{"id":3957,"date":"2026-10-14T06:42:36","date_gmt":"2026-10-14T05:42:36","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/vektorprojektion-3d-rechner\/"},"modified":"2026-10-14T06:42:36","modified_gmt":"2026-10-14T05:42:36","slug":"vektorprojektion-3d-rechner","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/vektorprojektion-3d-rechner\/","title":{"rendered":"Rechner f\u00fcr die 3D-Vektorprojektion"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Projektion eines 3D-Vektors auf einen anderen<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"3957\" data-favorite-title=\"3D-Vektorprojektion\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/vektorprojektion-3d-rechner\/\" data-favorite-excerpt=\"Geben Sie die Komponenten zweier 3D-Vektoren ein, und dieser Rechner projiziert den einen auf den anderen \u2014 mit skalierter Projektion, Vektorprojektion, senkrechter Komponente, Skalarprodukt, Betr\u00e4gen und dem Winkel zwischen den Vektoren.\" aria-label=\"Zu Favoriten hinzuf\u00fcgen\" data-favorite-icon=\"icon icon-geometry\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/vektorprojektion-3d-rechner\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-3957\" data-post=\"3957\"><fieldset class=\"fieldset-input is-3\"><legend class=\"sr-only\">Eingabefelder<\/legend><div class=\"is-single field\" id=\"input-1\"><span class=\"font-semibold\">Vektor a \u2014 Komponenten<\/span><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">x-Komponente (a\u2093)<\/label><div class=\"term\">a\u2093<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"xkomponente_a\" id=\"field-2\" placeholder=\"2\" step=\"any\" value=\"2\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">y-Komponente (a\u1d67)<\/label><div class=\"term\">a\u1d67<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"ykomponente_a\" id=\"field-3\" placeholder=\"3\" step=\"any\" value=\"3\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-4\"><label for=\"field-4\">z-Komponente (a_z)<\/label><div class=\"term\">a_z<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"zkomponente_az\" id=\"field-4\" placeholder=\"1\" step=\"any\" value=\"1\"\/><\/div><div class=\"is-single field\" id=\"input-5\"><span class=\"font-semibold\">Vektor b \u2014 Komponenten<\/span><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-6\"><label for=\"field-6\">x-Komponente (b\u2093)<\/label><div class=\"term\">b\u2093<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"xkomponente_b\" id=\"field-6\" placeholder=\"1\" step=\"any\" value=\"1\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-7\"><label for=\"field-7\">y-Komponente (b\u1d67)<\/label><div class=\"term\">b\u1d67<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"ykomponente_b\" id=\"field-7\" placeholder=\"0\" step=\"any\" value=\"0\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-8\"><label for=\"field-8\">z-Komponente (b_z)<\/label><div class=\"term\">b_z<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"zkomponente_bz\" id=\"field-8\" placeholder=\"2\" step=\"any\" value=\"2\"\/><\/div><div class=\"is-single field\" id=\"input-9\"><span class=\"font-semibold\">Projektionsrichtung<\/span><\/div><div class=\"field is-single\" id=\"input-10\"><label for=\"field-10\">Projizieren<\/label><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-10\" name=\"projizieren\"><option value=\"ab\" selected>a auf b<\/option><option value=\"ba\">b auf a<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Neu berechnen\" id=\"calculate-button\" data-post=\"3957\">Berechnen<\/button><button type=\"reset\">Zur\u00fccksetzen<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Automatisch berechnen<\/label><small>Wenn aktiviert, wird das Ergebnis automatisch aktualisiert, sobald Sie einen Wert \u00e4ndern.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Ihre Projektion<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Skalare Projektion<\/span><span class=\"result-term\">comp<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>Vektorprojektion<\/span><span class=\"result-term\">proj<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>Senkrechte Komponente<\/span><span class=\"result-term\">rej<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-4\"><span class=\"field-title\"><span>Skalarprodukt<\/span><span class=\"result-term\">a\u00b7b<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-4\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-5\"><span class=\"field-title\"><span>Betrag von a<\/span><span class=\"result-term\">|a|<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-5\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-6\"><span class=\"field-title\"><span>Betrag von b<\/span><span class=\"result-term\">|b|<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-6\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-7\"><span class=\"field-title\"><span>Winkel zwischen den Vektoren<\/span><span class=\"result-term\">\u03b8<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-7\" data-unit=\"\u00b0\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-8\"><span class=\"field-title\"><span>Rechenweg<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-8\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Link zu dieser Berechnung kopieren<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Kommentar schreiben<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"3957\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Wie finden Sie dieses Ergebnis?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" 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hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Verwirrt <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Entt\u00e4uscht <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Ungenau <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Formel der 3D-Vektorprojektion<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Formel<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ \\operatorname{proj}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a} = \\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{\\lvert \\mathbf{b} \\rvert^2}\\, \\mathbf{b} \\]<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>Dabei gilt:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(\\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)\\) \u2014 der Vektor, der projiziert wird<\/li>\n<li>\\(\\mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z)\\) \u2014 der Vektor, der die Richtung vorgibt<\/li>\n<li>\\(\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\\) \u2014 das Skalarprodukt<\/li>\n<li>\\(\\lvert \\mathbf{b} \\rvert = \\sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}\\) \u2014 der Betrag (die L\u00e4nge) von \\(\\mathbf{b}\\)<\/li>\n<\/ul>\n<p>Die Formel dr\u00fcckt aus, wie viel von \\(\\mathbf{a}\\) in Richtung von \\(\\mathbf{b}\\) zeigt. Der Faktor \\(k = \\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{\\lvert \\mathbf{b} \\rvert^2}\\) skaliert \\(\\mathbf{b}\\) so, dass das Ergebnis genau der Schatten ist, den \\(\\mathbf{a}\\) auf die Gerade durch \\(\\mathbf{b}\\) wirft.<\/p>\n<p>Aus derselben Projektion ergeben sich zwei verwandte Gr\u00f6\u00dfen:<\/p>\n<p>\\[ \\operatorname{comp}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a} = \\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{\\lvert \\mathbf{b} \\rvert} \\qquad \\operatorname{perp}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a} = \\mathbf{a} - \\operatorname{proj}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a} \\]<\/p>\n<p>Die skalare Projektion (Komponente) ist die vorzeichenbehaftete L\u00e4nge dieses Schattens, und die senkrechte Komponente (Rejektion) ist der Rest von \\(\\mathbf{a}\\), der immer senkrecht auf \\(\\mathbf{b}\\) steht.<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>3D-Vektorprojektion \u2013 Rechenbeispiel<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Beispiel:<\/strong> \\(\\mathbf{a} = (2, 3, 1)\\) wird auf \\(\\mathbf{b} = (1, 0, 2)\\) projiziert (die voreingestellten Werte des Rechners).<\/p>\n<p>\\[ \\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b} = 2 \\cdot 1 + 3 \\cdot 0 + 1 \\cdot 2 = 4 \\]<\/p>\n<p>\\[ \\lvert \\mathbf{a} \\rvert = \\sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \\sqrt{14} \\approx 3.742, \\qquad \\lvert \\mathbf{b} \\rvert = \\sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \\sqrt{5} \\approx 2.236 \\]<\/p>\n<p>\\[ k = \\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{\\lvert \\mathbf{b} \\rvert^2} = \\frac{4}{5} = 0.8 \\]<\/p>\n<p>\\[ \\operatorname{proj}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a} = 0.8 \\cdot (1, 0, 2) = (0.8,\\ 0,\\ 1.6) \\]<\/p>\n<p>\\[ \\operatorname{perp}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a} = (2, 3, 1) - (0.8, 0, 1.6) = (1.2,\\ 3,\\ -0.6) \\]<\/p>\n<p><strong>Ergebnis:<\/strong> Die skalare Projektion betr\u00e4gt \\(4 \/ \\sqrt{5} \\approx 1.789\\), die Vektorprojektion ist \\((0.8, 0, 1.6)\\), und die senkrechte Komponente ist \\((1.2, 3, -0.6)\\) mit einem Betrag von \\(\\approx 3.286\\). Der Winkel zwischen den Vektoren ist \\(\\arccos\\!\\left(\\tfrac{4}{\\sqrt{70}}\\right) \\approx 61.4\u00b0\\).<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>So benutzen Sie den Rechner<\/h2>\n<ol>\n<li>Geben Sie die <strong>x-Komponente (a\u2093)<\/strong>, <strong>y-Komponente (a\u1d67)<\/strong> und <strong>z-Komponente (a_z)<\/strong> des ersten Vektors unter \u201eVektor a \u2013 Komponenten\u201c ein.<\/li>\n<li>Geben Sie die drei Komponenten des zweiten Vektors unter \u201eVektor b \u2013 Komponenten\u201c ein. Fehlende Achsen tragen Sie als 0 ein.<\/li>\n<li>W\u00e4hlen Sie die Option <strong>Projizieren<\/strong>: \u201ea auf b\u201c ermittelt, wie viel von \\(\\mathbf{a}\\) in Richtung \\(\\mathbf{b}\\) liegt; \u201eb auf a\u201c tauscht die Rollen.<\/li>\n<li>Lesen Sie die Ergebnisse ab: die skalare Projektion, die Vektorprojektion, die senkrechte Komponente sowie das Skalarprodukt, beide Betr\u00e4ge, der Winkel zwischen den Vektoren und eine ausf\u00fchrliche Schritt-f\u00fcr-Schritt-Rechnung.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Was ist eine 3D-Vektorprojektion?<\/h2>\n<p>Geometrisch ist die Projektion des Vektors \\(\\mathbf{a}\\) auf den Vektor \\(\\mathbf{b}\\) der Schatten, den \\(\\mathbf{a}\\) auf die Gerade durch \\(\\mathbf{b}\\) wirft, als w\u00fcrde Licht senkrecht auf diese Gerade fallen. Das Ergebnis ist ein neuer Vektor, der genau in dieselbe (oder genau die entgegengesetzte) Richtung wie \\(\\mathbf{b}\\) zeigt und dessen L\u00e4nge angibt, wie weit \\(\\mathbf{a}\\) in diese Richtung reicht. Man nennt ihn auch die Vektorkomponente von \\(\\mathbf{a}\\) in Richtung \\(\\mathbf{b}\\).<\/p>\n<p>Jede Projektion zerlegt einen Vektor in zwei senkrecht aufeinander stehende Teile: die Projektion selbst (parallel zu \\(\\mathbf{b}\\)) und die senkrechte Komponente, oft auch <em>Rejektion<\/em> genannt. Beide Teile ergeben zusammen wieder den urspr\u00fcnglichen Vektor: \\(\\mathbf{a} = \\operatorname{proj}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a} + \\operatorname{perp}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a}\\), und ihr Skalarprodukt ist null. Diese Zerlegung ist die Grundlage des Gram-Schmidt-Verfahrens, der Zerlegung von Kr\u00e4ften in Komponenten in der Physik und der Ausgleichsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate in der Statistik.<\/p>\n<p>Die <strong>skalare Projektion<\/strong> beantwortet die Frage \u201eWie weit reicht \\(\\mathbf{a}\\) in Richtung \\(\\mathbf{b}\\)?\u201c mit einer einzigen Zahl samt Vorzeichen. Sie ist positiv, wenn der Winkel zwischen den Vektoren kleiner als 90\u00b0 ist, null, wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen, und negativ, wenn der Winkel 90\u00b0 \u00fcbersteigt \u2014 dann zeigt \\(\\mathbf{a}\\) teilweise <em>entgegen<\/em> \\(\\mathbf{b}\\). Der Winkel selbst ergibt sich \u00fcber das Skalarprodukt aus \\(\\cos\\theta = \\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{\\lvert\\mathbf{a}\\rvert\\,\\lvert\\mathbf{b}\\rvert}\\), weshalb der Rechner ihn zusammen mit der Projektion anzeigt.<\/p>\n<p>Beachten Sie: Der Faktor \\(k\\) h\u00e4ngt zwar von der L\u00e4nge von \\(\\mathbf{b}\\) ab, nicht aber von deren Richtung \u2014 verdoppelt man \\(\\mathbf{b}\\), halbiert sich \\(k\\), und die Vektorprojektion selbst bleibt unver\u00e4ndert. Mit anderen Worten h\u00e4ngt die Projektion von der <em>Geraden<\/em> durch \\(\\mathbf{b}\\) ab, nicht vom konkreten Vektor \u2014 \\(k\\) ist direkt proportional zu \\(\\lvert\\mathbf{b}\\rvert^{-2}\\). Solche proportionalen Zusammenh\u00e4nge k\u00f6nnen Sie mit dem <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/direkte-proportionalitaet\/\">Rechner f\u00fcr direkte Proportionalit\u00e4t<\/a> untersuchen.<\/p>\n<h2>Voraussetzungen, Grenzen und Tipps<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Keine Nullvektoren.<\/strong> Der Richtungsvektor muss einen positiven Betrag haben, weil die Formel durch \\(\\lvert\\mathbf{b}\\rvert^2\\) teilt. Ein Nullvektor hat keine Richtung, auf die projiziert werden k\u00f6nnte; der Rechner teilt Ihnen mit, welcher Vektor korrigiert werden muss.<\/li>\n<li><strong>Das Vorzeichen z\u00e4hlt.<\/strong> Eine negative skalare Projektion ist ein zul\u00e4ssiges Ergebnis: Sie bedeutet, dass die Projektion \u200bentgegengesetzt zu \\(\\mathbf{b}\\) zeigt, und die Vektorprojektion enth\u00e4lt dann negative Vielfache der Komponenten von \\(\\mathbf{b}\\).<\/li>\n<li><strong>Die Reihenfolge z\u00e4hlt.<\/strong> Die Projektion von \\(\\mathbf{a}\\) auf \\(\\mathbf{b}\\) und die von \\(\\mathbf{b}\\) auf \\(\\mathbf{a}\\) liefern im Allgemeinen verschiedene Vektoren (nur die skalaren Projektionen h\u00e4ngen \u00fcber \\(\\lvert\\mathbf{a}\\rvert\\) und \\(\\lvert\\mathbf{b}\\rvert\\) zusammen). \u00dcber die Auswahlliste \u201eProjizieren\u201c wechseln Sie die Richtung.<\/li>\n<li><strong>Senkrecht-Pr\u00fcfung.<\/strong> Ist das Skalarprodukt 0, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander: Die Projektion ist der Nullvektor, und die senkrechte Komponente ist der urspr\u00fcngliche Vektor.<\/li>\n<li><strong>Betr\u00e4ge als Effektivwerte.<\/strong> Der Betrag \\(\\lvert\\mathbf{v}\\rvert = \\sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\\) ist der Effektivwert der drei Komponenten, multipliziert mit \\(\\sqrt{3}\\); dieselbe Mittelungsidee steckt hinter dem <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/quadratischer-mittelwert-rechner\/\">Rechner f\u00fcr den quadratischen Mittelwert (RMS)<\/a>.<\/li>\n<li><strong>Parallele Vektoren.<\/strong> Sind die beiden Vektoren parallel (Winkel 0\u00b0 oder 180\u00b0), ist die Projektion bis auf das Vorzeichen \\(\\mathbf{a}\\) selbst, und die senkrechte Komponente ist der Nullvektor.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Geben Sie die Komponenten zweier 3D-Vektoren ein, und dieser Rechner projiziert den einen auf den anderen \u2014 mit skalierter Projektion, Vektorprojektion, senkrechter Komponente, Skalarprodukt, Betr\u00e4gen und dem Winkel zwischen den Vektoren.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[8],"tags":[42],"class_list":["post-3957","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mathematik","tag-geometrie"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3957","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3957"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3957\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3957"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3957"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3957"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}