{"id":4093,"date":"2026-10-15T00:59:33","date_gmt":"2026-10-14T23:59:33","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/primzahl-pruefer\/"},"modified":"2026-10-15T00:59:33","modified_gmt":"2026-10-14T23:59:33","slug":"primzahl-pruefer","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/primzahl-pruefer\/","title":{"rendered":"Primzahl-Pr\u00fcfer"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Ist diese Zahl eine Primzahl?<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"4093\" data-favorite-title=\"Primzahl-Pr\u00fcfer\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/primzahl-pruefer\/\" data-favorite-excerpt=\"Geben Sie eine beliebige ganze Zahl bis zu einer Billion ein und erfahren Sie sofort, ob sie eine Primzahl oder eine zusammengesetzte Zahl ist. Der Rechner zeigt zus\u00e4tzlich den kleinsten Primfaktor sowie die vollst\u00e4ndige Primfaktorzerlegung mit Erkl\u00e4rung an.\" aria-label=\"Zu Favoriten hinzuf\u00fcgen\" data-favorite-icon=\"icon icon-arithmetic\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/primzahl-pruefer\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-4093\" data-post=\"4093\"><fieldset class=\"fieldset-input is-1\"><legend class=\"sr-only\">Eingabefelder<\/legend><div class=\"field has-term\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Zu pr\u00fcfende Zahl (n)<\/label><div class=\"term\">n<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"zu_prfende_zahl_n\" id=\"field-1\" aria-describedby=\"calc-info-1\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 91\" min=\"0\" max=\"1000000000000\" value=\"91\"\/><small id=\"calc-info-1\">Jede ganze Zahl zwischen 0 und 1.000.000.000.000<\/small><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Neu berechnen\" id=\"calculate-button\" data-post=\"4093\">Berechnen<\/button><button type=\"reset\">Zur\u00fccksetzen<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Automatisch berechnen<\/label><small>Wenn aktiviert, wird das Ergebnis automatisch aktualisiert, sobald Sie einen Wert \u00e4ndern.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Ihre Ergebnisse<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Ergebnis \u2014 prim oder zusammengesetzt<\/span><span class=\"result-term\">Ergebnis<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>Ein Primfaktor (angezeigt bei zusammengesetzten Zahlen)<\/span><span class=\"result-term\">p<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>Vollst\u00e4ndige Primfaktorzerlegung mit Erkl\u00e4rung<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 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class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Gef\u00e4llt mir <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Hilfreich <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Verwirrt <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Entt\u00e4uscht <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Ungenau <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Formel des Primzahl-Pr\u00fcfers<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Formel<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ n \\text{ ist Primzahl} \\;\\iff\\; n &gt; 1 \\text{ und keine ganze Zahl } d \\text{ mit } 1 &lt; d \\le \\sqrt{n} \\text{ teilt } n \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>Dabei ist:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(n\\) \u2014 die zu pr\u00fcfende ganze Zahl<\/li>\n<li>\\(d\\) \u2014 ein m\u00f6glicher Teiler<\/li>\n<li>\\(\\sqrt{n}\\) \u2014 die Quadratwurzel von \\(n\\), abgerundet auf die n\u00e4chstkleinere ganze Zahl<\/li>\n<\/ul>\n<p>Die Formel beschreibt das Verfahren der Probedivision: Es gen\u00fcgt, nach Teilern bis \\(\\sqrt{n}\\) zu suchen, denn gilt \\(n = a \\times b\\) mit beiden Faktoren gr\u00f6\u00dfer als 1, kann mindestens einer davon nicht gr\u00f6\u00dfer als \\(\\sqrt{n}\\) sein. Aus diesem Grund testet der Rechner nur Kandidaten bis zur Quadratwurzel und \u00fcberspringt dabei Vielfache von 2 und 3 (gepr\u00fcft werden 2, 3 und anschlie\u00dfend alle Zahlen der Form \\(6k \\pm 1\\)).<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Primzahl-Pr\u00fcfer \u2013 Rechenbeispiel<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Beispiel:<\/strong> Ist 91 eine Primzahl? Wir pr\u00fcfen m\u00f6gliche Teiler bis \\(\\sqrt{91} \\approx 9.54\\), also m\u00fcssen nur 2, 3, 5 und 7 getestet werden.<\/p>\n<p>\\[ 91 \\div 2 = 45.5 \\quad (\\text{kein Teiler}) \\]<\/p>\n<p>\\[ 91 \\div 3 = 30.\\overline{3} \\quad (\\text{kein Teiler}) \\]<\/p>\n<p>\\[ 91 \\div 5 = 18.2 \\quad (\\text{kein Teiler}) \\]<\/p>\n<p>\\[ 91 \\div 7 = 13 \\quad (\\text{exakt \u2014 7 ist ein Teiler!}) \\]<\/p>\n<p><strong>Ergebnis:<\/strong> 91 ist eine <strong>zusammengesetzte<\/strong> Zahl. Ihr kleinster Primfaktor ist 7, denn \\(91 = 7 \\times 13\\), und die vollst\u00e4ndige Primfaktorzerlegung lautet \\(91 = 7 \\times 13\\).<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>So verwenden Sie den Primzahl-Pr\u00fcfer<\/h2>\n<ol>\n<li>Geben Sie die ganze Zahl, die Sie pr\u00fcfen m\u00f6chten, in das Feld <strong>Zu pr\u00fcfende Zahl (n)<\/strong> ein. Zugelassen sind alle ganzen Zahlen von 0 bis 1.000.000.000.000 (10<sup>12<\/sup>).<\/li>\n<li>Lesen Sie das Urteil in der Zeile <strong>Ergebnis \u2014 Primzahl oder zusammengesetzt<\/strong>. Zahlen kleiner als 2 werden als weder prim noch zusammengesetzt ausgewiesen.<\/li>\n<li>Ist die Zahl zusammengesetzt, sehen Sie sich <strong>Ein Primfaktor (angezeigt, wenn zusammengesetzt)<\/strong> an \u2014 das ist die kleinste Primzahl, die Ihre Zahl teilt, zusammen mit ihrem Kofaktor.<\/li>\n<li>Lesen Sie den Abschnitt <strong>Vollst\u00e4ndige Primfaktorzerlegung mit Erkl\u00e4rung<\/strong>, der die Zahl in Primfaktoren zerlegt und erl\u00e4utert, wie das Ergebnis \u00fcberpr\u00fcft wurde.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Was ist eine Primzahl?<\/h2>\n<p>Eine <strong>Primzahl<\/strong> ist eine ganze Zahl gr\u00f6\u00dfer als 1, die genau zwei positive Teiler hat: 1 und sich selbst. Die ersten Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Jede andere ganze Zahl gr\u00f6\u00dfer als 1 ist <strong>zusammengesetzt<\/strong>, das hei\u00dft, sie l\u00e4sst sich als Produkt zweier kleinerer ganzer Zahlen schreiben, die beide gr\u00f6\u00dfer als 1 sind.<\/p>\n<p>Die Zahl 2 verdient eine besondere Erw\u00e4hnung: Sie ist die einzige gerade Primzahl, denn jede andere gerade Zahl ist durch 2 teilbar. Die Zahlen 0 und 1 sind weder prim noch zusammengesetzt \u2014 1 hat nur einen einzigen Teiler, und 0 ist durch jede positive ganze Zahl teilbar, sodass keine von beiden die Definition \u201egenau zwei Teiler\u201c erf\u00fcllt.<\/p>\n<p>Primzahlen sind die Bausteine der Arithmetik. Der <strong>Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie<\/strong> (Fundamentalsatz der Arithmetik) besagt, dass sich jede ganze Zahl gr\u00f6\u00dfer als 1 auf genau eine Weise in Primfaktoren zerlegen l\u00e4sst (abgesehen von der Reihenfolge der Faktoren). Deshalb zeigt der Rechner bei zusammengesetzten Zahlen stets die vollst\u00e4ndige Primfaktorzerlegung an: Sie verr\u00e4t Ihnen genau, aus welchen Primzahl-Bausteinen Ihre Zahl besteht und wie oft jeder davon vorkommt.<\/p>\n<p>Das Ergebnis zu deuten ist unkompliziert. Lautet das Urteil <em>prim<\/em>, l\u00e4sst sich die Zahl nicht weiter zerlegen. Lautet es <em>zusammengesetzt<\/em>, ist der angezeigte kleinste Primfaktor der einfachste Beweis \u2014 teilt man die Zahl durch diesen Faktor, ergibt sich eine ganze Zahl, womit die Primalit\u00e4t sofort ausgeschlossen ist.<\/p>\n<h2>Voraussetzungen, Grenzen und Tipps<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Zahlenbereich:<\/strong> Der Rechner akzeptiert ganze Zahlen von 0 bis 10<sup>12<\/sup>. F\u00fcr gr\u00f6\u00dfere Zahlen sind aufw\u00e4ndigere Methoden n\u00f6tig.<\/li>\n<li><strong>Verfahren:<\/strong> Verwendet wird die Probedivision mit der Optimierung \\(6k \\pm 1\\) \u2014 schnell und mathematisch sicher im unterst\u00fctzten Zahlenbereich. F\u00fcr astronomisch gro\u00dfe Zahlen greift man stattdessen auf probabilistische Tests wie den <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/kleiner-satz-von-fermat\/\">kleinen Satz von Fermat<\/a> zur\u00fcck, weil die Probedivision trotz ihrer Exaktheit zu langsam wird.<\/li>\n<li><strong>Dezimalzahlen und negative Zahlen:<\/strong> Primalit\u00e4t ist nur f\u00fcr ganze Zahlen gr\u00f6\u00dfer als 1 definiert. Bei Dezimaleingaben, negativen Zahlen sowie 0 oder 1 erhalten Sie daher eine Erkl\u00e4rung statt eines Urteils.<\/li>\n<li><strong>Schnelle Kopfrechnungen:<\/strong> Oft l\u00e4sst sich die Primalit\u00e4t schon vor der Nutzung des Rechners im Kopf ausschlie\u00dfen \u2014 eine Zahl, die auf 0, 2, 4, 5, 6 oder 8 endet, ist durch 2 oder 5 teilbar, und eine Zahl, deren Quersumme ein Vielfaches von 3 ist (wie bei 91, denn 9 + 1 = 10 \u2026 Probe: 10 ist nicht durch 3 teilbar, dieser Trick greift hier also nicht), ist durch 3 teilbar. Der Quersummentest h\u00e4ngt mit der <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/digitale-wurzel-rechner\/\">Quersumme bzw. iterierten Quersumme<\/a> zusammen.<\/li>\n<li><strong>Warum die Zerlegung wichtig ist:<\/strong> Primfaktorzerlegungen sind die Grundlage vieler zahlentheoretischer Werkzeuge \u2014 von der in der Kryptographie verwendeten <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/inverses-modulo\/\">multiplikativen Inversen modulo n<\/a> bis zur L\u00f6sung von Kongruenzsystemen mit dem <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/chinesischer-restsatz\/\">Chinesischen Restsatz<\/a>.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Geben Sie eine beliebige ganze Zahl bis zu einer Billion ein und erfahren Sie sofort, ob sie eine Primzahl oder eine zusammengesetzte Zahl ist. Der Rechner zeigt zus\u00e4tzlich den kleinsten Primfaktor sowie die vollst\u00e4ndige Primfaktorzerlegung mit Erkl\u00e4rung an.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[8],"tags":[19],"class_list":["post-4093","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mathematik","tag-arithmetik-rechner"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4093","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=4093"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4093\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=4093"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=4093"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=4093"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}