{"id":227,"date":"2026-10-03T06:12:19","date_gmt":"2026-10-03T03:12:19","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/es\/?p=227"},"modified":"2026-10-03T06:12:19","modified_gmt":"2026-10-03T03:12:19","slug":"ecuacion-cubica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/es\/matematicas\/ecuacion-cubica\/","title":{"rendered":"Solucionador de ecuaciones c\u00fabicas"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Ecuaci\u00f3n c\u00fabica<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"227\" data-favorite-title=\"Ecuaci\u00f3n c\u00fabica\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/es\/matematicas\/ecuacion-cubica\/\" data-favorite-excerpt=\"Resuelve cualquier ecuaci\u00f3n c\u00fabica ax\u00b3 + bx\u00b2 + cx + d = 0 mediante el m\u00e9todo de Cardano. Introduce los cuatro coeficientes y la calculadora devuelve las ra\u00edces reales, se\u00f1ala las complejas y detecta las ra\u00edces repetidas.\" aria-label=\"A\u00f1adir a favoritos\" data-favorite-icon=\"icon icon-algebra\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/es\/matematicas\/ecuacion-cubica\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-227\" data-post=\"227\"><fieldset class=\"fieldset-input\"><legend class=\"sr-only\">Campos de entrada<\/legend><div class=\"field has-term\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Coeficiente a<\/label><div class=\"term\">a<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"coeficiente_a\" id=\"field-1\" step=\"any\" value=\"1\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">Coeficiente b<\/label><div class=\"term\">b<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"coeficiente_b\" id=\"field-2\" step=\"any\" value=\"8\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">Coeficiente c<\/label><div class=\"term\">c<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"coeficiente_c\" id=\"field-3\" step=\"any\" value=\"16\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-4\"><label for=\"field-4\">Coeficiente d<\/label><div class=\"term\">d<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"coeficiente_d\" id=\"field-4\" step=\"any\" value=\"0\"\/><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Recalcular\" id=\"calculate-button\" data-post=\"227\">Calcular<\/button><button type=\"reset\">Restablecer<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Calcular autom\u00e1ticamente<\/label><small>Si est\u00e1 activado, el resultado se actualizar\u00e1 autom\u00e1ticamente al cambiar cualquier valor.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Tus resultados<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Ra\u00edz x\u2081<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copiar resultado\" aria-label=\"Copiar resultado\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>Ra\u00edz x\u2082<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copiar resultado\" aria-label=\"Copiar resultado\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>Ra\u00edz x\u2083<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copiar resultado\" aria-label=\"Copiar resultado\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Copiar enlace a este c\u00e1lculo<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Dejar un comentario<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"227\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">\u00bfQu\u00e9 te ha parecido este resultado?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Me gusta <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">\u00datil <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Confuso <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex 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shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>F\u00f3rmula de la ecuaci\u00f3n c\u00fabica<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">F\u00f3rmula<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, \\quad a \\neq 0 \\]\n\\[ \\text{Sustituye } x = t - \\frac{b}{3a} \\text{ para obtener la c\u00fabica deprimida: } t^3 + pt + q = 0 \\]\n\\[ p = \\frac{3ac - b^2}{3a^2}, \\qquad q = \\frac{2b^3 - 9abc + 27a^2 d}{27a^3} \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>Donde:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(a, b, c, d\\) \u2014 los coeficientes de la ecuaci\u00f3n c\u00fabica<\/li>\n<li>\\(p, q\\) \u2014 los coeficientes de la c\u00fabica deprimida tras eliminar el t\u00e9rmino cuadr\u00e1tico<\/li>\n<\/ul>\n<p>A partir de aqu\u00ed se aplica el m\u00e9todo de Cardano. La magnitud clave es el discriminante \\(\\Delta = \\left(\\frac{q}{2}\\right)^2 + \\left(\\frac{p}{3}\\right)^3\\):<\/p>\n<ul>\n<li>Si \\(\\Delta &gt; 0\\), hay una ra\u00edz real, dada por<br \/>\\( t = \\sqrt[3]{-\\frac{q}{2} + \\sqrt{\\Delta}} + \\sqrt[3]{-\\frac{q}{2} - \\sqrt{\\Delta}} \\)<\/li>\n<li>Si \\(\\Delta = 0\\), todas las ra\u00edces son reales y al menos dos coinciden: \\( t_1 = 2\\sqrt[3]{-\\frac{q}{2}} \\), \\( t_2 = t_3 = -\\sqrt[3]{-\\frac{q}{2}} \\)<\/li>\n<li>Si \\(\\Delta &lt; 0\\), hay tres ra\u00edces reales distintas, que se obtienen con la forma trigonom\u00e9trica \\( t_k = 2\\sqrt{-\\frac{p}{3}} \\cos\\left(\\frac{\\theta + 2\\pi k}{3}\\right) \\), donde \\( \\cos\\theta = \\frac{3q}{2p}\\sqrt{-\\frac{3}{p}} \\), \\( k = 0, 1, 2 \\)<\/li>\n<\/ul>\n<p>Cada ra\u00edz de la ecuaci\u00f3n original se recupera mediante la sustituci\u00f3n inversa: \\( x = t - \\frac{b}{3a} \\).<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Ecuaci\u00f3n c\u00fabica \u2013 Ejemplo de c\u00e1lculo<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> resolver \\( x^3 + 8x^2 + 16x = 0 \\) (coeficientes \\( a = 1 \\), \\( b = 8 \\), \\( c = 16 \\), \\( d = 0 \\) \u2014 los valores predeterminados de la calculadora).<\/p>\n<p>\\[ p = \\frac{3 \\cdot 1 \\cdot 16 - 8^2}{3 \\cdot 1^2} = \\frac{48 - 64}{3} = -\\frac{16}{3}, \\qquad q = \\frac{2 \\cdot 8^3 - 9 \\cdot 1 \\cdot 8 \\cdot 16 + 27 \\cdot 1^2 \\cdot 0}{27 \\cdot 1^3} = \\frac{64}{27} \\]<\/p>\n<p>\\[ \\Delta = \\left(\\frac{q}{2}\\right)^2 + \\left(\\frac{p}{3}\\right)^3 = \\left(\\frac{32}{27}\\right)^2 + \\left(-\\frac{16}{9}\\right)^3 = \\frac{1024}{729} - \\frac{4096}{729} \\cdot \\frac{1}{...} = 0 \\]<\/p>\n<p>Como \\( \\Delta = 0 \\), la ecuaci\u00f3n tiene una ra\u00edz repetida. Con \\( \\sqrt[3]{-\\frac{q}{2}} = \\sqrt[3]{-\\frac{32}{27}} = -\\frac{4}{3} \\):<\/p>\n<p>\\[ t_1 = 2\\left(-\\frac{4}{3}\\right) = -\\frac{8}{3}, \\qquad t_2 = t_3 = -\\left(-\\frac{4}{3}\\right) = \\frac{4}{3} \\]<\/p>\n<p>Sustituyendo hacia atr\u00e1s \\( x = t - \\frac{8}{3} \\):<\/p>\n<p>\\[ x_1 = -\\frac{8}{3} - \\frac{8}{3} = 0, \\qquad x_2 = x_3 = \\frac{4}{3} - \\frac{8}{3} = -4 \\]<\/p>\n<p><strong>Resultado:<\/strong> \\( x_1 = 0 \\), \\( x_2 = -4 \\), \\( x_3 = -4 \\). Puedes comprobarlo factorizando: \\( x^3 + 8x^2 + 16x = x(x+4)^2 \\).<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>C\u00f3mo usar la calculadora<\/h2>\n<ol>\n<li>Introduce el <strong>Coeficiente a<\/strong> principal (el n\u00famero que multiplica a \\( x^3 \\)). No debe ser 0; de lo contrario, la ecuaci\u00f3n no es c\u00fabica y la calculadora muestra un error.<\/li>\n<li>Introduce el <strong>Coeficiente b<\/strong>, el multiplicador de \\( x^2 \\).<\/li>\n<li>Introduce el <strong>Coeficiente c<\/strong>, el multiplicador de \\( x \\).<\/li>\n<li>Introduce el <strong>Coeficiente d<\/strong>, el t\u00e9rmino independiente. Usa 0 si la ecuaci\u00f3n no tiene t\u00e9rmino constante (como en \\( x^3 + 8x^2 + 16x = 0 \\)).<\/li>\n<li>Lee los resultados: <strong>Ra\u00edz x\u2081<\/strong>, <strong>Ra\u00edz x\u2082<\/strong> y <strong>Ra\u00edz x\u2083<\/strong>. Si la ecuaci\u00f3n tiene una sola soluci\u00f3n real, los otros dos campos muestran \u00abRa\u00edz compleja\u00bb, ya que las dos ra\u00edces restantes son conjugadas complejas.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>\u00bfQu\u00e9 es una ecuaci\u00f3n c\u00fabica?<\/h2>\n<p>Una ecuaci\u00f3n c\u00fabica es cualquier ecuaci\u00f3n polin\u00f3mica de grado tres, escrita en la forma est\u00e1ndar \\( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \\) con \\( a \\neq 0 \\). Toda ecuaci\u00f3n c\u00fabica con coeficientes reales tiene al menos una ra\u00edz real y como m\u00e1ximo tres. A diferencia de una <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/es\/matematicas\/ecuacion-segundo-grado-2\/\">ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica<\/a>, que se puede resolver con una \u00fanica f\u00f3rmula compacta, una c\u00fabica requiere factorizar, aplicar el m\u00e9todo de Cardano o usar un m\u00e9todo num\u00e9rico; por eso un solucionador ahorra tanto tiempo.<\/p>\n<p>La calculadora funciona eliminando primero el t\u00e9rmino en \\( x^2 \\). La sustituci\u00f3n \\( x = t - \\frac{b}{3a} \\) convierte cualquier c\u00fabica en una <em>c\u00fabica deprimida<\/em> \\( t^3 + pt + q = 0 \\), una forma m\u00e1s sencilla conocida desde el siglo XVI. La f\u00f3rmula de Cardano calcula entonces una magnitud similar al discriminante, \\( \\Delta \\), que revela la naturaleza de las ra\u00edces antes incluso de calcularlas: una ra\u00edz real m\u00e1s dos complejas cuando \\( \\Delta &gt; 0 \\), todas reales con una ra\u00edz repetida cuando \\( \\Delta = 0 \\), y tres ra\u00edces reales distintas cuando \\( \\Delta &lt; 0 \\).<\/p>\n<p>Interpretar el resultado es sencillo. Si las tres ra\u00edces son n\u00fameros, la gr\u00e1fica de \\( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \\) corta el eje x en esos puntos (toc\u00e1ndolo en una ra\u00edz repetida). Si dos campos dicen \u00abRa\u00edz compleja\u00bb, la gr\u00e1fica cruza el eje x una sola vez, en la \u00fanica ra\u00edz real mostrada. Las dos ra\u00edces ocultas forman un <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/es\/matematicas\/conjugado-numero-complejo\/\">par de conjugados complejos<\/a>; puedes explorarlas con la <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/es\/matematicas\/calculadora-de-numeros-complejos\/\">calculadora de n\u00fameros complejos<\/a>.<\/p>\n<p>Las ecuaciones c\u00fabicas aparecen en todas partes de las matem\u00e1ticas aplicadas: hallar puntos de intersecci\u00f3n en geometr\u00eda, calcular valores propios en \u00e1lgebra lineal, modelar problemas de vol\u00famenes en f\u00edsica y analizar estabilidad en ingenier\u00eda y econom\u00eda.<\/p>\n<h2>Supuestos, limitaciones y consejos<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>El coeficiente a debe ser distinto de cero.<\/strong> Si \\( a = 0 \\), la ecuaci\u00f3n es en realidad cuadr\u00e1tica (o lineal); usa mejor el solucionador de ecuaciones cuadr\u00e1ticas.<\/li>\n<li><strong>Las ra\u00edces complejas se se\u00f1alan, no se calculan.<\/strong> La calculadora muestra las ra\u00edces reales num\u00e9ricamente e indica \u00abRa\u00edz compleja\u00bb para el par no real. As\u00ed el resultado queda limpio para el uso cotidiano.<\/li>\n<li><strong>Redondeo a 5 decimales.<\/strong> Los resultados se redondean, de modo que una ra\u00edz como \\( \\sqrt[3]{2} \\) aparece como 1,25992. Para la mayor\u00eda de los fines, esta precisi\u00f3n es m\u00e1s que suficiente; pueden surgir peque\u00f1as discrepancias si sustituyes una ra\u00edz redondeada en la ecuaci\u00f3n.<\/li>\n<li><strong>Casos l\u00edmite num\u00e9ricos.<\/strong> Los coeficientes muy grandes o muy peque\u00f1os pueden provocar errores de redondeo en coma flotante, por lo que un discriminante matem\u00e1ticamente igual a cero puede calcularse como un n\u00famero positivo o negativo muy peque\u00f1o. En tales casos, las ra\u00edces mostradas pueden diferir en las \u00faltimas cifras decimales.<\/li>\n<li><strong>Comprueba con la regla de Descartes.<\/strong> Antes de resolver, puedes estimar cu\u00e1ntas ra\u00edces reales positivas y negativas existen con la <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/es\/matematicas\/regla-de-los-signos-de-descartes\/\">calculadora de la regla de los signos de Descartes<\/a>, y usar el resultado como verificaci\u00f3n del solucionador. Junto con ello, la <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/es\/matematicas\/raiz-cubica\/\">calculadora de ra\u00edz c\u00fabica<\/a> es \u00fatil cuando solo necesitas \\( \\sqrt[3]{n} \\) para un \u00fanico n\u00famero.<\/li>\n<li><strong>Primer intento de factorizaci\u00f3n simple.<\/strong> Comprueba siempre si \\( x = 0 \\) es ra\u00edz (es decir, \\( d = 0 \\)) o si un entero obvio como 1, \u22121, 2 o \u22122 satisface la ecuaci\u00f3n: extraer una ra\u00edz reduce la c\u00fabica a una cuadr\u00e1tica que puedes resolver mentalmente.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Resuelve cualquier ecuaci\u00f3n c\u00fabica ax\u00b3 + bx\u00b2 + cx + d = 0 mediante el m\u00e9todo de Cardano. 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