{"id":4794,"date":"2026-11-02T12:15:11","date_gmt":"2026-11-02T12:15:11","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/determinante-berechnen\/"},"modified":"2026-11-02T12:15:11","modified_gmt":"2026-11-02T12:15:11","slug":"determinante-berechnen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/determinante-berechnen\/","title":{"rendered":"Determinante einer Matrix berechnen"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Determinante einer quadratischen Matrix berechnen<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"4794\" data-favorite-title=\"Determinante\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/determinante-berechnen\/\" data-favorite-excerpt=\"Berechnen Sie die exakte Determinante jeder quadratischen Matrix von 2\u00d72 bis 6\u00d76. Geben Sie ganze Zahlen, Dezimalzahlen oder Br\u00fcche ein und erhalten Sie das exakte Ergebnis, einen Dezimalwert, eine Pr\u00fcfung auf Singularit\u00e4t und den vollst\u00e4ndigen Rechenweg Schritt f\u00fcr Schritt.\" aria-label=\"Zu Favoriten hinzuf\u00fcgen\" data-favorite-icon=\"icon icon-algebra\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/determinante-berechnen\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-4794\" data-post=\"4794\"><fieldset class=\"fieldset-input is-3\"><legend class=\"sr-only\">Eingabefelder<\/legend><div class=\"field\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Matrixgr\u00f6\u00dfe<\/label><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-1\" name=\"matrixgre\"><option value=\"2\">2 \u00d7 2<\/option><option value=\"3\" selected>3 \u00d7 3<\/option><option value=\"4\">4 \u00d7 4<\/option><option value=\"5\">5 \u00d7 5<\/option><option value=\"6\">6 \u00d7 6<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><div class=\"field\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">Raster f\u00fcllen mit<\/label><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-2\" name=\"raster_fllen_mit\"><option value=\"custom\" selected>Unten eingegebene Werte verwenden<\/option><option value=\"random\">Zuf\u00e4llige Ganzzahlmatrix<\/option><option value=\"identity\">Einheitsmatrix<\/option><option value=\"zeros\">Alles auf 0 setzen (Nullmatrix)<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><div class=\"is-single field\" id=\"input-3\"><span class=\"font-semibold\">Zeile 1<\/span><\/div><div class=\"field\" id=\"input-4\"><label for=\"field-4\">a\u2081\u2081<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-4\" aria-describedby=\"calc-info-4\" placeholder=\"0\" step=\"any\" value=\"2\"\/><small id=\"calc-info-4\">Ganze Zahlen, Dezimalzahlen (z. B. 1.5) oder Br\u00fcche (z. B. 3\/4). Leere Zellen z\u00e4hlen als 0.<\/small><\/div><div class=\"field\" id=\"input-5\"><label for=\"field-5\">a\u2081\u2082<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-5\" placeholder=\"0\" step=\"any\" value=\"1\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-6\"><label for=\"field-6\">a\u2081\u2083<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-6\" placeholder=\"0\" step=\"any\" value=\"3\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-7\" hidden><label for=\"field-7\">a\u2081\u2084<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-7\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-8\" hidden><label for=\"field-8\">a\u2081\u2085<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-8\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-9\" hidden><label for=\"field-9\">a\u2081\u2086<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-9\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"is-single field\" id=\"input-10\"><span class=\"font-semibold\">Zeile 2<\/span><\/div><div class=\"field\" id=\"input-11\"><label for=\"field-11\">a\u2082\u2081<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-11\" placeholder=\"0\" step=\"any\" value=\"1\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-12\"><label for=\"field-12\">a\u2082\u2082<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-12\" placeholder=\"0\" step=\"any\" value=\"0\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-13\"><label for=\"field-13\">a\u2082\u2083<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-13\" placeholder=\"0\" step=\"any\" value=\"2\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-14\" hidden><label for=\"field-14\">a\u2082\u2084<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-14\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-15\" hidden><label for=\"field-15\">a\u2082\u2085<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-15\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-16\" hidden><label for=\"field-16\">a\u2082\u2086<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-16\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"is-single field\" id=\"input-17\"><span class=\"font-semibold\">Zeile 3<\/span><\/div><div class=\"field\" id=\"input-18\"><label for=\"field-18\">a\u2083\u2081<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-18\" placeholder=\"0\" step=\"any\" value=\"4\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-19\"><label for=\"field-19\">a\u2083\u2082<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-19\" placeholder=\"0\" step=\"any\" value=\"1\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-20\"><label for=\"field-20\">a\u2083\u2083<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-20\" placeholder=\"0\" step=\"any\" value=\"3\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-21\" hidden><label for=\"field-21\">a\u2083\u2084<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-21\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-22\" hidden><label for=\"field-22\">a\u2083\u2085<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-22\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-23\" hidden><label for=\"field-23\">a\u2083\u2086<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-23\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"is-single field\" id=\"input-24\" hidden><span class=\"font-semibold\">Zeile 4<\/span><\/div><div class=\"field\" id=\"input-25\" hidden><label for=\"field-25\">a\u2084\u2081<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-25\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-26\" hidden><label for=\"field-26\">a\u2084\u2082<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-26\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-27\" hidden><label for=\"field-27\">a\u2084\u2083<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-27\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"field\" 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data-post=\"4794\">Berechnen<\/button><button type=\"reset\">Zur\u00fccksetzen<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Automatisch berechnen<\/label><small>Wenn aktiviert, wird das Ergebnis automatisch aktualisiert, sobald Sie einen Wert \u00e4ndern.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Ergebnisse der Determinante<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Determinante (exakt)<\/span><span class=\"result-term\">det A<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>Determinante (dezimal)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>Ist die Matrix singul\u00e4r?<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-4\"><span class=\"field-title\"><span>L\u00f6sungsschritte<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-4\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Link zu dieser Berechnung kopieren<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Kommentar schreiben<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"4794\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Wie finden Sie dieses Ergebnis?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Gef\u00e4llt mir <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Hilfreich <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Verwirrt <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Entt\u00e4uscht <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Ungenau <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Formel f\u00fcr die Determinante<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Formel<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[\n\\det \\begin{bmatrix} a &amp; b \\\\ c &amp; d \\end{bmatrix} = ad - bc \\\\\n\\det \\begin{bmatrix} a_{11} &amp; a_{12} &amp; a_{13} \\\\ a_{21} &amp; a_{22} &amp; a_{23} \\\\ a_{31} &amp; a_{32} &amp; a_{33} \\end{bmatrix} = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}) \\\\\n\\det A = \\sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j}\\, a_{1j}\\, M_{1j}\n\\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>Dabei gilt:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(a_{ij}\\) \u2014 der Eintrag in Zeile \\(i\\) und Spalte \\(j\\) der quadratischen Matrix \\(A\\)<\/li>\n<li>\\(M_{1j}\\) \u2014 der <em>Minor<\/em>: die Determinante der Untermatrix, die nach dem Streichen von Zeile 1 und Spalte \\(j\\) \u00fcbrig bleibt<\/li>\n<li>\\((-1)^{1+j}M_{1j}\\) \u2014 der <em>Kofaktor<\/em> des Eintrags \\(a_{1j}\\)<\/li>\n<\/ul>\n<p>Die erste Zeile ist die Diagonalregel f\u00fcr 2\u00d72-Matrizen, die zweite die Kofaktoren-Entwicklung (Laplace-Entwicklung) nach der ersten Zeile f\u00fcr 3\u00d73-Matrizen, und die letzte Zeile die allgemeine Entwicklung, die f\u00fcr jede beliebige \\(n \\times n\\)-Matrix funktioniert.<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Determinante \u2013 Rechenbeispiel<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Beispiel:<\/strong> Berechnen Sie die Determinante der 3\u00d73-Matrix<\/p>\n<p>\\[ A = \\begin{bmatrix} 2 &amp; 1 &amp; 3 \\\\ 1 &amp; 0 &amp; 2 \\\\ 4 &amp; 1 &amp; 3 \\end{bmatrix} \\]<\/p>\n<p>\\[ M_{11} = 0 \\cdot 3 - 2 \\cdot 1 = -2, \\quad M_{12} = 1 \\cdot 3 - 2 \\cdot 4 = -5, \\quad M_{13} = 1 \\cdot 1 - 0 \\cdot 4 = 1 \\]<\/p>\n<p>\\[ \\det A = 2(-2) - 1(-5) + 3(1) = -4 + 5 + 3 \\]<\/p>\n<p><strong>Ergebnis:<\/strong> \\(\\det A = 4\\). Die Determinante ist nicht null, die Matrix ist also invertierbar. Sie k\u00f6nnen das nachvollziehen, indem Sie im Rechner mit den voreingestellten Werten auf \u201eBerechnen\u201c klicken.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>So verwenden Sie den Determinanten-Rechner<\/h2>\n<ol>\n<li>\u00d6ffnen Sie das Auswahlfeld <strong>Matrixgr\u00f6\u00dfe<\/strong> und w\u00e4hlen Sie 2 \u00d7 2, 3 \u00d7 3, 4 \u00d7 4, 5 \u00d7 5 oder 6 \u00d7 6. Nur die Felder der gew\u00e4hlten Gr\u00f6\u00dfe werden ausgewertet.<\/li>\n<li>\u00dcber das Auswahlfeld <strong>Raster f\u00fcllen mit<\/strong> bestimmen Sie, wie die Matrix zustande kommt: <em>Die unten eingegebenen Werte verwenden<\/em>, <em>Zuf\u00e4llige Matrix aus ganzen Zahlen<\/em> (bei jedem Wechsel wird eine neue Matrix erzeugt), <em>Einheitsmatrix<\/em> oder <em>Leeren (alle Nullen)<\/em>.<\/li>\n<li>Tragen Sie Ihre Werte in die Felder a<sub>11<\/sub>, a<sub>12<\/sub>, \u2026 ein. Ganze Zahlen, Dezimalzahlen wie 1,5 und Br\u00fcche wie 3\/4 sind erlaubt. Leere Felder z\u00e4hlen als 0.<\/li>\n<li>Lesen Sie die Ergebnisse ab: <strong>Determinante (exakt)<\/strong> liefert das Ergebnis als exakten Bruch oder als ganze Zahl, <strong>Determinante (dezimal)<\/strong> dessen Dezimaldarstellung, <strong>Ist die Matrix singul\u00e4r?<\/strong> verr\u00e4t Ihnen, ob die Matrix invertierbar ist, und <strong>L\u00f6sungsschritte<\/strong> zeigt den kompletten Rechenweg.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Was ist die Determinante einer Matrix?<\/h2>\n<p>Die Determinante ist eine einzige Zahl, die eine wichtige geometrische und algebraische Eigenschaft einer quadratischen Matrix zusammenfasst. Geometrisch ist der Betrag der Determinante einer \\(n \\times n\\)-Matrix der Volumenskalierungsfaktor der linearen Abbildung, die die Matrix darstellt: \\(|\\det A|\\) gibt an, um welchen Faktor die Abbildung L\u00e4ngen (2\u00d72), Fl\u00e4chen (2\u00d72 und 3\u00d73 in 2D-\/3D-Zusammenh\u00e4ngen) oder allgemein Volumina streckt oder staucht. Eine Determinante von 3 bedeutet, dass die Abbildung das Volumen verdreifacht; eine Determinante von 0 bedeutet, dass die Abbildung den Raum auf eine niedrigere Dimension zusammenstaucht und Information verliert.<\/p>\n<p>Algebraisch ist die Determinante ein schneller Test auf Invertierbarkeit. Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn \\(\\det A \\neq 0\\). Ist \\(\\det A = 0\\), hei\u00dft die Matrix <em>singul\u00e4r<\/em>: Ihre Zeilen (und Spalten) sind linear abh\u00e4ngig, Systeme \\(Ax = b\\) haben keine eindeutige L\u00f6sung, und \\(A^{-1}\\) existiert nicht. Deshalb taucht die Determinante \u00fcberall auf \u2013 vom L\u00f6sen linearer Gleichungssysteme (Cramersche Regel) \u00fcber die Bestimmung von Eigenwerten bis hin zur Berechnung von Kreuzprodukten.<\/p>\n<p>Wie Sie den Wert deuten, h\u00e4ngt vom Kontext ab. Der exakte Wert z\u00e4hlt f\u00fcr Kontrollrechnungen von Hand und f\u00fcr die Theorie, der Dezimalwert ist f\u00fcr Absch\u00e4tzungen praktisch. Auch das <em>Vorzeichen<\/em> hat eine Bedeutung: Eine negative Determinante bedeutet, dass die Abbildung die Orientierung umkehrt \u2013 wie bei einer Spiegelung. Beachten Sie au\u00dferdem: Determinanten sind nur f\u00fcr quadratische Matrizen definiert \u2013 eine nichtquadratische Matrix hat schlicht keine Determinante.<\/p>\n<h2>Wie der Rechner rechnet: zwei Methoden<\/h2>\n<p>Bei 2\u00d72- und 3\u00d73-Matrizen f\u00fchrt der Rechner eine <strong>Kofaktoren-Entwicklung<\/strong> nach der ersten Zeile durch und zeigt jeden Minor und jedes Produkt, einschlie\u00dflich einer Gegenprobe mit der Regel von Sarrus bei 3\u00d73-Matrizen. Ab 4\u00d74 bis 6\u00d76 wechselt er zum <strong>Gau\u00dfschen Eliminationsverfahren<\/strong> mit exakter rationaler Arithmetik: Das Addieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen l\u00e4sst die Determinante unver\u00e4ndert, w\u00e4hrend jede Zeilenvertauschung das Vorzeichen umkehrt. Die Determinante ist dann das Produkt der Pivotelemente der entstehenden oberen Dreiecksmatrix, multipliziert mit \\((-1)\\) f\u00fcr jede durchgef\u00fchrte Vertauschung. L\u00e4sst sich in einer Spalte kein Pivot finden, ist die Matrix singul\u00e4r und die Determinante exakt 0.<\/p>\n<p>Da s\u00e4mtliche Rechungen mit ganzen Zahlen und Br\u00fcchen (nicht mit Gleitkommazahlen) erfolgen, ist das Ergebnis <em>exakt<\/em> \u2013 es gibt keine Rundungsfehler, auch nicht bei unangenehmen Br\u00fcchen. Dezimalangaben mit bis zu 12 Stellen werden intern in exakte Br\u00fcche umgewandelt; 0,1 wird also exakt als 1\/10 behandelt und nicht als angen\u00e4herter Bin\u00e4rwert.<\/p>\n<h2>N\u00fctzliche Eigenschaften und Grenzen<\/h2>\n<ul>\n<li>\\(\\det(AB) = \\det A \\cdot \\det B\\), und \\(\\det(A^{-1}) = 1\/\\det A\\) f\u00fcr eine invertierbare Matrix.<\/li>\n<li>Der Tausch zweier Zeilen (oder Spalten) multipliziert die Determinante mit \u22121; die Multiplikation einer Zeile mit einer Konstanten \\(k\\) multipliziert die Determinante mit \\(k\\). Eine Matrix mit zwei identischen Zeilen oder mit einer Nullzeile hat die Determinante 0.<\/li>\n<li>\\(\\det A = \\det A^{T}\\); Zeilen- und Spaltenargumente sind also austauschbar. Die Transponierte selbst k\u00f6nnen Sie mit dem <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/transponierte-matrix-rechner\/\">Rechner f\u00fcr die transponierte Matrix<\/a> erkunden.<\/li>\n<li>Der Rechner akzeptiert nur Gr\u00f6\u00dfen von 2\u00d72 bis 6\u00d76 mit Eingaben von bis zu 12 Dezimalstellen. F\u00fcr gr\u00f6\u00dfere Matrizen nutzen Sie Elimination mit Kofaktoren-Entwicklung oder Software, die f\u00fcr gro\u00dfe lineare Systeme ausgelegt ist.<\/li>\n<li>Eine Abk\u00fcrzung, die man kennen sollte: \\(\\det(kA) = k^{n} \\det A\\) f\u00fcr eine \\(n \\times n\\)-Matrix, denn jede Zeile wird mit \\(k\\) multipliziert. Solche Matrizen k\u00f6nnen Sie direkt mit dem <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/matrix-skalarmultiplikation-rechner\/\">Rechner f\u00fcr die Skalarmultiplikation von Matrizen<\/a> erzeugen.<\/li>\n<li>Da eine von null verschiedene Determinante eine eindeutige L\u00f6sung eines linearen Gleichungssystems garantiert, m\u00f6chten Sie Systeme vielleicht direkt mit dem <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/additionsverfahren\/\">Rechner f\u00fcr das Eliminationsverfahren<\/a> l\u00f6sen oder verwandte Invarianten wie die Summe der Diagonaleintr\u00e4ge mit dem <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/mathematik\/matrix-spur-rechner\/\">Rechner f\u00fcr die Spur einer Matrix<\/a> vergleichen.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Berechnen Sie die exakte Determinante jeder quadratischen Matrix von 2\u00d72 bis 6\u00d76. Geben Sie ganze Zahlen, Dezimalzahlen oder Br\u00fcche ein und erhalten Sie das exakte Ergebnis, einen Dezimalwert, eine Pr\u00fcfung auf Singularit\u00e4t und den vollst\u00e4ndigen Rechenweg Schritt f\u00fcr Schritt.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[8],"tags":[54],"class_list":["post-4794","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mathematik","tag-matrizen"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4794","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=4794"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4794\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=4794"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=4794"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=4794"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}