{"id":4089,"date":"2026-10-15T00:45:30","date_gmt":"2026-10-14T23:45:30","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/polynomdivision\/"},"modified":"2026-10-15T00:45:30","modified_gmt":"2026-10-14T23:45:30","slug":"polynomdivision","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/polynomdivision\/","title":{"rendered":"Polynomdivision-Rechner"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Ein Polynom durch ein anderes Polynom dividieren<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"4089\" data-favorite-title=\"Polynomdivision\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/polynomdivision\/\" data-favorite-excerpt=\"Teilen Sie ein Polynom Schritt f\u00fcr Schritt durch ein anderes. Geben Sie die Koeffizienten von Dividend und Divisor ein (h\u00f6chste Potenz zuerst, Nullen mit eingeschlossen) und erhalten Sie den Quotienten, den Rest und jeden einzelnen Divisionsschritt.\" aria-label=\"Zu Favoriten hinzuf\u00fcgen\" data-favorite-icon=\"icon icon-algebra\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/polynomdivision\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-4089\" data-post=\"4089\"><fieldset class=\"fieldset-input is-1\"><legend class=\"sr-only\">Eingabefelder<\/legend><div class=\"field\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Koeffizienten des Dividenden (h\u00f6chste Potenz zuerst)<\/label><textarea id=\"field-1\" name=\"koeffizienten_des_dividenden_hchste_potenz_zuerst\">1; 0; -7; 6<\/textarea><\/div><div class=\"field\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">Koeffizienten des Divisors (h\u00f6chste Potenz zuerst)<\/label><textarea id=\"field-2\" name=\"koeffizienten_des_divisors_hchste_potenz_zuerst\">1; -2<\/textarea><\/div><div class=\"field\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">Variable<\/label><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-3\" name=\"variable\"><option value=\"x\" selected>x<\/option><option value=\"t\">t<\/option><option value=\"n\">n<\/option><option value=\"y\">y<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Neu berechnen\" id=\"calculate-button\" data-post=\"4089\">Berechnen<\/button><button type=\"reset\">Zur\u00fccksetzen<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Automatisch berechnen<\/label><small>Wenn aktiviert, wird das Ergebnis automatisch aktualisiert, sobald Sie einen Wert \u00e4ndern.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Ergebnisse der Division<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Quotient<\/span><span class=\"result-term\">Q(x)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>Rest<\/span><span class=\"result-term\">R(x)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>Divisionsschritte<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-4\"><span class=\"field-title\"><span>Probe: D(x) \u00b7 Q(x) + R(x)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-4\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 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aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Gef\u00e4llt mir <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Hilfreich <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Verwirrt <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Entt\u00e4uscht <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Ungenau <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Formel der Polynomdivision<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Formel<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\nP(x) = D(x) \\cdot Q(x) + R(x)\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>Dabei gilt:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(P(x)\\) \u2014 der Dividend, also das Polynom, das geteilt wird<\/li>\n<li>\\(D(x)\\) \u2014 der Divisor, der nicht das Nullpolynom sein darf<\/li>\n<li>\\(Q(x)\\) \u2014 der Quotient<\/li>\n<li>\\(R(x)\\) \u2014 der Rest, mit \\(\\deg R &lt; \\deg D\\)<\/li>\n<\/ul>\n<p>Die Polynomdivision liefert das eindeutige Paar aus Quotient und Rest, das diese Gleichung erf\u00fcllt \u2014 ganz analog zur Division mit Rest bei ganzen Zahlen, bei der \\(a = b \\cdot q + r\\) mit \\(0 \\le r &lt; b\\) gilt. Ist \\(R(x) = 0\\), teilt der Divisor den Dividenden ohne Rest, und die Nullstellen von \\(D(x)\\) sind dann auch Nullstellen von \\(P(x)\\).<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Polynomdivision \u2013 Rechenbeispiel<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Beispiel:<\/strong> Teilen Sie \\(P(x) = x^3 - 7x + 6\\) durch \\(D(x) = x - 2\\).<\/p>\n<p>Der fehlende \\(x^2\\)-Term wird als \\(0x^2\\) geschrieben, daher lauten die Koeffizienten des Dividenden 1; 0; \u22127; 6 und die des Divisors 1; \u22122. Schritt f\u00fcr Schritt:<\/p>\n<p>\\[x^3 \\div x = x^2, \\quad (x-2)\\,x^2 = x^3 - 2x^2, \\quad (x^3 - 7x + 6) - (x^3 - 2x^2) = 2x^2 - 7x + 6\\]<\/p>\n<p>\\[2x^2 \\div x = 2x, \\quad (x-2)\\,2x = 2x^2 - 4x, \\quad (2x^2 - 7x + 6) - (2x^2 - 4x) = -3x + 6\\]<\/p>\n<p>\\[-3x \\div x = -3, \\quad (x-2)(-3) = -3x + 6, \\quad (-3x + 6) - (-3x + 6) = 0\\]<\/p>\n<p><strong>Ergebnis:<\/strong> \\(Q(x) = x^2 + 2x - 3\\) und \\(R(x) = 0\\). Die Probe \\((x-2)(x^2+2x-3) = x^3 - 7x + 6\\) best\u00e4tigt, dass die Division ohne Rest aufgeht; \\(x = 2\\) ist also eine Nullstelle von \\(P(x)\\).<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>So bedienen Sie den Rechner<\/h2>\n<ol>\n<li>Geben Sie die <strong>Koeffizienten des Dividenden (h\u00f6chste Potenz zuerst)<\/strong> in das erste Feld ein. Setzen Sie f\u00fcr jede fehlende Potenz eine 0 ein: Aus \\(x^3 - 7x + 6\\) wird <code>1; 0; -7; 6<\/code>.<\/li>\n<li>Geben Sie die <strong>Koeffizienten des Divisors (h\u00f6chste Potenz zuerst)<\/strong> in das zweite Feld ein. F\u00fcr \\(x - 2\\) lautet die Eingabe <code>1; -2<\/code>; der Leitkoeffizient darf nicht null sein.<\/li>\n<li>Trennen Sie die Zahlen mit Leerzeichen, Kommas oder Semikolons \u2014 der Rechner akzeptiert alle drei.<\/li>\n<li>W\u00e4hlen Sie die <strong>Variable<\/strong> (x, t, n oder y), mit der die Polynome angezeigt werden.<\/li>\n<li>Lesen Sie die Ergebnisse ab: den <strong>Quotienten<\/strong>, den <strong>Rest<\/strong>, eine zeilenweise Aufschl\u00fcsselung der <strong>Divisionsschritte<\/strong> sowie die Probe <strong>D(x) \u00b7 Q(x) + R(x)<\/strong>, die den Dividenden wieder liefern muss.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Was ist Polynomdivision?<\/h2>\n<p>Die Polynomdivision ist das algebraische Gegenst\u00fcck zur schriftlichen Division von Zahlen. Aus einem Dividenden \\(P(x)\\) und einem Divisor \\(D(x)\\) entstehen ein Quotient \\(Q(x)\\) und ein Rest \\(R(x)\\), sodass \\(P(x) = D(x)\\,Q(x) + R(x)\\) gilt, wobei der Rest einen echt kleineren Grad hat als der Divisor. Dieses Paar aus Quotient und Rest ist eindeutig \u2014 deshalb ergibt die Probe \\(D(x)\\,Q(x) + R(x)\\) immer wieder das urspr\u00fcngliche Polynom.<\/p>\n<p>Der Algorithmus wiederholt einen einzigen einfachen Zyklus: Man dividiert den jeweils f\u00fchrenden Term durch den Leitterm des Divisors, multipliziert den gesamten Divisor mit diesem Ergebnis und subtrahiert. Jeder Durchgang hebt die h\u00f6chste noch vorhandene Potenz des Dividenden auf, sodass der Grad des Arbeitsrests Schritt f\u00fcr Schritt sinkt, bis er unter den Grad des Divisors f\u00e4llt. Dort endet die Division, und was \u00fcbrig bleibt, ist der Rest.<\/p>\n<p>Wie man das Ergebnis deutet, h\u00e4ngt vom Rest ab. Ein Rest von null bedeutet, dass \\(D(x)\\) ein Faktor von \\(P(x)\\) ist \u2014 darauf beruhen der <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/vorzeichenregel-von-descartes\/\">Faktor- und Nullstellentest<\/a> ebenso wie die synthetische Division. Auch ein Rest ungleich null ist aufschlussreich: Nach dem Restsatz ergibt die Division durch \\(x - c\\) genau \\(P(c)\\), der Rest ist also der Wert des Polynoms an der Stelle \\(c\\).<\/p>\n<p>Die Polynomdivision kommt \u00fcberall dort zum Einsatz, wo Polynome vereinfacht werden m\u00fcssen: bei der Partialbruchzerlegung in der Integralrechnung, beim Bestimmen von Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen und beim Rechnen mit einem Polynom modulo einem anderen. Au\u00dferdem ist sie ein praktisches Mittel, um Polynome h\u00f6heren Grades zu faktorisieren, sobald eine Nullstelle bekannt ist oder erraten wurde.<\/p>\n<h2>Tipps, Voraussetzungen und Grenzen<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Immer mit Nullen auff\u00fcllen.<\/strong> \\(x^3 - 7x + 6\\) muss als <code>1; 0; -7; 6<\/code> eingegeben werden, nicht als <code>1; -7; 6<\/code>. Fehlende Nullen verschieben jeden Koeffizienten auf die falsche Potenz und liefern ein falsches Ergebnis.<\/li>\n<li><strong>Der Divisor darf nicht null sein.<\/strong> Der Leitkoeffizient kann nicht null sein; der Rechner entfernt f\u00fchrende Nullen automatisch, ein aus lauter Nullen bestehender Divisor wird jedoch abgelehnt.<\/li>\n<li><strong>Divisor mit h\u00f6herem Grad liefert den Dividenden zur\u00fcck.<\/strong> Wenn \\(\\deg D &gt; \\deg P\\), ist der Quotient 0 und der Rest gleich dem Dividenden \u2014 das ist das korrekte Ergebnis und kein Fehler.<\/li>\n<li><strong>Die Koeffizienten d\u00fcrfen beliebige reelle Zahlen sein<\/strong>, auch Br\u00fcche und Dezimalzahlen (z. B. <code>0.5; -3; 2<\/code>). Ergebnisse werden zur Anzeige auf 4 Dezimalstellen gerundet; sehr lange Dezimalzahlen k\u00f6nnen daher leicht gek\u00fcrzt wirken.<\/li>\n<li><strong>Division durch ein Monom<\/strong> wie \\(x^2\\) funktioniert ebenfalls \u2014 geben Sie als Divisor <code>1; 0<\/code> ein; jeder Term des Dividenden wird dabei einfach um einen Grad erniedrigt.<\/li>\n<li>Wer die Multiplikation in der Probe von Hand nachvollziehen m\u00f6chte: Die Rechner zum <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/binome-multiplizieren-2\/\">Multiplizieren von Binomen<\/a> und zur <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/foil-methode\/\">FOIL-Methode<\/a> decken die h\u00e4ufigsten F\u00e4lle ab, und der gew\u00f6hnliche <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/divisionsrechner\/\">Divisionsrechner<\/a> \u00fcbernimmt einfache Zahlendivisionen.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Teilen Sie ein Polynom Schritt f\u00fcr Schritt durch ein anderes. Geben Sie die Koeffizienten von Dividend und Divisor ein (h\u00f6chste Potenz zuerst, Nullen mit eingeschlossen) und erhalten Sie den Quotienten, den Rest und jeden einzelnen Divisionsschritt.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[8],"tags":[16],"class_list":["post-4089","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mathematik","tag-algebra"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4089","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=4089"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4089\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=4089"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=4089"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=4089"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}