegung berechnet wird (in oder m)<\/li>\n<li>\\(E\\) \u2014 Elastizit\u00e4tsmodul (E-Modul) des Materials (psi oder Pa)<\/li>\n<li>\\(I\\) \u2014 Fl\u00e4chentr\u00e4gheitsmoment des Balkenquerschnitts (in\u2074 oder m\u2074)<\/li>\n<li>\\(\\theta_{free}\\) \u2014 Neigung (Drehwinkel) am freien Ende, im Bogenma\u00df (Radiant)<\/li>\n<li>\\(\\delta_x\\) \u2014 vertikale Durchbiegung an der Position \\(x\\)<\/li>\n<\/ul>\n<p>Da das aufgepr\u00e4gte Moment entlang des gesamten Balkens ein konstantes Biegemoment erzeugt, ist die Kr\u00fcmmung gleichm\u00e4\u00dfig: Die verformte Biegelinie ist ein Kreisbogen, sodass die Durchbiegung mit dem Quadrat des Abstands vom eingespannten Ende zunimmt.<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Kragtr\u00e4ger mit aufgepr\u00e4gtem Moment \u2013 Rechenbeispiel<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Beispiel:<\/strong> Ein Stahl-Kragtr\u00e4ger mit einer L\u00e4nge von 120 in tr\u00e4gt an seinem freien Ende ein im Uhrzeigersinn wirkendes Moment (Kr\u00e4ftepaar) von 500 lb\u00b7in. Der Stahl hat einen Elastizit\u00e4tsmodul von 29.000.000 psi, und der Querschnitt ein Fl\u00e4chentr\u00e4gheitsmoment von 100 in\u2074. Gesucht sind die Neigung am freien Ende und die Durchbiegung 60 in von der Einspannung entfernt.<\/p>\n<p>\\[ \\theta_{free} = \\frac{M \\cdot L}{E \\cdot I} = \\frac{500 \\times 120}{29{,}000{,}000 \\times 100} = 2.07 \\times 10^{-5}\\ \\text{rad} \\]<\/p>\n<p>\\[ \\delta_{60} = \\frac{M \\cdot x^2}{2 \\cdot E \\cdot I} = \\frac{500 \\times 60^2}{2 \\times 29{,}000{,}000 \\times 100} = 3.10 \\times 10^{-4}\\ \\text{in} \\]<\/p>\n<p><strong>Ergebnis:<\/strong> Die Neigung am freien Ende betr\u00e4gt etwa 0,0000207 Radiant (0,00119\u00b0), und die Durchbiegung 60 in vom eingespannten Ende betr\u00e4gt rund 0,00031 in.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>So benutzen Sie den Rechner<\/h2>\n<ol>\n<li>Geben Sie das <strong>Moment (Kr\u00e4ftepaar) am freien Ende<\/strong> \\(M\\) ein, das reine Moment, das am Ende des Kragtr\u00e4gers angreift.<\/li>\n<li>Geben Sie den <strong>Elastizit\u00e4tsmodul<\/strong> \\(E\\) des Balkenmaterials ein (zum Beispiel 29.000.000 psi f\u00fcr Stahl oder 4.350.000 psi f\u00fcr Beton).<\/li>\n<li>Geben Sie das <strong>Fl\u00e4chentr\u00e4gheitsmoment<\/strong> \\(I\\) des Querschnitts bezogen auf die Biegeachse ein.<\/li>\n<li>Geben Sie die <strong>L\u00e4nge des Balkens<\/strong> \\(L\\) ein, gemessen von der Einspannung bis zum freien Ende.<\/li>\n<li>Geben Sie die <strong>Position der Last<\/strong> \\(x\\) ein, den Abstand vom eingespannten Ende, an dem Sie die Durchbiegung w\u00fcnschen. Dr\u00fccken Sie auf Berechnen, um die <strong>Neigung am freien Ende<\/strong> (im Bogenma\u00df) und die <strong>Durchbiegung<\/strong> an der gew\u00e4hlten Stelle zu erhalten.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Was ist ein Kragtr\u00e4ger mit aufgepr\u00e4gtem Moment?<\/h2>\n<p>Ein Kragtr\u00e4ger ist an einem Ende eingespannt und am anderen Ende vollst\u00e4ndig frei. Anders als eine Einzellast oder eine Gleichlast ist ein Moment (Kr\u00e4ftepaar) ein reines Moment \u2014 ein Paar gleich gro\u00dfer, entgegengesetzt gerichteter Kr\u00e4fte, das eine Verdrehung ohne resultierende Kraft erzeugt. Wird ein solches Moment am freien Ende eines Kragtr\u00e4gers aufgebracht, entsteht ein konstantes Biegemoment \\(M\\) \u00fcber die gesamte L\u00e4nge des Balkens.<\/p>\n<p>Dieser Lastfall zeigt ein charakteristisches Verhalten: Da das Biegemoment in jedem Querschnitt gleich gro\u00df ist, biegt sich der Balken zu einem Kreisbogen mit konstanter Kr\u00fcmmung \\(M \/ (EI)\\). Die Neigung w\u00e4chst linear von null am eingespannten Ende bis zum Maximum \\(ML\/(EI)\\) am freien Ende, w\u00e4hrend die Durchbiegung mit dem Quadrat des Abstands zunimmt und am Endpunkt \\(ML^2\/(2EI)\\) erreicht. Beachten Sie, dass im gesamten Balken keine Querkraft auftritt \u2014 nur Biegung.<\/p>\n<p>In der Praxis tritt dieser Fall \u00fcberall dort auf, wo ein reines Moment auf das Ende eines Balkens \u00fcbertragen wird: eine Maschinenwelle, die ein biegeerzeugendes Moment einleitet, ein angeschlossener Rahmen oder eine exzentrische Last, die als Moment idealisiert werden kann. Er ist zudem ein Grundbaustein der Momentenfl\u00e4chen- und Superpositionsmethode zur Analyse komplexerer Lastf\u00e4lle \u2014 weshalb er in nahezu jeder Vorlesung \u00fcber Festigkeitslehre vorkommt.<\/p>\n<p>Die Ergebnisse liefern f\u00fcr die Bemessung zwei Informationen: Die Neigung am freien Ende zeigt, wie stark sich der Balken endpunkt verdreht (wichtig f\u00fcr Anschl\u00fcsse, Ausrichtung und Maschinen), und die Durchbiegung zeigt, wie stark sich der Balken an jeder Stelle vertikal verschiebt. Bemessungsnormen begrenzen Durchbiegungen typischerweise auf einen Bruchteil der Spannweite \u2014 zum Beispiel L\/360. Vergleichen Sie die berechnete Durchbiegung daher immer mit dem ma\u00dfgebenden Grenzwert Ihrer Konstruktion.<\/p>\n<h2>Annahmen und Grenzen<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Kleine Durchbiegungen:<\/strong> Die Formeln setzen linear-elastisches Verhalten und kleine Verdrehungen voraus; die Neigungen werden im Bogenma\u00df angegeben, und die verformte Biegelinie wird nur genau angen\u00e4hert, wenn \\(\\delta \\ll L\\).<\/li>\n<li>Die Schubverformung wird vernachl\u00e4ssigt; die Ergebnisse beruhen auf der Euler-Bernoulli-Balkentheorie, die f\u00fcr schlanke Balken geeignet ist (Verh\u00e4ltnis Spannweite zu H\u00f6he typischerweise gr\u00f6\u00dfer als 10).<\/li>\n<li>Das Material ist homogen, isotrop und linear-elastisch mit konstantem \\(E\\); der Querschnitt ist prismatisch mit konstantem \\(I\\).<\/li>\n<li>Die Einspannung wird als v\u00f6llig starr und vollst\u00e4ndig eingespannt angenommen. Reale Anschl\u00fcsse haben eine gewisse Nachgiebigkeit, was die tats\u00e4chlichen Durchbiegungen vergr\u00f6\u00dfert.<\/li>\n<li>Ber\u00fccksichtigt wird nur das aufgepr\u00e4gte Moment. Wirken weitere Lasten gleichzeitig auf den Balken \u2014 Einzellasten, Gleichlasten \u2014, f\u00fcgen Sie deren Wirkung per Superposition hinzu und pr\u00fcfen Sie das Gesamtergebnis gegen Durchbiegungs- und Festigkeitsgrenzen, etwa die <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/ingenieurwesen\/maximale-verkehrslast-bodenplatte\/\">maximale Verkehrslast von Decken<\/a>.<\/li>\n<li>Halten Sie die Einheiten konsistent: Wenn \\(E\\) in psi und die Abmessungen in Zoll vorliegen, muss das Moment in lb\u00b7in angegeben werden; die Ergebnisse erscheinen dann im Bogenma\u00df und in Zoll. Die Vermischung von Einheitensystemen liefert sinnlose Ergebnisse.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Zur schnellen Plausibilit\u00e4tspr\u00fcfung: Die maximale Durchbiegung am freien Ende ist einfach \\(ML^2\/(2EI)\\) \u2014 setzen Sie im Rechner \\(x = L\\), um dies nachzupr\u00fcfen. Wenn Sie auch zugeh\u00f6rige Bauteile bemessen, helfen unsere Rechner zur <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/ingenieurwesen\/betonplatte-maximale-laenge\/\">maximalen Betonplattenl\u00e4nge<\/a> und zur <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/ingenieurwesen\/betonplatte-maximale-wandlast\/\">maximalen Wandlast auf Betonplatten<\/a>, die Nachweise abzurunden.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Berechnen Sie die Neigung am freien Ende und die Durchbiegung an jeder Stelle eines Kragtr\u00e4gers, der mit einem aufgepr\u00e4gten Moment (Kr\u00e4ftepaar) belastet wird. Geben Sie das Moment, den Elastizit\u00e4tsmodul, das Fl\u00e4chentr\u00e4gheitsmoment, die L\u00e4nge und die betrachtete Position ein.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[29],"class_list":["post-164","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-ingenieurwesen","tag-bauingenieurwesen"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/164","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=164"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/164\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2162,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/164\/revisions\/2162"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=164"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=164"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=164"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}