{"id":4104,"date":"2026-10-15T01:36:03","date_gmt":"2026-10-15T00:36:03","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/flaeche-regelmaessiges-vieleck\/"},"modified":"2026-10-15T01:36:03","modified_gmt":"2026-10-15T00:36:03","slug":"flaeche-regelmaessiges-vieleck","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/flaeche-regelmaessiges-vieleck\/","title":{"rendered":"Fl\u00e4che eines regelm\u00e4\u00dfigen Vielecks berechnen"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Fl\u00e4che eines regelm\u00e4\u00dfigen Polygons berechnen<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"4104\" data-favorite-title=\"Fl\u00e4che regelm\u00e4\u00dfiger Vielecke\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/flaeche-regelmaessiges-vieleck\/\" data-favorite-excerpt=\"Berechnen Sie die Fl\u00e4che eines beliebigen regelm\u00e4\u00dfigen Vielecks anhand der Seitenl\u00e4nge, des Apothems (Inkreisradius) oder des Umkreisradius. Geben Sie die Anzahl der Seiten und eine bekannte Gr\u00f6\u00dfe ein und Sie erhalten Fl\u00e4che, Umfang und Innenwinkel.\" aria-label=\"Zu Favoriten hinzuf\u00fcgen\" data-favorite-icon=\"icon icon-geometry\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/flaeche-regelmaessiges-vieleck\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-4104\" data-post=\"4104\"><fieldset class=\"fieldset-input is-2\"><legend class=\"sr-only\">Eingabefelder<\/legend><div class=\"field has-term\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Anzahl der Seiten (n)<\/label><div class=\"term\">n<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"anzahl_der_seiten_n\" id=\"field-1\" aria-describedby=\"calc-info-1\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"6\" min=\"3\" max=\"10000\" value=\"6\"\/><small id=\"calc-info-1\">Anzahl gleich langer Seiten als ganze Zahl, mindestens 3.<\/small><\/div><div class=\"field\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">Gegebene Gr\u00f6\u00dfe<\/label><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-2\" name=\"gegebene_gre\"><option value=\"side\" selected>Seitenl\u00e4nge (s)<\/option><option value=\"apothem\">Apothem (a)<\/option><option value=\"circumradius\">Umkreisradius (R)<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">Seitenl\u00e4nge (s)<\/label><div class=\"term\">s<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><div class=\"field-group\"><input type=\"text\" name=\"seitenlnge_s\" id=\"field-3\" aria-describedby=\"calc-info-3\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"10\" min=\"0\" value=\"10\"\/><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-4\" name=\"einheit\" aria-label=\"Einheit\"><option value=\"m\">m<\/option><option value=\"cm\" selected>cm<\/option><option value=\"mm\">mm<\/option><option value=\"ft\">ft<\/option><option value=\"in\">in<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><small id=\"calc-info-3\">L\u00e4nge einer Seite des Polygons.<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-4\" hidden><label for=\"field-5\">Apothem (a)<\/label><div class=\"term\">a<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><div class=\"field-group\"><input type=\"text\" name=\"apothem_a\" id=\"field-5\" aria-describedby=\"calc-info-5\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"8.66\" min=\"0\" value=\"8.66\"\/><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-6\" name=\"einheit\" aria-label=\"Einheit\"><option value=\"m\">m<\/option><option value=\"cm\" selected>cm<\/option><option value=\"mm\">mm<\/option><option value=\"ft\">ft<\/option><option value=\"in\">in<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><small id=\"calc-info-5\">Abstand vom Mittelpunkt zur Mitte einer Seite (Inkreisradius).<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-5\" hidden><label for=\"field-7\">Umkreisradius (R)<\/label><div class=\"term\">R<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><div class=\"field-group\"><input type=\"text\" name=\"umkreisradius_r\" id=\"field-7\" aria-describedby=\"calc-info-7\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"10\" min=\"0\" value=\"10\"\/><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-8\" name=\"einheit\" aria-label=\"Einheit\"><option value=\"m\">m<\/option><option value=\"cm\" selected>cm<\/option><option value=\"mm\">mm<\/option><option value=\"ft\">ft<\/option><option value=\"in\">in<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><small id=\"calc-info-7\">Abstand vom Mittelpunkt zu einer Ecke (Radius des Umkreises).<\/small><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Neu berechnen\" id=\"calculate-button\" data-post=\"4104\">Berechnen<\/button><button type=\"reset\">Zur\u00fccksetzen<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Automatisch berechnen<\/label><small>Wenn aktiviert, wird das Ergebnis automatisch aktualisiert, sobald Sie einen Wert \u00e4ndern.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Ihr Polygon<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Fl\u00e4che<\/span><span class=\"result-term\">A<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>Umfang<\/span><span class=\"result-term\">P<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>Seitenl\u00e4nge<\/span><span class=\"result-term\">s<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-4\"><span class=\"field-title\"><span>Apothem<\/span><span class=\"result-term\">a<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-4\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-5\"><span class=\"field-title\"><span>Umkreisradius<\/span><span class=\"result-term\">R<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-5\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-6\"><span class=\"field-title\"><span>Innenwinkel<\/span><span class=\"result-term\">\u03b1<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-6\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-7\"><span class=\"field-title\"><span>Rechenweg<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-7\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Link zu dieser Berechnung kopieren<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Kommentar schreiben<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"4104\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Wie finden Sie dieses Ergebnis?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Gef\u00e4llt mir <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Hilfreich <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Verwirrt <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Entt\u00e4uscht <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Ungenau <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Fl\u00e4che regelm\u00e4\u00dfiger Vielecke<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Formel<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ A = \\frac{n\\,s^2}{4\\tan(\\pi\/n)} = \\frac{1}{2}\\,P\\,a = \\frac{1}{2}\\,n\\,R^2\\sin\\!\\left(\\frac{2\\pi}{n}\\right) \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>Dabei ist:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(n\\) \u2014 Anzahl der Seiten (\\(n \\ge 3\\))<\/li>\n<li>\\(s\\) \u2014 L\u00e4nge einer Seite<\/li>\n<li>\\(a\\) \u2014 Apothem (Abstand vom Mittelpunkt zur Seitenmitte, also der Inkreisradius)<\/li>\n<li>\\(R\\) \u2014 Umkreisradius (Abstand vom Mittelpunkt zu einem Eckpunkt)<\/li>\n<li>\\(P = n \\cdot s\\) \u2014 Umfang<\/li>\n<li>\\(\\pi \\approx 3.14159\\)<\/li>\n<\/ul>\n<p>Alle drei Formeln liefern dieselbe Fl\u00e4che \u2013 Sie w\u00e4hlen einfach diejenige, die zur bekannten Gr\u00f6\u00dfe passt. Die mittlere Form \\(A = \\tfrac{1}{2}Pa\\) ist der klassische Ansatz, bei dem das Vieleck in \\(n\\) deckungsgleiche Dreiecke zerlegt wird, deren Grundseite \\(s\\) und H\u00f6he \\(a\\) ist.<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Fl\u00e4che regelm\u00e4\u00dfiger Vielecke \u2013 Rechenbeispiel<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Beispiel:<\/strong> ein regelm\u00e4\u00dfiges Sechseck mit der Seitenl\u00e4nge 10 cm.<\/p>\n<p>\\[ a = \\frac{s}{2\\tan(\\pi\/n)} = \\frac{10}{2\\tan(\\pi\/6)} = \\frac{10}{2 \\cdot 0.5774} \\approx 8.660 \\text{ cm} \\]<\/p>\n<p>\\[ P = n \\cdot s = 6 \\cdot 10 = 60 \\text{ cm} \\]<\/p>\n<p>\\[ A = \\tfrac{1}{2}\\,P\\,a = \\tfrac{1}{2} \\cdot 60 \\cdot 8.660 \\approx 259.81 \\text{ cm}^2 \\]<\/p>\n<p><strong>Ergebnis:<\/strong> Die Fl\u00e4che betr\u00e4gt ungef\u00e4hr <strong>259,81 cm\u00b2<\/strong>. Der Rechner zeigt zus\u00e4tzlich den Umkreisradius \\(R = 10\\) cm und einen Innenwinkel von 120\u00b0 an.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>So verwenden Sie den Rechner<\/h2>\n<ol>\n<li>Geben Sie die <strong>Anzahl der Seiten (n)<\/strong> ein \u2014 jede ganze Zahl von 3 (Dreieck) bis 10.000.<\/li>\n<li>W\u00e4hlen Sie die bekannte Gr\u00f6\u00dfe im Auswahlfeld <strong>Bekannte Gr\u00f6\u00dfe<\/strong>: <em>Seitenl\u00e4nge (s)<\/em>, <em>Apothem (a)<\/em> oder <em>Umkreisradius (R)<\/em>. Nur das passende Eingabefeld bleibt sichtbar.<\/li>\n<li>Tragen Sie den Wert in das erscheinende Feld ein \u2014 <strong>Seitenl\u00e4nge (s)<\/strong>, <strong>Apothem (a)<\/strong> oder <strong>Umkreisradius (R)<\/strong> \u2014 und w\u00e4hlen Sie die Einheit (m, cm, mm, ft oder in).<\/li>\n<li>Lesen Sie die Ergebnisse ab: die <strong>Fl\u00e4che<\/strong> (im Quadrat Ihrer Einheit) sowie <strong>Umfang<\/strong>, <strong>Seitenl\u00e4nge<\/strong>, <strong>Apothem<\/strong>, <strong>Umkreisradius<\/strong>, <strong>Innenwinkel<\/strong> und eine Schritt-f\u00fcr-Schritt-Herleitung.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Was ist ein regelm\u00e4\u00dfiges Vieleck?<\/h2>\n<p>Ein regelm\u00e4\u00dfiges Vieleck ist eine geschlossene Figur mit geraden Seiten, bei der alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich gro\u00df sind. Vertraute Beispiele sind das gleichseitige Dreieck (\\(n=3\\)), das Quadrat (\\(n=4\\)), das regelm\u00e4\u00dfige F\u00fcnfeck (\\(n=5\\)) und das regelm\u00e4\u00dfige Sechseck (\\(n=6\\)). Weil alle Seiten und Winkel \u00fcbereinstimmen, ist ein regelm\u00e4\u00dfiges Vieleck schon durch zwei Angaben vollst\u00e4ndig bestimmt: die Anzahl der Seiten und eine L\u00e4nge.<\/p>\n<p>Die Fl\u00e4chenformel entsteht, indem man das Vieleck in \\(n\\) deckungsgleiche Dreiecke zerlegt, die sich im Mittelpunkt treffen. Jedes Dreieck hat die Grundseite \\(s\\) (eine Seite des Vielecks) und die H\u00f6he \\(a\\) (das Apothem), seine Fl\u00e4che betr\u00e4gt also \\(\\tfrac{1}{2}sa\\). Multipliziert man dies mit \\(n\\) Seiten, ergibt sich \\(A = \\tfrac{1}{2}na s = \\tfrac{1}{2}Pa\\). Denselben Gedanken nutzt man, um im Grenzfall die Kreisfl\u00e4che herzuleiten: Wird \\(n\\) sehr gro\u00df, ist das Vieleck von einem Kreis mit dem Radius \\(R\\) nicht mehr zu unterscheiden, und die Formel strebt gegen \\(\\pi R^2\\).<\/p>\n<p>Zwei abgeleitete Gr\u00f6\u00dfen sollte man kennen. Das <strong>Apothem<\/strong> ist der Radius des Inkreises \u2014 der gr\u00f6\u00dften Kreises, der vollst\u00e4ndig ins Vieleck passt und jede Seite in ihrer Mitte ber\u00fchrt. Der <strong>Umkreisradius<\/strong> ist der Radius des Umkreises, der durch alle Eckpunkte verl\u00e4uft. Die drei Gr\u00f6\u00dfen h\u00e4ngen \u00fcber die Beziehungen \\(s = 2a\\tan(\\pi\/n) = 2R\\sin(\\pi\/n)\\) und \\(a = R\\cos(\\pi\/n)\\) zusammen \u2014 deshalb kann der Rechner aus einer einzigen davon alle \u00fcbrigen bestimmen.<\/p>\n<p>Der in den Ergebnissen angezeigte <strong>Innenwinkel<\/strong> ergibt sich aus \\(\\alpha = (n-2) \\cdot 180\u00b0\/n\\). Das ist im Bauwesen, beim Fliesenlegen und in der Holzverarbeitung n\u00fctzlich: Ein Sechseck hat beispielsweise 120\u00b0-Ecken, Bretter werden daher mit einem Gehrungswinkel von 60\u00b0 geschnitten, damit sie zusammenpassen.<\/p>\n<h2>Voraussetzungen, Grenzen und Tipps<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Nur regelm\u00e4\u00dfige Vielecke.<\/strong> Die Formeln setzen voraus, dass alle Seiten und Winkel gleich sind. Bei einem unregelm\u00e4\u00dfigen Vieleck zerlegen Sie es in Dreiecke oder Trapeze und addieren die Fl\u00e4chen.<\/li>\n<li><strong>Konsistente Einheiten.<\/strong> Die Einheitenauswahl rechnet die Eingabe automatisch um, und die Fl\u00e4che wird in der zugeh\u00f6rigen Quadrat-Einheit ausgegeben (z. B. cm \u2192 cm\u00b2). Wenn Sie von Hand rechnen, bringen Sie vorab alle L\u00e4ngen auf dieselbe Einheit.<\/li>\n<li><strong>W\u00e4hlen Sie die Gr\u00f6\u00dfe, die Sie tats\u00e4chlich gemessen haben.<\/strong> In der Praxis kennt man oft den Schl\u00fcsselweiten-Abstand (das Doppelte des Apothems bei geradem \\(n\\)) oder den Lochkreisdurchmesser (Umkreisradius) statt einer Seite \u2014 w\u00e4hlen Sie diese Option, um Rundungsfehler durch eine Zwischenumrechnung zu vermeiden.<\/li>\n<li><strong>Gro\u00dfe \\(n\\).<\/strong> Werte bis 10.000 sind m\u00f6glich; bei so vielen Seiten ist das Ergebnis praktisch die Fl\u00e4che eines Kreises mit dem Radius \\(R\\), da \\(A \\to \\pi R^2\\) f\u00fcr \\(n \\to \\infty\\).<\/li>\n<li><strong>Rundung.<\/strong> Ergebnisse werden auf drei Nachkommastellen angezeigt. Zwischenwerte in den Rechenschritten werden f\u00fcr die Darstellung gerundet, daher kann eine Kontrollrechnung von Hand in der letzten Stelle abweichen.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Berechnen Sie die Fl\u00e4che eines beliebigen regelm\u00e4\u00dfigen Vielecks anhand der Seitenl\u00e4nge, des Apothems (Inkreisradius) oder des Umkreisradius. Geben Sie die Anzahl der Seiten und eine bekannte Gr\u00f6\u00dfe ein und Sie erhalten Fl\u00e4che, Umfang und Innenwinkel.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[8],"tags":[42],"class_list":["post-4104","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mathematik","tag-geometrie"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4104","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=4104"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4104\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4567,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4104\/revisions\/4567"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=4104"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=4104"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=4104"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}