{"id":35,"date":"2026-10-03T11:05:09","date_gmt":"2026-10-03T10:05:09","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/3d-vektor-skalarprodukt\/"},"modified":"2026-10-03T11:05:09","modified_gmt":"2026-10-03T10:05:09","slug":"3d-vektor-skalarprodukt","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/3d-vektor-skalarprodukt\/","title":{"rendered":"Skalarprodukt von 3D-Vektoren berechnen"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Skalarprodukt von 3D-Vektoren berechnen Rechner<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"35\" data-favorite-title=\"3D-Vektor-Skalarprodukt\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/3d-vektor-skalarprodukt\/\" data-favorite-excerpt=\"Berechnen Sie das Skalarprodukt (Punktprodukt) zweier 3D-Vektoren sofort. Geben Sie die X-, Y- und Z-Komponenten beider Vektoren ein und erhalten Sie das Ergebnis, das zeigt, wie stark die Vektoren in dieselbe Richtung zeigen.\" aria-label=\"Zu Favoriten hinzuf\u00fcgen\" data-favorite-icon=\"icon icon-geometry\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/3d-vektor-skalarprodukt\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-35\" data-post=\"35\"><fieldset class=\"fieldset-input is-3\"><legend class=\"sr-only\">Eingabefelder<\/legend><div class=\"field\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Vektor V1 - X<\/label><input type=\"number\" name=\"vektor_v1_x\" id=\"field-1\" placeholder=\"1\" step=\"1\" value=\"1\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">Vektor V1 - Y<\/label><input type=\"number\" name=\"vektor_v1_y\" id=\"field-2\" placeholder=\"2\" step=\"1\" value=\"2\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">Vektor V1 - Z<\/label><input type=\"number\" name=\"vektor_v1_z\" id=\"field-3\" placeholder=\"3\" step=\"1\" value=\"3\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-4\"><label for=\"field-4\">Vektor V2 - X<\/label><input type=\"number\" name=\"vektor_v2_x\" id=\"field-4\" placeholder=\"4\" step=\"1\" value=\"4\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-5\"><label for=\"field-5\">Vektor V2 - Y<\/label><input type=\"number\" name=\"vektor_v2_y\" id=\"field-5\" placeholder=\"5\" step=\"1\" value=\"5\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-6\"><label for=\"field-6\">Vektor V2 - Z<\/label><input type=\"number\" name=\"vektor_v2_z\" id=\"field-6\" placeholder=\"6\" step=\"1\" value=\"6\"\/><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Neu berechnen\" id=\"calculate-button\" data-post=\"35\">Berechnen<\/button><button type=\"reset\">Zur\u00fccksetzen<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Automatisch berechnen<\/label><small>Wenn aktiviert, wird das Ergebnis automatisch aktualisiert, sobald Sie einen Wert \u00e4ndern.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Ihre Ergebnisse<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Skalarprodukt<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Link zu dieser Berechnung kopieren<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Kommentar schreiben<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"35\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Wie finden Sie dieses Ergebnis?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Gef\u00e4llt mir <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Hilfreich <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Verwirrt <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Entt\u00e4uscht <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Ungenau <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Formel f\u00fcr das Skalarprodukt 3D-Vektoren<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Formel<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ \\vec{A} \\cdot \\vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>Wobei gilt:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(\\vec{A} = (A_x, A_y, A_z)\\) \u2014 der erste Vektor mit seinen X-, Y- und Z-Komponenten<\/li>\n<li>\\(\\vec{B} = (B_x, B_y, B_z)\\) \u2014 der zweite Vektor mit seinen X-, Y- und Z-Komponenten<\/li>\n<\/ul>\n<p>Die Formel multipliziert die entsprechenden Komponenten der beiden Vektoren miteinander und addiert die drei Produkte. Das Ergebnis ist eine einzelne Zahl (ein Skalar), kein Vektor. Eine gleichwertige Form ist \\( \\vec{A} \\cdot \\vec{B} = |\\vec{A}|\\,|\\vec{B}|\\cos\\theta \\), wobei \\(\\theta\\) der Winkel zwischen den Vektoren ist.<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Skalarprodukt 3D-Vektoren \u2013 Rechenbeispiel<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Beispiel:<\/strong> Berechnen Sie das Skalarprodukt von \\( \\vec{V_1} = (1, 2, 3) \\) und \\( \\vec{V_2} = (4, 5, 6) \\).<\/p>\n<p>\\[ \\vec{V_1} \\cdot \\vec{V_2} = (1)(4) + (2)(5) + (3)(6) \\]<\/p>\n<p>\\[ \\vec{V_1} \\cdot \\vec{V_2} = 4 + 10 + 18 = 32 \\]<\/p>\n<p><strong>Ergebnis:<\/strong> Das Skalarprodukt betr\u00e4gt <strong>32<\/strong>.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>So verwenden Sie den Rechner<\/h2>\n<ol>\n<li>Geben Sie die X-, Y- und Z-Komponenten des ersten Vektors in die Felder <strong>Vektor V1 - X<\/strong>, <strong>Vektor V1 - Y<\/strong> und <strong>Vektor V1 - Z<\/strong> ein.<\/li>\n<li>Geben Sie die X-, Y- und Z-Komponenten des zweiten Vektors in die Felder <strong>Vektor V2 - X<\/strong>, <strong>Vektor V2 - Y<\/strong> und <strong>Vektor V2 - Z<\/strong> ein.<\/li>\n<li>Das <strong>Skalarprodukt<\/strong> wird bereits w\u00e4hrend der Eingabe automatisch berechnet \u2014 es muss keine Schaltfl\u00e4che bet\u00e4tigt werden.<\/li>\n<li>Alle sechs Felder akzeptieren Dezimalwerte, einschlie\u00dflich negativer Komponenten, sodass auch Vektoren, die in entgegengesetzte Richtungen zeigen, korrekt verarbeitet werden.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Was ist das Skalarprodukt von 3D-Vektoren?<\/h2>\n<p>Das Skalarprodukt, auch Punktprodukt genannt, ist eine der beiden grundlegenden Arten, Vektoren zu multiplizieren. Im Gegensatz zum Kreuzprodukt, das einen neuen Vektor erzeugt, verdichtet das Punktprodukt zwei Vektoren zu einer einzigen Zahl. Es misst, wie stark die beiden Vektoren in dieselbe Richtung zeigen: Je mehr sie \u00fcbereinstimmen, desto gr\u00f6\u00dfer ist das positive Ergebnis; stehen sie senkrecht aufeinander, ist das Ergebnis exakt null; zeigen sie in entgegengesetzte Richtungen, ist das Ergebnis negativ.<\/p>\n<p>Da \\( \\vec{A} \\cdot \\vec{B} = |\\vec{A}|\\,|\\vec{B}|\\cos\\theta \\) gilt, ist das Skalarprodukt das Standardwerkzeug, um den Winkel zwischen zwei Vektoren im Raum zu bestimmen. Umstellen liefert \\( \\cos\\theta = \\frac{\\vec{A} \\cdot \\vec{B}}{|\\vec{A}||\\vec{B}|} \\), wobei die Betr\u00e4ge aus der 3D-Betragsformel \\( |\\vec{A}| = \\sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2} \\) stammen \u2014 f\u00fcr diesen Schritt siehe unseren <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/3d-vektor-betrag\/\">Rechner f\u00fcr den Betrag eines 3D-Vektors<\/a>.<\/p>\n<p>Das Skalarprodukt begegnet einem \u00fcberall in Physik und Informatik. In der Mechanik ist die von einer konstanten Kraft verrichtete Arbeit das Skalarprodukt aus Kraft und Verschiebung: \\( W = \\vec{F} \\cdot \\vec{d} \\). In der 3D-Grafik treibt es Beleuchtung und Schattierung an, da die Helligkeit einer Oberfl\u00e4che vom Winkel zwischen Lichtrichtung und Fl\u00e4chennormale abh\u00e4ngt. Es wird auch verwendet, um zu pr\u00fcfen, ob zwei Richtungsvektoren orthogonal sind \u2014 ein Skalarprodukt von null ist der schnellste Orthogonalit\u00e4tstest \u00fcberhaupt.<\/p>\n<p>Wenn Sie nur mit Vektoren in der Ebene arbeiten, wird dieselbe Operation mit zwei Komponenten von unserem <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/2d-vektor-skalarprodukt\/\">Rechner f\u00fcr das Skalarprodukt von 2D-Vektoren<\/a> abgedeckt; der Winkel zwischen zwei 2D-Vektoren l\u00e4sst sich mit dem <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/2d-vektor-winkel\/\">Rechner f\u00fcr den Winkel zwischen 2D-Vektoren<\/a> bestimmen.<\/p>\n<h2>Interpretation des Ergebnisses<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Positives Ergebnis<\/strong> \u2014 der Winkel zwischen den Vektoren ist kleiner als 90\u00b0; sie zeigen grob in dieselbe Richtung.<\/li>\n<li><strong>Ergebnis null<\/strong> \u2014 die Vektoren stehen senkrecht aufeinander (orthogonal), oder mindestens einer von ihnen ist der Nullvektor.<\/li>\n<li><strong>Negatives Ergebnis<\/strong> \u2014 der Winkel ist gr\u00f6\u00dfer als 90\u00b0; die Vektoren zeigen grob in entgegengesetzte Richtungen.<\/li>\n<li><strong>Gro\u00dfer Betrag<\/strong> \u2014 die Vektoren sind lang und gut ausgerichtet; der Wert skaliert mit beiden Betr\u00e4gen, daher ist ein direkter Vergleich von Skalarprodukten nur bei Vektoren \u00e4hnlicher L\u00e4nge aussagekr\u00e4ftig.<\/li>\n<\/ul>\n<h2>Annahmen und Einschr\u00e4nkungen<\/h2>\n<p>Der Rechner setzt voraus, dass beide Vektoren im selben rechtsh\u00e4ndigen kartesischen Koordinatensystem mit denselben Einheiten ausgedr\u00fcckt sind. Werden Koordinaten aus unterschiedlichen Bezugssystemen oder Einheitensystemen gemischt, ergibt sich eine bedeutungslose Zahl.<\/p>\n<p>Das Skalarprodukt ist symmetrisch, \\( \\vec{A} \\cdot \\vec{B} = \\vec{B} \\cdot \\vec{A} \\), die Reihenfolge der Eingabe spielt also keine Rolle. Es liefert jedoch nicht von selbst den Winkel: Um \\(\\theta\\) zu bestimmen, ben\u00f6tigen Sie zus\u00e4tzlich die Betr\u00e4ge beider Vektoren. Ist einer der Vektoren der Nullvektor, ist das Ergebnis unabh\u00e4ngig von der Richtung immer 0.<\/p>\n<p>Zum Kombinieren von Vektoren auf andere Weise \u2014 etwa indem Komponenten erst addiert und dann multipliziert werden \u2014 k\u00f6nnte Ihnen f\u00fcr den 2D-Fall der <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/2d-vektoraddition\/\">Rechner f\u00fcr die Addition von 2D-Vektoren<\/a> n\u00fctzlich sein.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Berechnen Sie das Skalarprodukt (Punktprodukt) zweier 3D-Vektoren sofort. Geben Sie die X-, Y- und Z-Komponenten beider Vektoren ein und erhalten Sie das Ergebnis, das zeigt, wie stark die Vektoren in dieselbe Richtung zeigen.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[8],"tags":[42],"class_list":["post-35","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mathematik","tag-geometrie"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/35","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=35"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/35\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4305,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/35\/revisions\/4305"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=35"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=35"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=35"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}