{"id":408,"date":"2026-10-03T18:31:39","date_gmt":"2026-10-03T17:31:39","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/harmonisches-mittel\/"},"modified":"2026-10-03T18:31:39","modified_gmt":"2026-10-03T17:31:39","slug":"harmonisches-mittel","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/harmonisches-mittel\/","title":{"rendered":"Harmonisches Mittel berechnen"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Harmonischen Durchschnitt von Zahlen berechnen<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"408\" data-favorite-title=\"Harmonisches Mittel\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/harmonisches-mittel\/\" data-favorite-excerpt=\"Geben Sie zwei oder mehr positive Zahlen ein, und dieser Rechner liefert deren harmonisches Mittel \u2014 der Kehrwert des Durchschnitts der Kehrwerte, ideal zum Mitteln von Raten und Geschwindigkeiten.\" aria-label=\"Zu Favoriten hinzuf\u00fcgen\" data-favorite-icon=\"icon icon-arithmetic\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/harmonisches-mittel\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-408\" data-post=\"408\"><fieldset class=\"fieldset-input\"><legend class=\"sr-only\">Eingabefelder<\/legend><div class=\"field is-single\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Anzahl der Werte<\/label><input type=\"text\" name=\"anzahl_der_werte\" id=\"field-1\" aria-describedby=\"calc-info-1\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" min=\"2\" value=\"2\"\/><small id=\"calc-info-1\">Geben Sie ein, f\u00fcr wie viele Werte Sie das harmonische Mittel berechnen m\u00f6chten<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">Zahl 1<\/label><div class=\"term\">n\u2081<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"zahl_1\" id=\"field-2\" step=\"any\" value=\"10\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">Zahl 2<\/label><div class=\"term\">n\u2082<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"zahl_2\" id=\"field-3\" step=\"any\" value=\"20\"\/><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Neu berechnen\" id=\"calculate-button\" data-post=\"408\">Berechnen<\/button><button type=\"reset\">Zur\u00fccksetzen<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Automatisch berechnen<\/label><small>Wenn aktiviert, wird das Ergebnis automatisch aktualisiert, sobald Sie einen Wert \u00e4ndern.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Ihre Ergebnisse<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Durchschnitt<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Link zu dieser Berechnung kopieren<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Kommentar schreiben<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"408\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Wie finden Sie dieses Ergebnis?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Gef\u00e4llt mir <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Hilfreich <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Verwirrt <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Entt\u00e4uscht <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Ungenau <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Formel des harmonischen Mittels<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Formel<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ H = \\frac{n}{\\dfrac{1}{x_1} + \\dfrac{1}{x_2} + \\cdots + \\dfrac{1}{x_n}} \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>Wobei gilt:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(H\\) \u2014 das harmonische Mittel<\/li>\n<li>\\(n\\) \u2014 die Anzahl der Werte<\/li>\n<li>\\(x_1, x_2, \\ldots, x_n\\) \u2014 die einzelnen Werte; jeder muss positiv und von Null verschieden sein<\/li>\n<\/ul>\n<p>Die Formel teilt die Anzahl der Werte durch die Summe ihrer Kehrwerte. \u00c4quivalent dazu ist sie der Kehrwert des arithmetischen Mittels der Kehrwerte \u2014 weshalb sie kleineren Werten ein gr\u00f6\u00dferes Gewicht verleiht.<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Harmonisches Mittel \u2013 Rechenbeispiel<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Beispiel:<\/strong> Sie legen dieselbe Strecke zweimal zur\u00fcck \u2014 zuerst mit 10 km\/h, dann mit 20 km\/h \u2014 und m\u00f6chten Ihre Durchschnittsgeschwindigkeit f\u00fcr die gesamte Fahrt wissen.<\/p>\n<p>\\[ H = \\frac{2}{\\dfrac{1}{10} + \\dfrac{1}{20}} = \\frac{2}{0{,}1 + 0{,}05} = \\frac{2}{0{,}15} \\approx 13{,}33 \\]<\/p>\n<p><strong>Ergebnis:<\/strong> Das harmonische Mittel von 10 und 20 betr\u00e4gt ungef\u00e4hr <strong>13,33 km\/h<\/strong> \u2014 nicht 15, wie das arithmetische Mittel f\u00e4lschlicherweise nahelegen w\u00fcrde.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>So verwenden Sie den Rechner<\/h2>\n<ol>\n<li>Geben Sie im Feld <strong>Anzahl der Werte<\/strong> ein, wie viele Werte Sie mitteln m\u00f6chten (mindestens 2). Weitere Eingabefelder erscheinen automatisch.<\/li>\n<li>Tippen Sie Ihre positiven Zahlen in <strong>Zahl 1<\/strong>, <strong>Zahl 2<\/strong> und so weiter ein.<\/li>\n<li>Das Ergebnis erscheint sofort im Feld <strong>Durchschnitt<\/strong> \u2014 ganz ohne Knopfdruck.<\/li>\n<li>Ist ein Wert null oder negativ, zeigt der Rechner einen Fehler an, da das harmonische Mittel nur f\u00fcr positive Zahlen definiert ist.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Was ist das harmonische Mittel?<\/h2>\n<p>Das harmonische Mittel ist eines der drei klassischen pythagoreischen Mittel, neben dem <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/durchschnitt-berechnen\/\">arithmetischen Mittel<\/a> und dem <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/geometrisches-mittel\/\">geometrischen Mittel<\/a>. F\u00fcr jede Menge positiver Zahlen gilt stets die Reihenfolge:<\/p>\n<p>\\[ H \\leq G \\leq A \\]<\/p>\n<p>wobei Gleichheit nur besteht, wenn alle Werte identisch sind. In der Praxis ist das harmonische Mittel immer dann der richtige Durchschnitt, wenn die zusammengefassten Gr\u00f6\u00dfen als Raten vorliegen \u2014 also als etwas <em>pro Einheit<\/em> von etwas anderem, beispielsweise Kilometer pro Stunde, Liter pro 100 km oder produzierte Einheiten pro Stunde.<\/p>\n<p>Das klassische Beispiel ist die Durchschnittsgeschwindigkeit. Fahren Sie 100 km mit 60 km\/h und die n\u00e4chsten 100 km mit 40 km\/h, so betr\u00e4gt Ihre tats\u00e4chliche Durchschnittsgeschwindigkeit nicht 50 km\/h, sondern das harmonische Mittel \\(2\/(1\/60 + 1\/40) = 48\\) km\/h \u2014 denn bei der niedrigeren Geschwindigkeit sind Sie l\u00e4nger unterwegs. Wann immer jeder Wert f\u00fcr <em>dieselbe Strecke, dasselbe Volumen oder denselben Arbeitsaufwand<\/em> gilt, liefert das harmonische Mittel \u2014 nicht das arithmetische \u2014 die korrekte Gesamtrate.<\/p>\n<p>Weil kleine Werte \u00fcberproportional gro\u00dfe Kehrwerte beisteuern, wird das harmonische Mittel zu den kleinsten Werten hin gezogen und ist robust gegen\u00fcber sehr gro\u00dfen Ausrei\u00dfern. Diese Eigenschaft wird in der Finanzwelt beim Mitteln von Kurs-Gewinn-Verh\u00e4ltnissen eines Portfolios genutzt, im Maschinellen Lernen im F1-Score (dem harmonischen Mittel aus Pr\u00e4zision und Trefferquote) und in der Elektrotechnik bei parallel geschalteten Widerst\u00e4nden.<\/p>\n<h2>Voraussetzungen, Grenzen und Tipps<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Alle Werte m\u00fcssen positiv sein.<\/strong> Eine einzige Null oder negative Zahl macht das harmonische Mittel undefiniert \u2014 der Rechner lehnt solche Eingaben ab.<\/li>\n<li><strong>Nur f\u00fcr Raten verwenden, nicht f\u00fcr Mengen.<\/strong> Wenn Sie Preise, Gewichte oder Punktzahlen direkt mitteln, ist das arithmetische oder das <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/gewichteter-mittelwert\/\">gewichtete Mittel<\/a> in der Regel die richtige Wahl.<\/li>\n<li><strong>Gleichm\u00e4\u00dfige Gewichtung wird angenommen.<\/strong> Jeder Wert z\u00e4hlt gleich viel. Gelten Ihre Raten f\u00fcr unterschiedliche Strecken oder Volumina, ist ein gewichtetes harmonisches Mittel erforderlich.<\/li>\n<li><strong>Ein einzelner extrem kleiner Wert dominiert.<\/strong> Das harmonische Mittel von \\(1, 100, 100\\) betr\u00e4gt etwa 2,94 und liegt nirgends nahe bei 67. Stellen Sie sicher, dass ein einzelner winziger Wert wirklich zu Ihren Daten geh\u00f6rt.<\/li>\n<li>Um alle drei klassischen Mittel an denselben Daten zu vergleichen \u2014 oder um mit dem Effektivwert aus der Statistik zu arbeiten \u2014 probieren Sie den <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/quadratischer-mittelwert-rechner\/\">Rechner f\u00fcr das quadratische Mittel (RMS)<\/a>.<\/li>\n<\/ul>\n<h2>Harmonisches Mittel im Vergleich zu anderen Durchschnitten<\/h2>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>Durchschnitt<\/th>\n<th>Am besten geeignet f\u00fcr<\/th>\n<th>Anwendungsbeispiel<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>Harmonisches Mittel<\/td>\n<td>Raten \u00fcber gleiche Einheiten (Geschwindigkeit, Wirkungsgrad)<\/td>\n<td>Durchschnittsgeschwindigkeit \u00fcber gleiche Strecken<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Geometrisches Mittel<\/td>\n<td>Multiplikative Daten, Wachstumsraten<\/td>\n<td>Durchschnittliche Anlagerendite \u00fcber Jahre<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Arithmetisches Mittel<\/td>\n<td>Additive Gr\u00f6\u00dfen<\/td>\n<td>Durchschnitt von Testergebnissen<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Quadratisches Mittel (RMS)<\/td>\n<td>Daten, die um null schwanken<\/td>\n<td>Effektivwert einer Wechselspannung<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Eine verwandte Anwendung aus der Praxis ist <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/gemeinsame-arbeitszeit-rechner\/\">die Berechnung, wie lange zwei Personen f\u00fcr eine gemeinsame Arbeit brauchen<\/a> \u2014 die zugrunde liegende Mathematik ist im Wesentlichen eine harmonische Mittelberechnung.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Geben Sie zwei oder mehr positive Zahlen ein, und dieser Rechner liefert deren harmonisches Mittel \u2014 der Kehrwert des Durchschnitts der Kehrwerte, ideal zum Mitteln von Raten und Geschwindigkeiten.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[8],"tags":[19],"class_list":["post-408","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mathematik","tag-arithmetik-rechner"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/408","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=408"}],"version-history":[{"count":6,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/408\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4628,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/408\/revisions\/4628"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=408"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=408"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=408"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}