{"id":3896,"date":"2026-10-08T12:09:46","date_gmt":"2026-10-08T11:09:46","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/statistik\/beta-verteilung-rechner\/"},"modified":"2026-10-08T12:09:46","modified_gmt":"2026-10-08T11:09:46","slug":"beta-verteilung-rechner","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/statistik\/beta-verteilung-rechner\/","title":{"rendered":"Beta-Verteilung-Rechner"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Beta-Wahrscheinlichkeiten, Dichte und Momente berechnen<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"3896\" data-favorite-title=\"Beta-Verteilung\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/statistik\/beta-verteilung-rechner\/\" data-favorite-excerpt=\"Geben Sie die Formparameter \u03b1 und \u03b2 ein, um Dichte, kumulierte und \u00fcberschreitende Wahrscheinlichkeiten, Intervallwahrscheinlichkeiten, Erwartungswert, Varianz und Modus der Beta-Verteilung f\u00fcr beliebige Anteile zwischen 0 und 1 zu berechnen.\" aria-label=\"Zu Favoriten hinzuf\u00fcgen\" data-favorite-icon=\"icon icon-wpcalc-distribution-histogram\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/statistik\/beta-verteilung-rechner\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-3896\" data-post=\"3896\"><fieldset class=\"fieldset-input is-1\"><legend class=\"sr-only\">Eingabefelder<\/legend><div class=\"field has-term\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Formparameter \u03b1<\/label><div class=\"term\">\u03b1<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"formparameter_\" id=\"field-1\" aria-describedby=\"calc-info-1\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 2\" min=\"0.01\" value=\"2\"\/><small id=\"calc-info-1\">Formparameter \u03b1 &gt; 0: steuert die Gewichtung der Werte nahe 1. \u03b1 = \u03b2 = 1 ergibt die Gleichverteilung auf [0, 1].<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">Formparameter \u03b2<\/label><div class=\"term\">\u03b2<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"formparameter_\" id=\"field-2\" aria-describedby=\"calc-info-2\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 5\" min=\"0.01\" value=\"5\"\/><small id=\"calc-info-2\">Formparameter \u03b2 &gt; 0: steuert die Gewichtung der Werte nahe 0.<\/small><\/div><div class=\"field\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">Was berechnet werden soll<\/label><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-3\" name=\"was_berechnet_werden_soll\"><option value=\"point\" selected>An einem einzelnen Anteil x<\/option><option value=\"interval\">\u00dcber ein Intervall [a, b]<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-4\" hidden><label for=\"field-4\">Anteil<\/label><div class=\"term\">x<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"anteil\" id=\"field-4\" aria-describedby=\"calc-info-4\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 0.3\" min=\"0\" max=\"1\" value=\"0.3\"\/><small id=\"calc-info-4\">Der Wert x (zwischen 0 und 1), an dem ausgewertet wird, z. B. ein Anteil, eine Quote oder eine Wahrscheinlichkeit.<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-5\" hidden><label for=\"field-5\">Untere Grenze<\/label><div class=\"term\">a<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"untere_grenze\" id=\"field-5\" aria-describedby=\"calc-info-5\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 0.2\" min=\"0\" max=\"1\" value=\"0.2\"\/><small id=\"calc-info-5\">Beginn des Intervalls (zwischen 0 und 1).<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-6\" hidden><label for=\"field-6\">Obere Grenze<\/label><div class=\"term\">b<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"obere_grenze\" id=\"field-6\" aria-describedby=\"calc-info-6\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 0.5\" min=\"0\" max=\"1\" value=\"0.5\"\/><small id=\"calc-info-6\">Ende des Intervalls; muss gr\u00f6\u00dfer als die untere Grenze sein.<\/small><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Neu berechnen\" id=\"calculate-button\" data-post=\"3896\">Berechnen<\/button><button type=\"reset\">Zur\u00fccksetzen<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Automatisch berechnen<\/label><small>Wenn aktiviert, wird das Ergebnis automatisch aktualisiert, sobald Sie einen Wert \u00e4ndern.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Ergebnisse der Beta-Verteilung<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Dichte am Anteil<\/span><span class=\"result-term\">f(x)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>Kumulierte Wahrscheinlichkeit P(X \u2264 x)<\/span><span class=\"result-term\">F(x)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>Obere Schwanzwahrscheinlichkeit P(X &gt; x)<\/span><span class=\"result-term\">S(x)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-4\"><span class=\"field-title\"><span>Intervallwahrscheinlichkeit P(a \u2264 X \u2264 b)<\/span><span class=\"result-term\">P(a\u2264X\u2264b)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-4\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-5\"><span class=\"field-title\"><span>Erwartungswert<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-5\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-6\"><span class=\"field-title\"><span>Varianz<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-6\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-7\"><span class=\"field-title\"><span>Modus (wahrscheinlichster Wert)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-7\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-8\"><span class=\"field-title\"><span>Funktionsweise und Interpretation<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-8\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Link zu dieser Berechnung kopieren<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Kommentar schreiben<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"3896\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Wie finden Sie dieses Ergebnis?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Gef\u00e4llt mir <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Hilfreich <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Verwirrt <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Entt\u00e4uscht <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Ungenau <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Formel der Beta-Verteilung<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Formel<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\\[ f(x) = \\frac{x^{\u03b1-1}(1-x)^{\u03b2-1}}{B(\u03b1, \u03b2)}, \\quad F(x) = I_x(\u03b1, \u03b2), \\quad \\text{Mittelwert} = \\frac{\u03b1}{\u03b1+\u03b2}, \\quad \u03c3^2 = \\frac{\u03b1\u03b2}{(\u03b1+\u03b2)^2(\u03b1+\u03b2+1)}, \\quad \\text{Modus} = \\frac{\u03b1-1}{\u03b1+\u03b2-2} \\]<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>Dabei gilt:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\u03b1, \u03b2 \u2013 Formparameter, beide gr\u00f6\u00dfer als 0<\/li>\n<li>\u03b1 steuert, wie stark Werte nahe 1 gewichtet werden, \u03b2 die Gewichtung nahe 0<\/li>\n<li>\u03b1 = \u03b2 = 1 ergibt die Gleichverteilung auf [0, 1]<\/li>\n<li>\u03b1 = \u03b2 ergibt eine symmetrische, glockenf\u00f6rmige Verteilung mit Zentrum bei 0,5<\/li>\n<li>\u03b1, \u03b2 &lt; 1 ergibt eine U-f\u00f6rmige Verteilung, bei der die Wahrscheinlichkeitsmasse an beiden Randpunkten liegt<\/li>\n<li>Der Modus existiert nur, wenn \u03b1 &gt; 1 und \u03b2 &gt; 1<\/li>\n<\/ul>\n<p>Die Dichte beschreibt, wie wahrscheinlich jeder Anteil x in [0, 1] unter Beta(\u03b1, \u03b2) ist. Die Verteilungsfunktion F(x) ist die regularisierte unvollst\u00e4ndige Betafunktion \\(I_x(\u03b1, \u03b2)\\); Intervallwahrscheinlichkeiten ergeben sich aus \\(P(a \\le X \\le b) = F(b) - F(a)\\).<\/p>\n<p>Die Beta-Verteilung ist das Standardmodell f\u00fcr Gr\u00f6\u00dfen auf dem Intervall [0, 1]: Anteile, Marktanteile, Raten und Wahrscheinlichkeiten. In der Bayes-Statistik ist sie zudem die nat\u00fcrliche A-priori- und A-posteriori-Verteilung f\u00fcr eine Erfolgswahrscheinlichkeit bei bin\u00e4ren Daten.<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Beta-Verteilung \u2013 Rechenbeispiel<\/h2><\/div>\r\n\r\n<p>{wp_code}<\/p>\n<p><strong>Beispiel:<\/strong> Eine Beta(2, 5)-Posteriorverteilung f\u00fcr eine Conversion-Rate. Werten Sie die Verteilung an der Stelle x = 0,3 aus.<\/p>\n<p>\\[ B(2, 5) = \\frac{\u0393(2)\u0393(5)}{\u0393(7)} = \\frac{1 \\cdot 24}{720} = \\frac{1}{30} \\]<\/p>\n<p>\\[ f(0.3) = 30 \\cdot 0.3^1 \\cdot 0.7^4 = 30 \\cdot 0.3 \\cdot 0.2401 = 2.1609 \\]<\/p>\n<p>\\[ F(0.3) = 1 - (1-0.3)^5(1 + 5 \\cdot 0.3) = 1 - 0.16807 \\cdot 2.5 = 0.57983 \\]<\/p>\n<p>\\[ \\text{Mittelwert} = \\frac{2}{7} = 0.28571, \\quad \u03c3^2 = \\frac{10}{392} = 0.02551, \\quad \\text{Modus} = \\frac{1}{5} = 0.2 \\]<\/p>\n<p><strong>Ergebnis:<\/strong> f(0,3) \u2248 2,1609, P(X \u2264 0,3) \u2248 0,57983 (57,98 %), P(X &gt; 0,3) \u2248 0,42018, Erwartungswert 0,28571, Varianz 0,02551, Modus 0,2. Wechselt man in den Intervallmodus mit a = 0,2 und b = 0,5, ergibt sich P(0,2 \u2264 X \u2264 0,5) = F(0,5) \u2212 F(0,2) = 0,89063 \u2212 0,34464 = 0,54599, also rund 54,6 %.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>So verwenden Sie den Rechner<\/h2>\n<ol>\n<li>Geben Sie den <strong>Formparameter Alpha<\/strong> (\u03b1) und den <strong>Formparameter Beta<\/strong> (\u03b2) ein. Beide m\u00fcssen positiv sein.<\/li>\n<li>W\u00e4hlen Sie aus, was berechnet werden soll: <strong>An einem einzelnen Anteil x<\/strong> f\u00fcr Dichte und \u00fcberschreitende Wahrscheinlichkeiten an einem Punkt oder <strong>\u00dcber ein Intervall [a, b]<\/strong> f\u00fcr die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert zwischen zwei Anteilen liegt.<\/li>\n<li>Geben Sie den <strong>Anteil<\/strong> x (0 bis 1) ein oder die <strong>Untergrenze<\/strong> und <strong>Obergrenze<\/strong> des Intervalls.<\/li>\n<li>Lesen Sie die Ergebnisse ab: Dichte, kumulierte Wahrscheinlichkeit P(X \u2264 x), obere Rumpfwahrscheinlichkeit P(X &gt; x), Intervallwahrscheinlichkeit, Erwartungswert, Varianz, Modus sowie eine kurze schriftliche Interpretation.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Was ist die Beta-Verteilung?<\/h2>\n<p>Die Beta-Verteilung ist eine Familie stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf dem Intervall [0, 1]. Wegen dieses beschr\u00e4nkten Wertebereichs ist sie das Modell der Wahl f\u00fcr jede Gr\u00f6\u00dfe, die als Bruchteil oder Prozentsatz ausgedr\u00fcckt wird: Conversion-Raten, Marktanteile, die Treffsicherheit von Tests, der Anteil fehlerhafter St\u00fccke oder der Wert einer unbekannten Wahrscheinlichkeit selbst.<\/p>\n<p>Die beiden Formparameter machen die Familie au\u00dferordentlich flexibel. Mit \u03b1 = \u03b2 = 1 erh\u00e4lt man die flache Gleichverteilung. Mit \u03b1 = \u03b2 &gt; 1 ergibt sich eine symmetrische Glockenkurve mit Zentrum bei 0,5. Ungleiche Parameter verschieben die Verteilung Richtung 0 oder 1, w\u00e4hrend Werte unter 1 eine U-Form erzeugen, die Wahrscheinlichkeit an beiden Randpunkten anh\u00e4uft. Diese Flexibilit\u00e4t ist der Grund, warum die Beta-Verteilung \u00fcberall auftaucht \u2013 von der Bayes-Statistik \u00fcber das Projektmanagement (PERT) bis hin zu Bayes'schen A\/B-Tests.<\/p>\n<p>Ihre wichtigste Rolle spielt sie in der Bayes-Inferenz. Die Beta-Verteilung ist der <em>konjugierte A-priori-Verteilung<\/em> (konjugierte Prior) der Binomialverteilung: Beginnt man mit einer Prior-Verteilung Beta(\u03b1\u2080, \u03b2\u2080) f\u00fcr eine Erfolgswahrscheinlichkeit und beobachtet s Erfolge und n \u2212 s Misserfolge, ist die Posteriorverteilung exakt Beta(\u03b1\u2080 + s, \u03b2\u2080 + n \u2212 s). Ein flacher Beta(1, 1)-Prior mit 20 Versuchen und 5 Erfolgen ergibt beispielsweise eine Beta(6, 16)-Posteriorverteilung, deren Rumpfwahrscheinlichkeiten sich direkt aus diesem Rechner ablesen lassen \u2013 ein 95-%-Glaubw\u00fcrdigkeitsintervall ist der mittlere Bereich, der 95 % der Wahrscheinlichkeit umfasst. Zur zugrunde liegenden Aktualisierungslogik siehe den <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/statistik\/satz-von-bayes-rechner\/\">Rechner zum Satz von Bayes<\/a>.<\/p>\n<h2>Interpretation der Ergebnisse<\/h2>\n<p>Die <strong>Dichte<\/strong> f(x) ist die H\u00f6he der Kurve an der Stelle x; sie ist selbst keine Wahrscheinlichkeit, aber ein gr\u00f6\u00dferer Wert bedeutet, dass Werte in der N\u00e4he von x wahrscheinlicher sind. Die <strong>kumulierte Wahrscheinlichkeit<\/strong> F(x) ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Gr\u00f6\u00dfe h\u00f6chstens x betr\u00e4gt, und die <strong>obere Rumpfwahrscheinlichkeit<\/strong> ist ihr Gegenst\u00fcck 1 \u2212 F(x). Zusammen beantworten sie Fragen wie: \u201eWie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Conversion-Rate unter 20 % liegt?\u201c oder \u201eWie wahrscheinlich \u00fcberschreitet sie 30 %?\u201c<\/p>\n<p>Der <strong>Erwartungswert<\/strong> \u03b1\/(\u03b1+\u03b2) ist der Schwerpunkt der Verteilung und im Bayes-Kontext die Posterior-Sch\u00e4tzung des Anteils. Die <strong>Varianz<\/strong> nimmt mit wachsendem \u03b1 + \u03b2 ab \u2013 deshalb liefern mehr Daten (gr\u00f6\u00dfere Posterior-Parameter) sch\u00e4rfere Schl\u00fcsse. Der <strong>Modus<\/strong> ist der wahrscheinlichste Einzelwert; er existiert nur, wenn beide Parameter gr\u00f6\u00dfer als 1 sind. Vergleichen Sie mit dem <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/statistik\/gleichverteilung-rechner\/\">Rechner f\u00fcr die Gleichverteilung<\/a>, um den Spezialfall \u03b1 = \u03b2 = 1 zu sehen, und mit dem <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/statistik\/gammaverteilung-rechner\/\">Rechner f\u00fcr die Gammaverteilung<\/a> f\u00fcr deren unbeschr\u00e4nktes Gegenst\u00fcck.<\/p>\n<h2>Tipps, Annahmen und Grenzen<\/h2>\n<ul>\n<li>Die Verteilung ist nur auf [0, 1] definiert. Liegt Ihre Gr\u00f6\u00dfe in einem gr\u00f6\u00dferen Bereich, skalieren Sie sie zuerst um oder verwenden Sie eine andere Verteilungsfamilie.<\/li>\n<li>Die Formparameter m\u00fcssen streng positiv sein; der Rechner akzeptiert jeden positiven Wert, auch Bruchzahlen \u2013 das ist bei Bayes-Priors \u00fcblich (z. B. Beta(0,5; 0,5), der Jeffreys-Prior).<\/li>\n<li>Wenn \u03b1 &lt; 1 oder \u03b2 &lt; 1, ist die Dichte am entsprechenden Randpunkt unbeschr\u00e4nkt (unendlich); der Rechner weist darauf hin, und das ist mathematisch v\u00f6llig normal.<\/li>\n<li>Im Intervallmodus muss die Obergrenze \u00fcber der Untergrenze liegen; beide m\u00fcssen in [0, 1] enthalten sein.<\/li>\n<li>In Bayes-Anwendungen kommt der Wahl der Prior-Parameter eine wichtige Rolle zu, wenn Daten knapp sind. Ein gleichf\u00f6rmiger Beta(1, 1)-Prior und ein Jeffreys-Beta(0,5; 0,5)-Prior k\u00f6nnen nach nur einer Handvoll Beobachtungen sp\u00fcrbar unterschiedliche Schlussfolgerungen liefern.<\/li>\n<li>Der komplement\u00e4re kumulierte Wert S(x) = P(X &gt; x) ist praktisch f\u00fcr einseitige Fragen; der Intervallmodus deckt zweiseitige Fragen direkt ab.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Geben Sie die Formparameter \u03b1 und \u03b2 ein, um Dichte, kumulierte und \u00fcberschreitende Wahrscheinlichkeiten, Intervallwahrscheinlichkeiten, Erwartungswert, Varianz und Modus der Beta-Verteilung f\u00fcr beliebige Anteile zwischen 0 und 1 zu berechnen.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[12],"tags":[34],"class_list":["post-3896","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-statistik","tag-verteilungen"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3896","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3896"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3896\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4413,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3896\/revisions\/4413"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3896"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3896"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3896"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}