{"id":463,"date":"2026-10-03T19:18:12","date_gmt":"2026-10-03T18:18:12","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/inverse-diskrete-fouriertransformation\/"},"modified":"2026-10-03T19:18:12","modified_gmt":"2026-10-03T18:18:12","slug":"inverse-diskrete-fouriertransformation","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/ingenieurwesen\/inverse-diskrete-fouriertransformation\/","title":{"rendered":"Rechner f\u00fcr die inverse diskrete Fouriertransformation (IDFT)"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">IDFT-Signalrekonstruktion im Zeitbereich<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"463\" data-favorite-title=\"Inverse diskrete Fouriertransformation (IDFT)\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/ingenieurwesen\/inverse-diskrete-fouriertransformation\/\" data-favorite-excerpt=\"Mit diesem kostenlosen Rechner f\u00fcr die inverse diskrete Fouriertransformation (IDFT) wandeln Sie Komponenten im Frequenzbereich X[k] zur\u00fcck in eine Folge im Zeitbereich x[n]. Geben Sie kommagetrennte reelle oder komplexe Werte ein und erhalten Sie sofort das Ergebnis.\" aria-label=\"Zu Favoriten hinzuf\u00fcgen\" data-favorite-icon=\"icon icon-electrical\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/ingenieurwesen\/inverse-diskrete-fouriertransformation\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-463\" data-post=\"463\"><fieldset class=\"fieldset-input\"><legend class=\"sr-only\">Eingabefelder<\/legend><div class=\"field is-single has-term\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Werte im Frequenzbereich<\/label><div class=\"term\">X[k]<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"werte_im_frequenzbereich\" id=\"field-1\" aria-describedby=\"calc-info-1\" step=\"any\" value=\"1, 0, 0, 0\"\/><small id=\"calc-info-1\">Reelle oder komplexe Werte, durch Kommas getrennt (z. B. 1, 0, 0, 0 oder 1+2j, 0, -1, 0)<\/small><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Neu berechnen\" id=\"calculate-button\" data-post=\"463\">Berechnen<\/button><button type=\"reset\">Zur\u00fccksetzen<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Automatisch berechnen<\/label><small>Wenn aktiviert, wird das Ergebnis automatisch aktualisiert, sobald Sie einen Wert \u00e4ndern.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Ihre Ergebnisse<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Zeitbereichssequenz x[n]<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Link zu dieser Berechnung kopieren<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Kommentar schreiben<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"463\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Wie finden Sie dieses Ergebnis?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Gef\u00e4llt mir <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Hilfreich <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Verwirrt <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Entt\u00e4uscht <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Ungenau <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Formel der inversen diskreten Fouriertransformation<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Formel<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ x[n] = \\frac{1}{N} \\sum_{k=0}^{N-1} X[k] \\, e^{j 2\\pi kn \/ N}, \\quad n = 0, 1, \\ldots, N-1 \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>mit:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(x[n]\\) \u2014 Abtastwert im Zeitbereich bei Index \\(n\\)<\/li>\n<li>\\(X[k]\\) \u2014 Komponente im Frequenzbereich (Spektralkomponente) bei Index \\(k\\)<\/li>\n<li>\\(N\\) \u2014 Gesamtzahl der Abtastwerte, entspricht der Anzahl der eingegebenen Werte<\/li>\n<li>\\(j\\) \u2014 imagin\u00e4re Einheit, \\(j^2 = -1\\)<\/li>\n<li>\\(n\\) \u2014 Abtastindex im Zeitbereich (\\(0 \\le n \\le N-1\\))<\/li>\n<li>\\(k\\) \u2014 Frequenzbin-Index (\\(0 \\le k \\le N-1\\))<\/li>\n<\/ul>\n<p>Dies ist die Standarddefinition der IDFT: Jeder Abtastwert im Zeitbereich ist eine Summe aller Spektralkomponenten, die mit komplexen Exponentialfunktionen gewichtet und mit \\(1\/N\\) skaliert werden. Sie invertiert die diskrete Fouriertransformation (DFT) exakt.<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Inverse DFT \u2013 Berechnungsbeispiel<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Beispiel:<\/strong> die Folge im Frequenzbereich \\(X[k] = 1, 0, 0, 0\\) (die Standardwerte des Rechners), also \\(N = 4\\).<\/p>\n<p>\\[ x[n] = \\frac{1}{4} \\sum_{k=0}^{3} X[k]\\, e^{j 2\\pi kn\/4} = \\frac{1}{4} \\left( X[0] \\cdot e^{j 0} \\right) = \\frac{1}{4} \\cdot 1 = 0.25 \\]<\/p>\n<p>Da nur \\(X[0]\\) von null verschieden ist, erh\u00e4lt jeder Abtastwert denselben Beitrag.<\/p>\n<p><strong>Ergebnis:<\/strong> \\(x[n] = 0.25, 0.25, 0.25, 0.25\\) \u2014 eine konstante Folge (Gleichanteil). Ein einziger von null verschiedener Bin \\(X[0]\\) rekonstruiert stets ein konstantes Signal.<\/p>\n<p><strong>Zweites Beispiel (komplexe Eingabe):<\/strong> \\(X[k] = 1+2j,\\; 0,\\; -1,\\; 0\\).<\/p>\n<p>\\[ x[0] = \\tfrac{1}{4}\\left[(1+2j) + 0 + (-1) + 0\\right] = 0.5j \\]<\/p>\n<p><strong>Ergebnis:<\/strong> \\(x[n] = 0.5j,\\; 0.5+0.5j,\\; 0.5j,\\; 0.5+0.5j\\). Beachten Sie das sich wiederholende Muster: Die Bins 0 und 2 sind die geraden (konjugiert-symmetrischen) Komponenten des Spektrums.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>So benutzen Sie den Rechner<\/h2>\n<ol>\n<li>Geben Sie Ihre Werte im Frequenzbereich in das Feld <strong>Werte im Frequenzbereich<\/strong> ein, als kommagetrennte Liste, z. B. <code>1, 0, 0, 0<\/code> oder <code>1+2j, 0, -1, 0<\/code>.<\/li>\n<li>Verwenden Sie einfache reelle Zahlen (<code>3<\/code>, <code>-2.5<\/code>) oder komplexe Zahlen in der Form <code>a+bj<\/code> (<code>1+2j<\/code>, <code>-1-1.5j<\/code>). Ein rein imagin\u00e4rer Wert kann als <code>2j<\/code> geschrieben werden. Verwenden Sie keine Leerzeichen innerhalb einer komplexen Zahl.<\/li>\n<li>Klicken Sie auf <strong>Berechnen<\/strong>.<\/li>\n<li>Lesen Sie die rekonstruierte Folge im Ergebnisfeld <strong>Zeitbereichsfolge x[n]<\/strong> ab. Die Ausgabe enth\u00e4lt genau so viele Abtastwerte wie eingegebene Werte, in der Reihenfolge \\(x[0], x[1], \\ldots, x[N-1]\\).<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Was ist die inverse diskrete Fouriertransformation?<\/h2>\n<p>Die inverse diskrete Fouriertransformation (IDFT) ist die Operation, die die Frequenzbereichsdarstellung eines Signals zur\u00fcck in den Zeitbereich abbildet. Ihr Gegenst\u00fcck, die DFT, zerlegt eine Folge von \\(N\\) Abtastwerten in \\(N\\) komplexe Spektralkoeffizienten; die IDFT kehrt diesen Prozess um und stellt die urspr\u00fcnglichen Abtastwerte aus dem Spektrum wieder her. Wendet man zun\u00e4chst die DFT und danach die IDFT an (mit derselben hier verwendeten \\(1\/N\\)-Skalierung), erh\u00e4lt man exakt das urspr\u00fcngliche Signal zur\u00fcck \u2014 bis auf Rundungsfehler.<\/p>\n<p>Die IDFT ist wichtig, weil ein gro\u00dfer Teil der modernen Signalverarbeitung im Frequenzbereich stattfindet. Filter werden durch die Formung des Betragsfrequenzgangs entworfen, Kommunikationssysteme modulieren Daten auf bestimmte Frequenz-Bins, und Audiocodecs (wie MP3 oder AAC) speichern Signale als Spektralkoeffizienten. Am Ende all dieser Operationen ist die IDFT der Schritt, der das verarbeitete Spektrum wieder in Abtastwerte verwandelt, die man h\u00f6ren oder \u00fcbertragen kann. In der Praxis wird sie mit dem FFT-Algorithmus berechnet, der identische Ergebnisse deutlich schneller liefert; dieser Rechner f\u00fchrt die direkte Summe aus, was sich ideal zum Lernen und \u00dcberpr\u00fcfen eignet.<\/p>\n<p>Die Ausgabe zu interpretieren ist unkompliziert, sobald man einige Eigenschaften kennt. Der Bin \\(X[0]\\) stellt den Gleichanteil (Mittelwert) dar, daher erzeugt ein gro\u00dfes \\(X[0]\\) ein Signal mit konstantem Offset. H\u00f6here Bins entsprechen schnelleren Schwingungen: Der Bin \\(k\\) durchl\u00e4uft \\(k\\) volle Perioden \u00fcber die \\(N\\) Abtastwerte. Ist das Eingangsspektrum konjugiert symmetrisch \u2014 \\(X[N-k] = X[k]^*\\) \u2014, so ist das rekonstruierte Signal rein reell; deshalb erzeugen reale Signale symmetrische Spektren. Eine asymmetrische Eingabe, wie im zweiten Beispiel oben, erzeugt komplexwertige Abtastwerte.<\/p>\n<h2>Annahmen, Grenzen und Tipps<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Normierungskonvention:<\/strong> Der Rechner wendet den Faktor \\(1\/N\\) nur auf die R\u00fccktransformation an (die Konvention \u201e1\/N r\u00fcckw\u00e4rts\u201c). Wenn Ihre DFT-Definition \\(1\/\\sqrt{N}\\) auf beiden Seiten verwendet, skalieren Sie die Ausgabe mit \\(\\sqrt{N}\\), um sie zu vergleichen.<\/li>\n<li><strong>Punktanzahl:<\/strong> \\(N\\) entspricht der Anzahl der kommagetrennten Werte, die Sie eingeben. Erg\u00e4nzen Sie Nullen, um eine gew\u00fcnschte L\u00e4nge zu erreichen \u2014 Null-Erweiterung (Zero-Padding) in einem Bereich bewirkt Interpolation im anderen.<\/li>\n<li><strong>Komplexes Format:<\/strong> Verwenden Sie <code>j<\/code> (nicht <code>i<\/code>) als imagin\u00e4re Einheit, ohne Leerzeichen: <code>2-3j<\/code> ist g\u00fcltig, <code>2 - 3i<\/code> nicht.<\/li>\n<li><strong>Genauigkeit:<\/strong> Ergebnisse werden mit vier Nachkommastellen angezeigt. Sehr kleine restliche Imagin\u00e4rteile (z. B. <code>0.0000j<\/code>) bei theoretisch reellen Ausgaben sind normale Rundungsartefakte.<\/li>\n<li><strong>Praktikable Gr\u00f6\u00dfe:<\/strong> Die direkte Berechnung mit \\(O(N^2)\\) ist f\u00fcr Folgen bis zu einigen hundert Punkten unproblematisch; f\u00fcr gro\u00dfe Spektren verwenden Sie eine FFT-Implementierung.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Ein guter Plausibilit\u00e4tstest: Geben Sie ein flaches Spektrum wie <code>1, 1, 1, 1<\/code> ein \u2014 die IDFT sollte einen einzelnen Impuls <code>1, 0, 0, 0<\/code> zur\u00fcckgeben, da ein konstantes Spektrum die DFT eines Impulses ist.<\/p>\n<p>WPCalc bietet au\u00dferdem eine Reihe weiterer Techniker-Rechner, vom <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/ingenieurwesen\/parallelwiderstand-rechner\/\">Parallelwiderstandsrechner<\/a> und dem <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/ingenieurwesen\/reiheninduktivitaet\/\">Rechner f\u00fcr Reiheninduktivit\u00e4ten<\/a> bis hin zum <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/ingenieurwesen\/wirk-blindleistung\/\">Wirk- und Blindleistungsrechner<\/a> f\u00fcr die Analyse von Wechselstromkreisen.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Mit diesem kostenlosen Rechner f\u00fcr die inverse diskrete Fouriertransformation (IDFT) wandeln Sie Komponenten im Frequenzbereich X[k] zur\u00fcck in eine Folge im Zeitbereich x[n]. 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