{"id":581,"date":"2026-10-03T19:40:51","date_gmt":"2026-10-03T18:40:51","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/normalverteilung-rechner\/"},"modified":"2026-10-03T19:40:51","modified_gmt":"2026-10-03T18:40:51","slug":"normalverteilung-rechner","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/statistik\/normalverteilung-rechner\/","title":{"rendered":"Normalverteilungs-Rechner"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Normalverteilungs-Wahrscheinlichkeiten berechnen<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"581\" data-favorite-title=\"Normalverteilung\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/statistik\/normalverteilung-rechner\/\" data-favorite-excerpt=\"Geben Sie einen Mittelwert, eine Standardabweichung und einen Wert (oder zwei Grenzen) ein, um die Wahrscheinlichkeitsdichte, die kumulierten Wahrscheinlichkeiten P(X &lt; x), P(X &gt; x), P(a &lt; X &lt; b) und den z-Wert f\u00fcr eine Normalverteilung zu erhalten.\" aria-label=\"Zu Favoriten hinzuf\u00fcgen\" data-favorite-icon=\"icon icon-wpcalc-distribution-histogram\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/de\/statistik\/normalverteilung-rechner\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-581\" data-post=\"581\"><fieldset class=\"fieldset-input is-1\"><legend class=\"sr-only\">Eingabefelder<\/legend><div class=\"field has-term\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Mittelwert (\u03bc)<\/label><div class=\"term\">\u03bc<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"mittelwert_\" id=\"field-1\" aria-describedby=\"calc-info-1\" placeholder=\"e.g. 100\" step=\"any\" value=\"100\"\/><small id=\"calc-info-1\">Zentrum der Glockenkurve.<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">Standardabweichung (\u03c3)<\/label><div class=\"term\">\u03c3<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"standardabweichung_\" id=\"field-2\" aria-describedby=\"calc-info-2\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 15\" min=\"0\" value=\"15\"\/><small id=\"calc-info-2\">Streuung der Verteilung \u2013 muss gr\u00f6\u00dfer als 0 sein.<\/small><\/div><div class=\"field\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">Gew\u00fcnschte Wahrscheinlichkeit<\/label><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-3\" name=\"gewnschte_wahrscheinlichkeit\"><option value=\"below\" selected>P(X &lt; x) \u2013 unterhalb eines Werts<\/option><option value=\"above\">P(X &gt; x) \u2013 oberhalb eines Werts<\/option><option value=\"between\">P(a &lt; X &lt; b) \u2013 zwischen zwei Werten<\/option><option value=\"outside\">Au\u00dferhalb eines Bereichs (beide Enden)<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-4\"><label for=\"field-4\">Wert (x)<\/label><div class=\"term\">x<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"wert_x\" id=\"field-4\" aria-describedby=\"calc-info-4\" placeholder=\"e.g. 110\" step=\"any\" value=\"110\"\/><small id=\"calc-info-4\">Stelle, an der die Dichte sowie die kumulierten Wahrscheinlichkeiten P(X &lt; x) und P(X &gt; x) berechnet werden.<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-5\" hidden><label for=\"field-5\">Untere Grenze (a)<\/label><div class=\"term\">a<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"untere_grenze_a\" id=\"field-5\" aria-describedby=\"calc-info-5\" placeholder=\"e.g. 85\" step=\"any\" value=\"85\"\/><small id=\"calc-info-5\">Linker Rand des Bereichs.<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-6\" hidden><label for=\"field-6\">Obere Grenze (b)<\/label><div class=\"term\">b<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"obere_grenze_b\" id=\"field-6\" aria-describedby=\"calc-info-6\" placeholder=\"e.g. 115\" step=\"any\" value=\"115\"\/><small id=\"calc-info-6\">Rechter Rand des Bereichs \u2013 muss gr\u00f6\u00dfer als die untere Grenze sein.<\/small><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Neu berechnen\" id=\"calculate-button\" data-post=\"581\">Berechnen<\/button><button type=\"reset\">Zur\u00fccksetzen<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Automatisch berechnen<\/label><small>Wenn aktiviert, wird das Ergebnis automatisch aktualisiert, sobald Sie einen Wert \u00e4ndern.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Ihre Ergebnisse<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Wahrscheinlichkeitsdichte<\/span><span class=\"result-term\">f(x)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>Kumulierte Wahrscheinlichkeit P(X &lt; x)<\/span><span class=\"result-term\">F(x)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>P(X &gt; x)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-4\"><span class=\"field-title\"><span>Fl\u00e4che zwischen a und b<\/span><span class=\"result-term\">P(a<X<b)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-4\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-5\"><span class=\"field-title\"><span>z-Wert<\/span><span class=\"result-term\">z<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-5\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-6\"><span class=\"field-title\"><span>Interpretation<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-6\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Ergebnis kopieren\" aria-label=\"Ergebnis kopieren\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Link zu dieser Berechnung kopieren<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Kommentar schreiben<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"581\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Wie finden Sie dieses Ergebnis?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Gef\u00e4llt mir <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Hilfreich <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Verwirrt <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Entt\u00e4uscht <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Ungenau <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Formel der Normalverteilung<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Formel<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ f(x)=\\frac{1}{\\sigma\\sqrt{2\\pi}}\\,e^{-\\frac{(x-\\mu)^2}{2\\sigma^2}} \\\\ F(x)=P(X&lt;x)=\\Phi(z)=\\frac{1}{2}\\left[1+\\operatorname{erf}\\!\\left(\\frac{z}{\\sqrt{2}}\\right)\\right] \\\\ z=\\frac{x-\\mu}{\\sigma} \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>Dabei gilt:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(\\mu\\) \u2014 Mittelwert, das Zentrum der Glockenkurve<\/li>\n<li>\\(\\sigma\\) \u2014 Standardabweichung, die Streuung der Verteilung (muss positiv sein)<\/li>\n<li>\\(x\\) \u2014 der Wert, an dem Dichte und Wahrscheinlichkeiten ausgewertet werden<\/li>\n<li>\\(f(x)\\) \u2014 Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF), die H\u00f6he der Kurve an der Stelle \\(x\\)<\/li>\n<li>\\(F(x)\\) \u2014 Verteilungsfunktion (CDF), die Fl\u00e4che unter der Kurve links von \\(x\\)<\/li>\n<li>\\(z\\) \u2014 z-Wert, der Abstand vom Mittelwert, gemessen in Standardabweichungen<\/li>\n<li>\\(\\Phi\\) \u2014 Verteilungsfunktion der <em>Standard<\/em>normalverteilung (\\(\\mu=0,\\ \\sigma=1\\))<\/li>\n<\/ul>\n<p>Die erste Gleichung definiert die Glockenkurve selbst. Die zweite wandelt jeden Wert in einen z-Wert um und liest die Wahrscheinlichkeit aus der Standardnormalverteilung ab, sodass eine einzige universelle Tabelle (oder die Fehlerfunktion) f\u00fcr jeden Mittelwert und jede Standardabweichung funktioniert.<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Normalverteilung \u2013 Rechenbeispiel<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Beispiel:<\/strong> IQ-Werte sind n\u00e4herungsweise normalverteilt mit einem Mittelwert von 100 und einer Standardabweichung von 15. Wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zuf\u00e4llig gew\u00e4hlte Person einen IQ unter 110 hat?<\/p>\n<p>\\[ z=\\frac{x-\\mu}{\\sigma}=\\frac{110-100}{15}=0.6667 \\]<\/p>\n<p>\\[ P(X&lt;110)=\\Phi(0.6667)=\\frac{1}{2}\\left[1+\\operatorname{erf}\\!\\left(\\frac{0.6667}{\\sqrt{2}}\\right)\\right]\\approx 0.7475 \\]<\/p>\n<p>Die Wahrscheinlichkeitsdichte an dieser Stelle betr\u00e4gt \\( f(110)=\\frac{1}{15\\sqrt{2\\pi}}e^{-0.6667^2\/2}\\approx 0.0213 \\).<\/p>\n<p><strong>Ergebnis:<\/strong> P(X &gt; 110) \u2248 25,25 %, und der z-Wert betr\u00e4gt 0,6667.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>So benutzen Sie den Rechner<\/h2>\n<ol>\n<li>Geben Sie den <strong>Mittelwert (\u03bc)<\/strong> ein \u2014 das Zentrum Ihrer Verteilung (z. B. 100).<\/li>\n<li>Geben Sie die <strong>Standardabweichung (\u03c3)<\/strong> ein \u2014 sie muss gr\u00f6\u00dfer als 0 sein.<\/li>\n<li>W\u00e4hlen Sie die <strong>gew\u00fcnschte Wahrscheinlichkeit<\/strong>: unterhalb eines Wertes, oberhalb eines Wertes, zwischen zwei Werten oder au\u00dferhalb eines Bereichs (die beiden Randbereiche).<\/li>\n<li>Geben Sie in den Modi \u201eunterhalb\u201c und \u201eoberhalb\u201c den <strong>Wert (x)<\/strong> ein, an dem die Wahrscheinlichkeiten ausgewertet werden sollen.<\/li>\n<li>Geben Sie in den Modi \u201ezwischen\u201c und \u201eau\u00dferhalb\u201c die <strong>untere Grenze (a)<\/strong> und die <strong>obere Grenze (b)<\/strong> ein; die obere Grenze muss gr\u00f6\u00dfer als die untere sein. Sie k\u00f6nnen zus\u00e4tzlich x ausf\u00fcllen, um auch die Dichte und die kumulierten Wahrscheinlichkeiten an dieser Stelle zu erhalten.<\/li>\n<li>Lesen Sie die Ergebnisse ab: Wahrscheinlichkeitsdichte, kumulierte Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeit des oberen Randes, Fl\u00e4che zwischen den Grenzen, z-Wert und eine Interpretation in Klartext.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Was ist die Normalverteilung?<\/h2>\n<p>Die Normalverteilung (auch Gau\u00df-Verteilung oder Glockenkurve genannt) ist die am weitesten verbreitete Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Statistik. Sie wird durch nur zwei Zahlen vollst\u00e4ndig beschrieben: den Mittelwert \\(\\mu\\), der das Zentrum der Kurve festlegt, und die Standardabweichung \\(\\sigma\\), die bestimmt, wie breit oder schmal sie ist. Viele nat\u00fcrliche Messungen \u2014 K\u00f6rpergr\u00f6\u00dfen, Messfehler, Testergebnisse, Blutdruck \u2014 sind n\u00e4herungsweise normalverteilt, vor allem wegen des zentralen Grenzwertsatzes: Wenn sich viele kleine unabh\u00e4ngige Effekte aufaddieren, strebt die Summe gegen eine Glockenkurve.<\/p>\n<p>Die Kurve ist symmetrisch um den Mittelwert und ber\u00fchrt die Null nie, sie erstreckt sich unendlich in beide Richtungen. Die Wahrscheinlichkeit eines <em>exakten<\/em> Wertes ist null; Wahrscheinlichkeiten entsprechen stattdessen <em>Fl\u00e4chen<\/em> unter der Kurve. Die kumulierte Wahrscheinlichkeit \\(F(x)=P(Xx)=1-F(x)\\) ist die Fl\u00e4che rechts davon. Die Wahrscheinlichkeitsdichte \\(f(x)\\) ist selbst keine Wahrscheinlichkeit \u2014 sie ist die H\u00f6he der Kurve, n\u00fctzlich, um zu vergleichen, wie wahrscheinlich verschiedene Bereiche relativ zueinander sind.<\/p>\n<p>Der z-Wert \\(z=(x-\\mu)\/\\sigma\\) dr\u00fcckt einen Wert als Anzahl von Standardabweichungen vom Mittelwert aus. Ein z-Wert von 2 bedeutet \u201ezwei Standardabweichungen \u00fcber dem Durchschnitt\u201c. Die Umrechnung in z-Werte ist der zentrale Trick: Jede Normalverteilung, mit welchem Mittelwert und welcher Standardabweichung auch immer, wird zur selben Standardnormalverteilung, sodass Wahrscheinlichkeiten aus einer einzigen universellen Funktion abgelesen werden k\u00f6nnen.<\/p>\n<h2>Interpretation des Ergebnisses<\/h2>\n<p>Die 68-95-99,7-Regel (empirische Regel) liefert eine schnelle Plausibilit\u00e4tskontrolle f\u00fcr jedes Ergebnis:<\/p>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>Bereich um den Mittelwert<\/th>\n<th>Anteil der Daten innerhalb<\/th>\n<th>Anteil au\u00dferhalb (beide Randbereiche)<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>\\(\\mu \\pm 1\\sigma\\)<\/td>\n<td>68,27 %<\/td>\n<td>31,73 %<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\(\\mu \\pm 2\\sigma\\)<\/td>\n<td>95,45 %<\/td>\n<td>4,55 %<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\(\\mu \\pm 3\\sigma\\)<\/td>\n<td>99,73 %<\/td>\n<td>0,27 %<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Wenn Ihre berechnete Wahrscheinlichkeit stark von diesen Richtwerten abweicht, \u00fcberpr\u00fcfen Sie Ihre Eingaben. Mit den Standardeinstellungen sollte die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr einen Wert unter 110 (z = 0,67) beispielsweise etwas mehr als 68 % betragen, da 110 mehr als eine Standardabweichung \u00fcber dem Mittelwert liegt \u2014 und 74,75 % entsprechen genau dieser Erwartung.<\/p>\n<h2>Annahmen, Grenzen und praktische Hinweise<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Normalit\u00e4tsannahme:<\/strong> Der Rechner setzt voraus, dass Ihre Daten tats\u00e4chlich einer Normalverteilung folgen. Reale Daten sind oft schief, begrenzt oder haben schwere R\u00e4nder; Wahrscheinlichkeiten f\u00fcr extreme Werte sind gegen\u00fcber dieser Annahme besonders empfindlich.<\/li>\n<li><strong>Strikte vs. nicht-strikte Ungleichung:<\/strong> Bei einer stetigen Verteilung sind \\(P(X&lt;x)\\) und \\(P(X\\le x)\\) identisch; es spielt also keine Rolle, welche Konvention Sie verwenden.<\/li>\n<li><strong>Kleine Wahrscheinlichkeiten:<\/strong> Werte weit in den Randbereichen (|z| jenseits von etwa 4) ergeben Wahrscheinlichkeiten nahe 0 oder 1; der Rechner zeigt sechs Dezimalstellen an, sodass Sie sie dennoch ablesen k\u00f6nnen.<\/li>\n<li><strong>Stichprobe vs. Grundgesamtheit:<\/strong> Geben Sie Mittelwert und Standardabweichung der Grundgesamtheit ein, wenn Sie sie kennen. Wenn Sie nur Sch\u00e4tzwerte aus einer Stichprobe haben, sind die Ergebnisse N\u00e4herungen \u2014 bei kleinen Stichproben ist eine t-Verteilung angemessener.<\/li>\n<li><strong>Negatives oder null \u03c3:<\/strong> Die Standardabweichung muss strikt positiv sein; der Rechner lehnt alles andere ab, da eine Streuung von null die Kurve zu einer Spitze zusammenfallen lie\u00dfe.<\/li>\n<li><strong>Genauigkeit:<\/strong> Wahrscheinlichkeiten werden mit einer Approximation der Fehlerfunktion berechnet, die auf etwa 7 Dezimalstellen genau ist \u2014 mehr als ausreichend f\u00fcr die Praxis.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Geben Sie einen Mittelwert, eine Standardabweichung und einen Wert (oder zwei Grenzen) ein, um die Wahrscheinlichkeitsdichte, die kumulierten Wahrscheinlichkeiten P(X < x), P(X > x), P(a &lt; X &lt; b) und den z-Wert f\u00fcr eine Normalverteilung zu erhalten.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[12],"tags":[34],"class_list":["post-581","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-statistik","tag-verteilungen"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/581","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=581"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/581\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=581"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=581"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=581"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}