{"id":356,"date":"2026-10-03T17:40:20","date_gmt":"2026-10-03T16:40:20","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/exponentialverteilung-rechner\/"},"modified":"2026-10-03T17:40:20","modified_gmt":"2026-10-03T16:40:20","slug":"exponentialverteilung-rechner","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/statistik\/exponentialverteilung-rechner\/","title":{"rendered":"Exponentialverteilung-Rechner"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Rechner f\u00fcr die Exponentialverteilung<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"356\" data-favorite-title=\"Exponentialverteilung\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/statistik\/exponentialverteilung-rechner\/\" data-favorite-excerpt=\"Berechnen Sie Wahrscheinlichkeiten der Exponentialverteilung aus einer Rate \u03bb oder einer mittleren Wartezeit: Dichte, P(X \u2264 t), P(X &gt; t), Intervallwahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Median. Geben Sie die Rate, eine Zeit und optional ein Intervallende ein.\" aria-label=\"Zu Favoriten hinzuf\u00fcgen\" data-favorite-icon=\"icon icon-wpcalc-distribution-histogram\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/statistik\/exponentialverteilung-rechner\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-356\" data-post=\"356\"><fieldset class=\"fieldset-input is-1\"><legend class=\"sr-only\">Eingabefelder<\/legend><div class=\"field\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Parameter angeben \u00fcber<\/label><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-1\" name=\"parameter_angeben_ber\"><option value=\"rate\" selected>Rate \u03bb (Ereignisse pro Zeiteinheit)<\/option><option value=\"mean\">Mittlere Wartezeit \u03bc<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">Rate (\u03bb)<\/label><div class=\"term\">\u03bb<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><div class=\"field-group\"><input type=\"text\" name=\"rate_\" id=\"field-2\" aria-describedby=\"calc-info-2\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" min=\"0\" value=\"2\"\/><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-3\" name=\"pro\" aria-label=\"pro\"><option value=\"1\">pro Sekunde<\/option><option value=\"60\">pro Minute<\/option><option value=\"3600\" selected>pro Stunde<\/option><option value=\"86400\">pro Tag<\/option><option value=\"31536000\">pro Jahr<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><small id=\"calc-info-2\">Durchschnittliche Anzahl von Ereignissen pro Zeiteinheit.<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-3\" hidden><label for=\"field-4\">Mittlere Wartezeit (\u03bc)<\/label><div class=\"term\">\u03bc<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><div class=\"field-group\"><input type=\"text\" name=\"mittlere_wartezeit_\" id=\"field-4\" aria-describedby=\"calc-info-4\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" min=\"0\" value=\"30\"\/><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-5\" name=\"in\" aria-label=\"in\"><option value=\"1\">Sekunden<\/option><option value=\"60\" selected>Minuten<\/option><option value=\"3600\">Stunden<\/option><option value=\"86400\">Tage<\/option><option value=\"31536000\">Jahre<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><small id=\"calc-info-4\">Durchschnittliche Zeit zwischen aufeinanderfolgenden Ereignissen (\u03bb = 1\/\u03bc).<\/small><\/div><div class=\"is-single field\" id=\"input-4\"><span class=\"font-semibold\">Zeit<\/span><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-5\"><label for=\"field-7\">Zeit (t)<\/label><div class=\"term\">t<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><div class=\"field-group\"><input type=\"text\" name=\"zeit_t\" id=\"field-7\" aria-describedby=\"calc-info-7\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" min=\"0\" value=\"1\"\/><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-8\" name=\"in\" aria-label=\"in\"><option value=\"1\">Sekunden<\/option><option value=\"60\">Minuten<\/option><option value=\"3600\" selected>Stunden<\/option><option value=\"86400\">Tage<\/option><option value=\"31536000\">Jahre<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><small id=\"calc-info-7\">Die Wartezeit, an der Sie interessiert sind.<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-6\"><label for=\"field-9\">Intervallende (b)<\/label><div class=\"term\">b<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><div class=\"field-group\"><input type=\"text\" name=\"intervallende_b\" id=\"field-9\" aria-describedby=\"calc-info-9\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" min=\"0\" value=\"2\"\/><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-10\" name=\"in\" aria-label=\"in\"><option value=\"1\">Sekunden<\/option><option value=\"60\">Minuten<\/option><option value=\"3600\" selected>Stunden<\/option><option value=\"86400\">Tage<\/option><option value=\"31536000\">Jahre<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><small id=\"calc-info-9\">Optional: Ausf\u00fcllen, um zus\u00e4tzlich P(t \u2264 X \u2264 b) zu erhalten. Leer lassen, um es zu \u00fcberspringen.<\/small><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Neu berechnen\" id=\"calculate-button\" data-post=\"356\">Berechnen<\/button><button type=\"reset\">Zur\u00fccksetzen<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Automatisch berechnen<\/label><small>Wenn aktiviert, wird das Ergebnis automatisch aktualisiert, sobald Sie einen Wert \u00e4ndern.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Ergebnisse der Exponentialverteilung<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Dichte f(t)<\/span><span class=\"result-term\">f(t)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>Kumulierte Wahrscheinlichkeit P(X \u2264 t)<\/span><span class=\"result-term\">F(t)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\" data-unit=\"%\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>\u00dcberlebenswahrscheinlichkeit P(X &gt; t)<\/span><span class=\"result-term\">S(t)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\" data-unit=\"%\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-4\"><span class=\"field-title\"><span>Intervallwahrscheinlichkeit P(t \u2264 X \u2264 b)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-4\" data-unit=\"%\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-5\"><span class=\"field-title\"><span>Mittlere Wartezeit E(X)<\/span><span class=\"result-term\">E(X)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-5\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-6\"><span class=\"field-title\"><span>Formel, Median &amp; Interpretation<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-6\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Link zu dieser Berechnung kopieren<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Kommentar schreiben<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"356\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Wie finden Sie dieses Ergebnis?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Gef\u00e4llt mir <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Hilfreich <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Verwirrt <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Entt\u00e4uscht <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Ungenau <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Formel der Exponentialverteilung<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Formel<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ f(t) = \\lambda e^{-\\lambda t}, \\qquad F(t) = P(X \\le t) = 1 - e^{-\\lambda t} \\]\n\\[ S(t) = P(X &gt; t) = e^{-\\lambda t}, \\qquad P(a \\le X \\le b) = e^{-\\lambda a} - e^{-\\lambda b} \\]\n\\[ E(X) = \\frac{1}{\\lambda}, \\qquad \\text{Median} = \\frac{\\ln 2}{\\lambda} \\]<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>Wobei gilt:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(\\lambda\\) \u2014 Ratenparameter: die durchschnittliche Anzahl von Ereignissen pro Zeiteinheit<\/li>\n<li>\\(t\\) \u2014 die betrachtete Wartezeit<\/li>\n<li>\\(f(t)\\) \u2014 Wahrscheinlichkeitsdichte zum Zeitpunkt \\(t\\)<\/li>\n<li>\\(F(t)\\) \u2014 kumulierte Wahrscheinlichkeit, h\u00f6chstens \\(t\\) zu warten<\/li>\n<li>\\(S(t)\\) \u2014 \u00dcberlebenswahrscheinlichkeit, l\u00e4nger als \\(t\\) zu warten<\/li>\n<\/ul>\n<p>Die Exponentialverteilung modelliert die Zeit zwischen aufeinanderfolgenden Ereignissen, die unabh\u00e4ngig voneinander mit einer konstanten durchschnittlichen Rate auftreten. Ihr einziger Parameter \\(\\lambda\\) bestimmt alles vollst\u00e4ndig; die mittlere Wartezeit ist einfach \\(1\/\\lambda\\).<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Exponentialverteilung \u2013 Rechenbeispiel<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Beispiel:<\/strong> In einem Callcenter gehen Anrufe mit einer durchschnittlichen Rate von 2 pro Stunde ein. Wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit, dass der n\u00e4chste Anruf innerhalb von 1 Stunde eingeht, und wie hoch ist die Chance, dass er zwischen 1 und 2 Stunden eingeht?<\/p>\n<p>\\[ \\lambda t = 2 \\times 1 = 2 \\]<\/p>\n<p>\\[ F(1) = 1 - e^{-2} = 1 - 0.1353 = 0.8647 \\]<\/p>\n<p>\\[ P(1 \\le X \\le 2) = e^{-2} - e^{-4} = 0.1353 - 0.0183 = 0.1170 \\]<\/p>\n<p><strong>Ergebnis:<\/strong> P(X \u2264 1 h) = 86,47 %, P(X &gt; 1 h) = 13,53 % und P(1 h \u2264 X \u2264 2 h) = 11,70 %. Die Dichte bei t = 1 h betr\u00e4gt f(1) = 2e\u207b\u00b2 \u2248 0,2707 pro Stunde, die mittlere Wartezeit betr\u00e4gt 0,5 Stunden (30 Minuten) und der Median betr\u00e4gt ln(2)\/2 \u2248 0,3466 Stunden (ca. 20,8 Minuten). Genau diese Werte zeigt der Rechner mit seinen Standardeinstellungen an.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>So verwenden Sie den Rechner<\/h2>\n<ol>\n<li>\u00d6ffnen Sie <strong>Parameter eingeben als<\/strong> und w\u00e4hlen Sie, ob Sie die Rate \\(\\lambda\\) (Ereignisse pro Zeiteinheit) oder die mittlere Wartezeit \\(\\mu\\) eingeben m\u00f6chten. Es wird nur das passende Feld angezeigt.<\/li>\n<li>Wenn Sie die Rate gew\u00e4hlt haben, f\u00fcllen Sie <strong>Rate (\u03bb)<\/strong> aus und w\u00e4hlen Sie die Zeiteinheit, in der sie angegeben ist (pro Sekunde, pro Minute, pro Stunde, pro Tag, pro Jahr). Wenn Sie die mittlere Wartezeit gew\u00e4hlt haben, f\u00fcllen Sie stattdessen <strong>Mittlere Wartezeit (\u03bc)<\/strong> mit der zugeh\u00f6rigen Einheit aus; der Rechner rechnet sie \u00fcber \\(\\lambda = 1\/\\mu\\) um.<\/li>\n<li>Geben Sie <strong>Zeit (t)<\/strong> ein \u2014 die Wartezeit, die Sie interessiert \u2014 und w\u00e4hlen Sie deren Einheit unter \u201ein\u201c.<\/li>\n<li>Optional k\u00f6nnen Sie <strong>Intervallende (b)<\/strong> ausf\u00fcllen, um zus\u00e4tzlich die Wahrscheinlichkeit \\(P(t \\le X \\le b)\\) zu erhalten. Lassen Sie das Feld leer, um dieses Ergebnis zu \u00fcberspringen.<\/li>\n<li>Lesen Sie die Ergebnisse ab: Dichte \\(f(t)\\), kumulierte Wahrscheinlichkeit \\(P(X \\le t)\\), \u00dcberlebenswahrscheinlichkeit \\(P(X &gt; t)\\), die Intervallwahrscheinlichkeit, die mittlere Wartezeit sowie eine Zusammenfassungszeile mit Median, 90.&nbsp;Perzentil der Wartezeit und einer leicht verst\u00e4ndlichen Interpretation.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Was ist die Exponentialverteilung?<\/h2>\n<p>Die Exponentialverteilung beschreibt die Wartezeit bis zum n\u00e4chsten Ereignis in einem Prozess, bei dem Ereignisse unabh\u00e4ngig mit konstanter durchschnittlicher Rate eintreten \u2014 einem <em>Poisson-Prozess<\/em>. Typische Anwendungen sind die Zeit zwischen dem Eintreffen von Kunden, die Zeit bis zum Zerfall eines radioaktiven Teilchens, die Lebensdauer eines elektronischen Bauteils oder die Zeit bis zum n\u00e4chsten Serverausfall.<\/p>\n<p>Die Verteilung ist durch einen einzigen Parameter definiert, die Rate \\(\\lambda\\). Die Wahrscheinlichkeitsdichte \\(f(t) = \\lambda e^{-\\lambda t}\\) ist bei \\(t = 0\\) am gr\u00f6\u00dften und f\u00e4llt stetig ab, was bedeutet, dass kurze Wartezeiten am wahrscheinlichsten sind. Die Verteilungsfunktion \\(F(t) = 1 - e^{-\\lambda t}\\) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Wartezeit zum Zeitpunkt \\(t\\) oder fr\u00fcher endet; ihr Gegenst\u00fcck, die \u00dcberlebensfunktion \\(S(t) = e^{-\\lambda t}\\), gibt die Wahrscheinlichkeit an, nach \\(t\\) noch zu warten.<\/p>\n<p>Erwartungswert und Standardabweichung betragen beide \\(1\/\\lambda\\), der Median \\(\\ln(2)\/\\lambda \\approx 0.693\/\\lambda\\) ist jedoch kleiner. Das liefert eine praktische Erkenntnis: Mehr als die H\u00e4lfte aller Wartezeiten endet vor dem Durchschnitt. Eine lange Wartezeit ist m\u00f6glich, aber zunehmend selten \u2014 so \u00fcberschreiten beispielsweise nur 5 % der Wartezeiten \\(3\/\\lambda\\).<\/p>\n<p>Eine kennzeichnende Eigenschaft der Exponentialverteilung ist die <strong>Ged\u00e4chtnislosigkeit<\/strong>: \\(P(X &gt; s + t \\mid X &gt; s) = P(X &gt; t)\\). Hat eine Gl\u00fchbirne eine exponentialverteilte Lebensdauer und bereits ein Jahr gebrannt, sind ihre Chancen, ein weiteres Jahr zu \u00fcberleben, genau so hoch wie im Neuzustand. Das macht die Verteilung zum kontinuierlichen Gegenst\u00fcck der geometrischen Verteilung und zum nat\u00fcrlichen Begleiter der <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/statistik\/poisson-verteilung-rechner\/\">Poisson-Verteilung<\/a>, die die <em>Anzahl<\/em> der Ereignisse in einem festen Zeitraum beschreibt und nicht die Zeit zwischen ihnen.<\/p>\n<h2>Annahmen, Grenzen und Tipps<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Konstante Rate.<\/strong> Das Modell nimmt an, dass Ereignisse zu jedem Zeitpunkt mit gleichbleibender durchschnittlicher Rate auftreten. Schwankt die Rate (z. B. Ank\u00fcnfte zur Hauptverkehrszeit, Verschlei\u00df mechanischer Teile), wird die Exponentialverteilung die Wahrscheinlichkeiten unter- oder \u00fcbersch\u00e4tzen.<\/li>\n<li><strong>Unabh\u00e4ngigkeit.<\/strong> Ein Ereignis darf den Zeitpunkt des n\u00e4chsten nicht beeinflussen. Geh\u00e4ufte Ereigniscluster verletzen diese Annahme.<\/li>\n<li><strong>Ged\u00e4chtnislosigkeit.<\/strong> Wenn der Prozess tats\u00e4chlich exponentialverteilt ist, liefert die bereits verstrichene Wartezeit keine Information \u00fcber die verbleibende Wartezeit. Reale Lebensdauern von Maschinen und Menschen sind meist nicht ged\u00e4chtnislos; daf\u00fcr passen Zuverl\u00e4ssigkeitsmodelle wie die Weibull-Verteilung besser.<\/li>\n<li><strong>Einheiten.<\/strong> Der Rechner rechnet alle Einheiten intern um, sodass Sie die Rate pro Stunde und die Zeit in Minuten eingeben k\u00f6nnen, ohne selbst rechnen zu m\u00fcssen. Ein Jahr wird als 365 Tage angesetzt.<\/li>\n<li><strong>Dichte vs. Wahrscheinlichkeit.<\/strong> \\(f(t)\\) ist eine Dichte pro Zeiteinheit, keine Wahrscheinlichkeit \u2014 sie kann gr\u00f6\u00dfer als 1 sein. Die aussagekr\u00e4ftigen Wahrscheinlichkeitsaussagen sind \\(F(t)\\), \\(S(t)\\) und die Intervallwahrscheinlichkeit.<\/li>\n<li>Wenn Sie statt Wartezeiten die Anzahl von Ereignissen modellieren m\u00f6chten, nutzen Sie den <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/statistik\/poisson-verteilung-rechner\/\">Rechner f\u00fcr die Poisson-Verteilung<\/a>; f\u00fcr Ja\/Nein-Ergebnisse bei einer festen Anzahl von Versuchen siehe den <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/statistik\/binomialverteilung-rechner\/\">Rechner f\u00fcr die Binomialverteilung<\/a> und f\u00fcr symmetrische kontinuierliche Daten den <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/statistik\/normalverteilung-rechner\/\">Rechner f\u00fcr die Normalverteilung<\/a>.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Berechnen Sie Wahrscheinlichkeiten der Exponentialverteilung aus einer Rate \u03bb oder einer mittleren Wartezeit: Dichte, P(X \u2264 t), P(X > t), Intervallwahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Median. 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