{"id":3894,"date":"2026-10-08T09:07:29","date_gmt":"2026-10-08T08:07:29","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/statistik\/gammaverteilung-rechner\/"},"modified":"2026-10-08T09:07:29","modified_gmt":"2026-10-08T08:07:29","slug":"gammaverteilung-rechner","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/statistik\/gammaverteilung-rechner\/","title":{"rendered":"Gammaverteilung-Rechner"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Gamma-Wahrscheinlichkeiten, Dichte und Momente berechnen<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"3894\" data-favorite-title=\"Gammaverteilung\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/statistik\/gammaverteilung-rechner\/\" data-favorite-excerpt=\"Berechnen Sie die Dichte der Gammaverteilung, kumulierte und obere Wahrscheinlichkeiten, Intervallwahrscheinlichkeiten, Erwartungswert, Varianz und Modus. Geben Sie den Formparameter k, den Skalenparameter \u03b8 sowie einen Wert oder ein Intervall ein.\" aria-label=\"Zu Favoriten hinzuf\u00fcgen\" data-favorite-icon=\"icon icon-wpcalc-distribution-histogram\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/statistik\/gammaverteilung-rechner\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-3894\" data-post=\"3894\"><fieldset class=\"fieldset-input is-1\"><legend class=\"sr-only\">Eingabefelder<\/legend><div class=\"field has-term\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Formparameter<\/label><div class=\"term\">k<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"formparameter\" id=\"field-1\" aria-describedby=\"calc-info-1\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 2\" min=\"0.01\" value=\"2\"\/><small id=\"calc-info-1\">Form k: steuert die Form der Kurve. k = 1 ergibt die Exponentialverteilung; ganzzahliges k ergibt die Erlang-Verteilung (Wartezeit bis zum k-ten Ereignis).<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">Skalenparameter<\/label><div class=\"term\">\u03b8<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"skalenparameter\" id=\"field-2\" aria-describedby=\"calc-info-2\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 3\" min=\"1.0E-9\" value=\"3\"\/><small id=\"calc-info-2\">Skala \u03b8 in derselben Einheit wie x. Muss gr\u00f6\u00dfer als 0 sein.<\/small><\/div><div class=\"field\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">Was soll berechnet werden<\/label><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-3\" name=\"was_soll_berechnet_werden\"><option value=\"point\" selected>An einem einzelnen Wert x<\/option><option value=\"interval\">\u00dcber ein Intervall [a, b]<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-4\" hidden><label for=\"field-4\">Wert<\/label><div class=\"term\">x<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"wert\" id=\"field-4\" aria-describedby=\"calc-info-4\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 4\" min=\"0\" value=\"4\"\/><small id=\"calc-info-4\">Der Wert x, an dem ausgewertet wird (in derselben Einheit wie \u03b8).<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-5\" hidden><label for=\"field-5\">Untere Grenze<\/label><div class=\"term\">a<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"untere_grenze\" id=\"field-5\" aria-describedby=\"calc-info-5\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 3\" min=\"0\" value=\"3\"\/><small id=\"calc-info-5\">Beginn des Intervalls.<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-6\" hidden><label for=\"field-6\">Obere Grenze<\/label><div class=\"term\">b<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"obere_grenze\" id=\"field-6\" aria-describedby=\"calc-info-6\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 9\" min=\"0\" value=\"9\"\/><small id=\"calc-info-6\">Ende des Intervalls; muss gr\u00f6\u00dfer als die untere Grenze sein.<\/small><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Neu berechnen\" id=\"calculate-button\" data-post=\"3894\">Berechnen<\/button><button type=\"reset\">Zur\u00fccksetzen<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Automatisch berechnen<\/label><small>Wenn aktiviert, wird das Ergebnis automatisch aktualisiert, sobald Sie einen Wert \u00e4ndern.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Ergebnisse der Gammaverteilung<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Dichte am Wert<\/span><span class=\"result-term\">f(x)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>Kumulierte Wahrscheinlichkeit P(X \u2264 x)<\/span><span class=\"result-term\">F(x)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>\u00dcberschreitungswahrscheinlichkeit P(X &gt; x)<\/span><span class=\"result-term\">S(x)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-4\"><span class=\"field-title\"><span>Intervallwahrscheinlichkeit P(a \u2264 X \u2264 b)<\/span><span class=\"result-term\">P(a\u2264X\u2264b)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-4\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-5\"><span class=\"field-title\"><span>Erwartungswert<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-5\" data-unit=\"\u03b8-Einheiten\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-6\"><span class=\"field-title\"><span>Varianz<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-6\" data-unit=\"\u03b8\u00b2-Einheiten\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-7\"><span class=\"field-title\"><span>Modus (wahrscheinlichster Wert)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-7\" data-unit=\"\u03b8-Einheiten\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-8\"><span class=\"field-title\"><span>Funktionsweise und Interpretation<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-8\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Link zu dieser Berechnung kopieren<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Kommentar schreiben<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"3894\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Wie finden Sie dieses Ergebnis?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Gef\u00e4llt mir <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Hilfreich <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Verwirrt <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Entt\u00e4uscht <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Ungenau <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Formel der Gammaverteilung<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Formel<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ f(x) = \\frac{x^{k-1} e^{-x\/\\theta}}{\\Gamma(k)\\,\\theta^k}, \\qquad F(x) = P\\!\\left(k, \\frac{x}{\\theta}\\right), \\quad x \\ge 0 \\\\ \\mu = k\\theta, \\qquad \\sigma^2 = k\\theta^2, \\qquad \\text{Modus} = (k-1)\\theta \\ \\text{f\u00fcr } k \\ge 1 \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>Dabei gilt:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(k\\) \u2014 Formparameter, \\(k &gt; 0\\); er bestimmt die Gestalt der Kurve<\/li>\n<li>\\(\\theta\\) \u2014 Skalenparameter, \\(\\theta &gt; 0\\), in derselben Einheit wie \\(x\\)<\/li>\n<li>\\(\\Gamma(k)\\) \u2014 die Gammafunktion, die die Fakult\u00e4t verallgemeinert (\\(\\Gamma(n) = (n-1)!\\) f\u00fcr ganze Zahlen)<\/li>\n<li>\\(P(k, x\/\\theta)\\) \u2014 die regularisierte untere unvollst\u00e4ndige Gammafunktion, welche die Verteilungsfunktion liefert<\/li>\n<\/ul>\n<p>Die erste Zeile definiert die Wahrscheinlichkeitsdichte und die Verteilungsfunktion der Gammaverteilung in der Skalenparametrisierung; die zweite Zeile enth\u00e4lt Erwartungswert, Varianz und Modus. Die Wahrscheinlichkeit eines Intervalls ergibt sich aus \\(P(a \\le X \\le b) = F(b) - F(a)\\).<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Gammaverteilung \u2013 Rechenbeispiel<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Beispiel:<\/strong> Die Wartezeit f\u00fcr ein System ist gammaverteilt mit dem Formparameter \\(k = 2\\) und dem Skalenparameter \\(\\theta = 3\\) Stunden. Gesucht sind die Dichte, die kumulierte Wahrscheinlichkeit und die obere Wahrscheinlichkeit bei \\(x = 4\\) Stunden.<\/p>\n<p>\\[ f(4) = \\frac{4^{1} e^{-4\/3}}{\\Gamma(2)\\cdot 3^2} = \\frac{4 \\cdot 0{,}2636}{1 \\cdot 9} \\approx 0{,}1172 \\]<\/p>\n<p>Weil \\(k\\) eine ganze Zahl ist, besitzt die Verteilungsfunktion die geschlossene Form \\(F(x) = 1 - e^{-x\/\\theta}\\left(1 + x\/\\theta\\right)\\):<\/p>\n<p>\\[ F(4) = 1 - e^{-4\/3}\\left(1 + \\tfrac{4}{3}\\right) = 1 - 0{,}2636 \\cdot 2{,}3333 \\approx 0{,}3849 \\]<\/p>\n<p>\\[ P(X &gt; 4) = 1 - F(4) \\approx 0{,}6151 \\]<\/p>\n<p><strong>Ergebnis:<\/strong> \\(f(4) \\approx 0{,}1172\\) pro Einheit, \\(P(X \\le 4) \\approx 0{,}3849\\) (38,49 %), \\(P(X &gt; 4) \\approx 0{,}6151\\) (61,51 %). Der Erwartungswert betr\u00e4gt \\(k\\theta = 6\\) Stunden, die Varianz \\(k\\theta^2 = 18\\) und der Modus \\((k-1)\\theta = 3\\) Stunden.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>So bedienen Sie den Rechner<\/h2>\n<ol>\n<li>Geben Sie den <strong>Formparameter<\/strong> \\(k\\) ein. Er muss positiv sein; \\(k = 1\\) ergibt die Exponentialverteilung, ganzzahliges \\(k\\) die Erlang-Verteilung.<\/li>\n<li>Geben Sie den <strong>Skalenparameter<\/strong> \\(\\theta\\) ein, eine positive Zahl in derselben Einheit wie Ihre Daten.<\/li>\n<li>W\u00e4hlen Sie unter <strong>Was soll berechnet werden<\/strong> entweder \u201eBei einem einzelnen Wert x\u201c oder \u201e\u00dcber ein Intervall [a, b]\u201c.<\/li>\n<li>Geben Sie f\u00fcr einen einzelnen Wert den <strong>Wert<\/strong> \\(x \\ge 0\\) ein. Der Rechner liefert die Dichte, die kumulierte Wahrscheinlichkeit \\(P(X \\le x)\\), die obere Wahrscheinlichkeit \\(P(X &gt; x)\\) sowie Erwartungswert, Varianz und Modus.<\/li>\n<li>Geben Sie f\u00fcr ein Intervall die <strong>Untergrenze<\/strong> \\(a\\) und die <strong>Obergrenze<\/strong> \\(b\\) ein (mit \\(b &gt; a\\)). Sie erhalten \\(P(a \\le X \\le b)\\) zusammen mit den Dichten und kumulierten Wahrscheinlichkeiten an beiden Endpunkten.<\/li>\n<li>Werfen Sie einen Blick in den Bereich \u201eFunktionsweise und Interpretation\u201c, um Ihre Zahlen in verst\u00e4ndlicher Sprache erkl\u00e4rt zu bekommen.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Was ist die Gammaverteilung?<\/h2>\n<p>Die Gammaverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung f\u00fcr positive Gr\u00f6\u00dfen \u2014 etwa Wartezeiten, Schadenssummen in der Versicherung, Niederschlagsmengen oder Betriebszeiten. Sie besitzt zwei Parameter: den Formparameter \\(k\\), der die grundlegende Gestalt der Kurve bestimmt, und den Skalenparameter \\(\\theta\\), der sie entlang der x-Achse streckt oder staucht. Das Ergebnis ist eine au\u00dferordentlich flexible Verteilungsfamilie: Bei kleinem \\(k\\) ist die Dichte stark rechtssteil mit einem Peak nahe null, bei gro\u00dfem \\(k\\) wird sie nahezu symmetrisch und glockenf\u00f6rmig.<\/p>\n<p>Die Verteilung l\u00e4sst sich anschaulich als Wartezeit deuten. Treffen Ereignisse zuf\u00e4llig mit konstanter durchschnittlicher Rate ein (ein <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/statistik\/poisson-verteilung-rechner\/\">Poisson-Prozess<\/a>), so folgt die Gesamtzeit bis zum \\(k\\)-ten Ereignis einer Gammaverteilung mit dem Formparameter \\(k\\) und dem Skalenparameter \\(\\theta\\), der der mittleren Zeit zwischen zwei Ereignissen entspricht. F\u00fcr \\(k = 1\\) ergibt sich die <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/statistik\/exponentialverteilung-rechner\/\">Exponentialverteilung<\/a> (die Wartezeit auf ein einzelnes Ereignis); mit ganzzahligem \\(k\\) spricht man von der Erlang-Verteilung.<\/p>\n<p>Die Ausgaben lassen sich leicht deuten: Die Dichte \\(f(x)\\) gibt an, wie wahrscheinlich Werte in der N\u00e4he von \\(x\\) sind \u2014 je Messeinheit. Die kumulierte Wahrscheinlichkeit \\(F(x)\\) ist die Chance auf einen Wert von h\u00f6chstens \\(x\\), und die obere Wahrscheinlichkeit \\(S(x) = 1 - F(x)\\) ist die Chance, \\(x\\) zu \u00fcberschreiten \u2014 in Zuverl\u00e4ssigkeitsanalysen und Warteschlangenmodellen oft die eigentlich gesuchte Gr\u00f6\u00dfe. Der Erwartungswert \\(k\\theta\\) ist der mittlere Wert, die Varianz \\(k\\theta^2\\) misst die Streuung, und der Modus \\((k-1)\\theta\\) ist der wahrscheinlichste einzelne Wert. Da die Verteilung rechtssteil ist, liegt der Modus unterhalb des Erwartungswerts.<\/p>\n<h2>Parametrisierung, Annahmen und praktische Hinweise<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Skala oder Rate:<\/strong> Dieser Rechner verwendet die Skala \\(\\theta\\). Viele Lehrb\u00fccher und Softwarepakete nutzen stattdessen die Rate \\(\\beta = 1\/\\theta\\). Wenn Ihre Quelle eine Rate angibt, tragen Sie \\(\\theta = 1\/\\beta\\) in das Feld Skalenparameter ein. Bei festem \\(k\\) streckt eine gr\u00f6\u00dfere Skala die Verteilung (gr\u00f6\u00dfere Werte), eine gr\u00f6\u00dfere Rate staucht sie.<\/li>\n<li><strong>Definitionsbereich:<\/strong> Die Gammaverteilung ist nur f\u00fcr \\(x \\ge 0\\) definiert. Negative Eingaben werden abgelehnt; geben Sie null oder positive Werte ein.<\/li>\n<li><strong>Modus bei kleinem k:<\/strong> Der Modus \\((k-1)\\theta\\) existiert nur f\u00fcr \\(k \\ge 1\\). F\u00fcr \\(k &lt; 1\\) ist die Dichte bei null unbeschr\u00e4nkt, weshalb der Rechner den Modus 0 angibt.<\/li>\n<li><strong>Normalapproximation:<\/strong> F\u00fcr gro\u00dfes \\(k\\) (ungef\u00e4hr \\(k &gt; 30\\)) l\u00e4sst sich die Gammaverteilung gut durch eine Normalverteilung mit Erwartungswert \\(k\\theta\\) und Varianz \\(k\\theta^2\\) ann\u00e4hern.<\/li>\n<li><strong>Parameterwahl:<\/strong> Wenn Sie den angestrebten Erwartungswert \\(\\mu\\) und die Varianz \\(\\sigma^2\\) kennen, sch\u00e4tzen Sie \\(k = \\mu^2\/\\sigma^2\\) und \\(\\theta = \\sigma^2\/\\mu\\). Anschlie\u00dfend k\u00f6nnen Sie die Werte verfeinern, indem Sie sie an die beobachteten kumulierten Wahrscheinlichkeiten angleichen.<\/li>\n<li><strong>Verwandte Modelle:<\/strong> Die Gammaverteilung ist eine g\u00e4ngige Alternative zur <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/statistik\/weibull-verteilung-rechner\/\">Weibull-Verteilung<\/a> und zur <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/statistik\/lognormalverteilung-rechner\/\">Lognormalverteilung<\/a>, wenn es um positive, rechtssteile Daten wie Lebensdauern und Schadensh\u00f6hen geht \u2014 die drei unterscheiden sich haupts\u00e4chlich in der Form ihrer Verteilungsenden.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Berechnen Sie die Dichte der Gammaverteilung, kumulierte und obere Wahrscheinlichkeiten, Intervallwahrscheinlichkeiten, Erwartungswert, Varianz und Modus. Geben Sie den Formparameter k, den Skalenparameter \u03b8 sowie einen Wert oder ein Intervall ein.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[12],"tags":[34],"class_list":["post-3894","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-statistik","tag-verteilungen"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3894","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3894"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3894\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4590,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3894\/revisions\/4590"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3894"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3894"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3894"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}