{"id":33,"date":"2026-10-03T11:04:37","date_gmt":"2026-10-03T10:04:37","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/3d-vektor-betrag\/"},"modified":"2026-10-03T11:04:37","modified_gmt":"2026-10-03T10:04:37","slug":"3d-vektor-betrag","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/3d-vektor-betrag\/","title":{"rendered":"Betrag eines 3D-Vektors berechnen"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Betrag eines 3D-Vektors berechnen Rechner<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"33\" data-favorite-title=\"3D-Vektorbetrag\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/3d-vektor-betrag\/\" data-favorite-excerpt=\"Bestimmen Sie sofort die L\u00e4nge (den Betrag) eines beliebigen 3D-Vektors. Geben Sie die x-, y- und z-Komponenten ein, und der Rechner liefert den euklidischen Betrag mithilfe des dreidimensionalen Satzes des Pythagoras.\" aria-label=\"Zu Favoriten hinzuf\u00fcgen\" data-favorite-icon=\"icon icon-geometry\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/3d-vektor-betrag\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-33\" data-post=\"33\"><fieldset class=\"fieldset-input is-3\"><legend class=\"sr-only\">Eingabefelder<\/legend><div class=\"field\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Vektor X<\/label><input type=\"number\" name=\"vektor_x\" id=\"field-1\" placeholder=\"3\" step=\"1\" value=\"3\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">Vektor Y<\/label><input type=\"number\" name=\"vektor_y\" id=\"field-2\" placeholder=\"4\" step=\"1\" value=\"4\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">Vektor Z<\/label><input type=\"number\" name=\"vektor_z\" id=\"field-3\" placeholder=\"5\" step=\"1\" value=\"5\"\/><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Neu berechnen\" id=\"calculate-button\" data-post=\"33\">Berechnen<\/button><button type=\"reset\">Zur\u00fccksetzen<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Automatisch berechnen<\/label><small>Wenn aktiviert, wird das Ergebnis automatisch aktualisiert, sobald Sie einen Wert \u00e4ndern.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Ihre Ergebnisse<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Betrag<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 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aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Gef\u00e4llt mir <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Hilfreich <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Verwirrt <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Entt\u00e4uscht <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Ungenau <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Formel f\u00fcr den Betrag eines 3D-Vektors<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Formel<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ \\| \\vec{v} \\| = \\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>Dabei gilt:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(x\\) \u2014 Komponente des Vektors entlang der x-Achse<\/li>\n<li>\\(y\\) \u2014 Komponente des Vektors entlang der y-Achse<\/li>\n<li>\\(z\\) \u2014 Komponente des Vektors entlang der z-Achse<\/li>\n<li>\\(\\| \\vec{v} \\|\\) \u2014 Betrag (L\u00e4nge) des Vektors \\(\\vec{v} = (x, y, z)\\)<\/li>\n<\/ul>\n<p>Die Formel liefert die euklidische L\u00e4nge eines Vektors im dreidimensionalen Raum: Jede Komponente wird quadriert, die Quadrate werden addiert und aus der Summe wird die Quadratwurzel gezogen. Es handelt sich um eine direkte Erweiterung des Satzes des Pythagoras auf drei Dimensionen.<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Betrag eines 3D-Vektors \u2013 Rechenbeispiel<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Beispiel:<\/strong> Ein Vektor hat die Komponenten \\(x = 3\\), \\(y = 4\\) und \\(z = 5\\). Berechnen Sie seinen Betrag.<\/p>\n<p>\\[ \\| \\vec{v} \\| = \\sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \\sqrt{9 + 16 + 25} = \\sqrt{50} \\approx 7.071 \\]<\/p>\n<p><strong>Ergebnis:<\/strong> Der Betrag des Vektors betr\u00e4gt ungef\u00e4hr <strong>7,071<\/strong>.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>So verwenden Sie den Rechner f\u00fcr den Betrag eines 3D-Vektors<\/h2>\n<ol>\n<li>Geben Sie die x-Komponente Ihres Vektors in das Feld <strong>Vektor X<\/strong> ein.<\/li>\n<li>Geben Sie die y-Komponente in das Feld <strong>Vektor Y<\/strong> ein.<\/li>\n<li>Geben Sie die z-Komponente in das Feld <strong>Vektor Z<\/strong> ein.<\/li>\n<li>Der <strong>Betrag<\/strong> wird automatisch berechnet und unterhalb der Eingabefelder angezeigt, auf drei Dezimalstellen gerundet.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Alle drei Felder akzeptieren negative Werte und Dezimalzahlen, sodass Vektoren jeder Richtung im 3D-Raum korrekt verarbeitet werden.<\/p>\n<h2>Was ist der Betrag eines 3D-Vektors?<\/h2>\n<p>Ein Vektor im dreidimensionalen Raum hat sowohl eine Richtung als auch eine L\u00e4nge. Die L\u00e4nge \u2014 Betrag, Norm oder euklidische Norm genannt \u2014 gibt an, \u201ewie viel\u201c vom Vektor vorhanden ist, unabh\u00e4ngig davon, wohin er zeigt. Sie wird als \\(\\| \\vec{v} \\|\\) geschrieben, manchmal auch einfach als \\(| \\vec{v} |\\).<\/p>\n<p>Geometrisch entspricht der Betrag dem geradlinigen Abstand vom Ursprung \\((0, 0, 0)\\) bis zum Punkt \\((x, y, z)\\), an dem der Vektor endet. Deshalb ist die Formel nichts anderes als der zweimal angewendete Satz des Pythagoras: zuerst \u00fcber die \\(x\\)- und \\(y\\)-Achsen, dann erweitert \u00fcber die \\(z\\)-Achse. Das Ergebnis ist immer null oder eine positive Zahl \u2014 es ist nie negativ, denn eine L\u00e4nge hat keine Richtung.<\/p>\n<p>Der Betrag ist in vielen praktischen Situationen wichtig. In der Physik ist der Betrag eines Geschwindigkeitsvektors \\(\\vec{v}\\) die Geschwindigkeit; bei einem Kraftvektor ist sein Betrag die St\u00e4rke der Kraft in Newton. In der 3D-Grafik und der Spieleentwicklung gibt der Betrag eines Verschiebungsvektors den Abstand zwischen zwei Punkten an, und er ist der erste Schritt bei der Normierung eines Vektors (jede Komponente wird durch den Betrag geteilt, um einen Einheitsvektor der L\u00e4nge 1 zu erhalten).<\/p>\n<p>Die Interpretation des Ergebnisses ist unkompliziert: Ein gr\u00f6\u00dferer Betrag bedeutet einen l\u00e4ngeren oder st\u00e4rkeren Vektor. Ein Betrag von genau 0 bedeutet, dass es sich um den Nullvektor \\((0, 0, 0)\\) handelt, der gar keine Richtung hat.<\/p>\n<h2>Voraussetzungen, Grenzen und Hinweise<\/h2>\n<ul>\n<li>Der Rechner geht von einem euklidischen Standardraum mit einem orthonormalen \\(x, y, z\\)-Koordinatensystem aus. In verzerrten oder nicht-kartesischen Koordinaten m\u00fcsste die Formel angepasst werden.<\/li>\n<li>Der Betrag ist stets nicht-negativ. Wenn Sie Richtungsinformationen ben\u00f6tigen, stecken diese in den Komponenten selbst \u2014 der Betrag allein sagt nicht aus, wohin der Vektor zeigt.<\/li>\n<li>Das Ergebnis wird auf drei Dezimalstellen gerundet, was f\u00fcr die meisten Hausaufgaben und technischen Aufgaben ausreicht; beachten Sie dies bei Rechnungen, die eine h\u00f6here Genauigkeit erfordern.<\/li>\n<li>Wenn Sie einen Einheitsvektor (L\u00e4nge 1) in derselben Richtung m\u00f6chten, teilen Sie jede Komponente durch den Betrag: \\((x, y, z) \/ \\| \\vec{v} \\|\\).<\/li>\n<li>Bei Vektoren, die nur in der Ebene liegen, setzen Sie \\(z = 0\\) oder verwenden Sie den speziellen <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/2d-vektorbetrag\/\">Rechner f\u00fcr den Betrag eines 2D-Vektors<\/a>.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Verwandte Werkzeuge, die auf Vektoroperationen aufbauen, sind der <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/3d-vektor-skalarprodukt\/\">Rechner f\u00fcr das Skalarprodukt zweier 3D-Vektoren<\/a>, der Betr\u00e4ge zur Berechnung von Skalarprodukten und Winkeln nutzt, sowie der <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/distanz-perspektivische-projektion\/\">Rechner f\u00fcr die perspektivische Projektion von Abst\u00e4nden<\/a> f\u00fcr die Arbeit mit Entfernungen in 3D-Szenen.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Bestimmen Sie sofort die L\u00e4nge (den Betrag) eines beliebigen 3D-Vektors. Geben Sie die x-, y- und z-Komponenten ein, und der Rechner liefert den euklidischen Betrag mithilfe des dreidimensionalen Satzes des Pythagoras.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[8],"tags":[42],"class_list":["post-33","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mathematik","tag-geometrie"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/33","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=33"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/33\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4356,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/33\/revisions\/4356"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=33"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=33"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=33"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}