{"id":269,"date":"2026-10-03T06:10:36","date_gmt":"2026-10-03T03:10:36","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/es\/?p=269"},"modified":"2026-10-03T06:10:36","modified_gmt":"2026-10-03T03:10:36","slug":"regla-de-los-signos-de-descartes","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/es\/matematicas\/regla-de-los-signos-de-descartes\/","title":{"rendered":"Calculadora de la regla de los signos de Descartes"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Analizar las ra\u00edces reales positivas y negativas de polinomios<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"269\" data-favorite-title=\"Regla de los signos de Descartes\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/es\/matematicas\/regla-de-los-signos-de-descartes\/\" data-favorite-excerpt=\"Estima el n\u00famero de ra\u00edces positivas, negativas y no reales de un polinomio mediante la regla de los signos de Descartes. Introduce los coeficientes en orden descendente de potencias para ver todos los recuentos posibles de ra\u00edces.\" aria-label=\"A\u00f1adir a favoritos\" data-favorite-icon=\"icon icon-algebra\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/es\/matematicas\/regla-de-los-signos-de-descartes\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-269\" data-post=\"269\"><fieldset class=\"fieldset-input\"><legend class=\"sr-only\">Campos de entrada<\/legend><div class=\"field is-single\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Coeficientes del polinomio<\/label><input type=\"text\" name=\"coeficientes_del_polinomio\" id=\"field-1\" aria-describedby=\"calc-info-1\" step=\"any\" value=\"1 -6 11 -6\"\/><small id=\"calc-info-1\">Introduce los coeficientes del polinomio en orden descendente de potencias, separados por espacios. Por ejemplo: &quot;1 -6 11 -6&quot; representa x\u00b3 - 6x\u00b2 + 11x - 6<\/small><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Recalcular\" id=\"calculate-button\" data-post=\"269\">Calcular<\/button><button type=\"reset\">Restablecer<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Calcular autom\u00e1ticamente<\/label><small>Si est\u00e1 activado, el resultado se actualizar\u00e1 autom\u00e1ticamente al cambiar cualquier valor.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Tus resultados<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Tu polinomio<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copiar resultado\" aria-label=\"Copiar resultado\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>Multiplicidad del cero como ra\u00edz<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copiar resultado\" aria-label=\"Copiar resultado\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>N\u00famero de ra\u00edces positivas<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copiar resultado\" aria-label=\"Copiar resultado\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-4\"><span class=\"field-title\"><span>N\u00famero de ra\u00edces negativas<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-4\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copiar resultado\" aria-label=\"Copiar resultado\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-5\"><span class=\"field-title\"><span>N\u00famero m\u00ednimo de ra\u00edces no reales<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-5\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copiar resultado\" aria-label=\"Copiar resultado\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Copiar enlace a este c\u00e1lculo<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Dejar un comentario<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"269\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">\u00bfQu\u00e9 te ha parecido este resultado?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Me gusta <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">\u00datil <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Confuso <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Decepcionado <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Inexacto <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>F\u00f3rmula de la regla de los signos de Descartes<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">F\u00f3rmula<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[\nP(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \\dots + a_1x + a_0 \\\\[1em]\nV(x) = \\text{n\u00famero de cambios de signo en los coeficientes de } P(x) \\\\[1em]\nN_{\\text{pos}} \\le V(x), \\quad N_{\\text{pos}} \\equiv V(x) \\pmod{2} \\\\[1em]\nN_{\\text{neg}} \\le V(-x), \\quad N_{\\text{neg}} \\equiv V(-x) \\pmod{2}\n\\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>Donde:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(P(x)\\) \u2014 el polinomio, con los coeficientes escritos en orden descendente de potencias<\/li>\n<li>\\(V(x)\\) \u2014 el n\u00famero de cambios de signo entre coeficientes consecutivos no nulos de \\(P(x)\\)<\/li>\n<li>\\(V(-x)\\) \u2014 el n\u00famero de cambios de signo en \\(P(-x)\\), es decir, el polinomio con los signos de todos los coeficientes de potencia impar invertidos<\/li>\n<li>\\(N_{\\text{pos}}\\), \\(N_{\\text{neg}}\\) \u2014 el n\u00famero de ra\u00edces reales positivas y negativas, contadas con su multiplicidad<\/li>\n<\/ul>\n<p>La regla establece que el n\u00famero de ra\u00edces reales positivas es igual al n\u00famero de cambios de signo en \\(P(x)\\) o es menor que este en un n\u00famero par. Lo mismo se aplica a las ra\u00edces negativas tras sustituir \\(-x\\) por \\(x\\).<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Regla de los signos de Descartes \u2013 Ejemplo de c\u00e1lculo<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> toma el polinomio \\(f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\\), introducido como los coeficientes <code>1 -6 11 -6<\/code>.<\/p>\n<p><strong>Paso 1 \u2014 ra\u00edces positivas.<\/strong> Los signos de los coeficientes de \\(f(x)\\) son:<\/p>\n<p>\\[ +,\\ -,\\ +,\\ - \\quad \\Rightarrow \\quad 3 \\text{ cambios de signo} \\]<\/p>\n<p>Por lo tanto, hay exactamente 3 o exactamente 1 ra\u00edces reales positivas.<\/p>\n<p><strong>Paso 2 \u2014 ra\u00edces negativas.<\/strong> Sustituye \\(-x\\):<\/p>\n<p>\\[ f(-x) = -x^3 - 6x^2 - 11x - 6 \\]<\/p>\n<p>Los signos son \\(-, -, -, -\\), lo que da 0 cambios de signo, as\u00ed que no hay ra\u00edces reales negativas.<\/p>\n<p><strong>Resultado:<\/strong> 3 o 1 ra\u00edces positivas, 0 ra\u00edces negativas y al menos \\(3 - 3 = 0\\) ra\u00edces no reales. De hecho, \\(f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)\\), as\u00ed que las tres ra\u00edces (1, 2, 3) son positivas.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>C\u00f3mo usar la calculadora<\/h2>\n<ol>\n<li>En el campo <strong>Coeficientes del polinomio<\/strong>, escribe los coeficientes de tu polinomio en orden descendente de potencias, separados por espacios. Por ejemplo, <code>1 -6 11 -6<\/code> representa \\(x^3 - 6x^2 + 11x - 6\\).<\/li>\n<li>Incluye los coeficientes cero donde falte una potencia: <code>2 0 -5 1<\/code> significa \\(2x^3 - 5x + 1\\). Los ceros iniciales y finales se gestionan autom\u00e1ticamente.<\/li>\n<li>Pulsa <strong>Calcular<\/strong>.<\/li>\n<li>Lee los resultados: la calculadora muestra tu polinomio en forma est\u00e1ndar, la multiplicidad del cero como ra\u00edz (si el t\u00e9rmino independiente es 0), los n\u00fameros posibles de ra\u00edces reales positivas, los n\u00fameros posibles de ra\u00edces reales negativas y el n\u00famero m\u00ednimo de ra\u00edces no reales (complejas).<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Qu\u00e9 te dice la regla de los signos de Descartes<\/h2>\n<p>La regla de los signos de Descartes, publicada por Ren\u00e9 Descartes en 1637, es una prueba r\u00e1pida que acota cu\u00e1ntas ra\u00edces reales positivas y negativas puede tener un polinomio, sin necesidad de resolver la ecuaci\u00f3n. Se escribe el polinomio en forma est\u00e1ndar y se cuenta cu\u00e1ntas veces cambian de signo los coeficientes consecutivos no nulos. Ese recuento, reducido en un n\u00famero par, es el n\u00famero exacto de ra\u00edces positivas. Repitiendo el recuento en \\(f(-x)\\) se obtienen las posibilidades para las ra\u00edces negativas.<\/p>\n<p>La parte de \u00abdifieren en un n\u00famero par\u00bb es importante. Si hay 3 cambios de signo, el polinomio tiene 3 o 1 ra\u00edces positivas \u2014 nunca 2 ni 0; no es posible ning\u00fan otro valor, solo son posibles 3 o 1. Si hay exactamente 1 cambio de signo, el polinomio tiene exactamente 1 ra\u00edz positiva, que es uno de los casos especiales m\u00e1s \u00fatiles de la regla.<\/p>\n<p>Combinar los dos recuentos con el grado del polinomio tambi\u00e9n te indica el n\u00famero m\u00ednimo de ra\u00edces no reales. Dado que un polinomio de grado \\(n\\) tiene exactamente \\(n\\) ra\u00edces en total (contando multiplicidades, seg\u00fan el teorema fundamental del \u00e1lgebra), y las ra\u00edces no reales siempre aparecen en pares conjugados, restando del grado los recuentos m\u00e1ximos posibles de ra\u00edces reales se obtiene el n\u00famero m\u00ednimo de ra\u00edces complejas. Para explorarlas, consulta la <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/es\/matematicas\/raices-complejas\/\">calculadora de ra\u00edces complejas<\/a> y la <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/es\/matematicas\/conjugado-numero-complejo\/\">calculadora de conjugados complejos<\/a>.<\/p>\n<h2>Interpretaci\u00f3n de los resultados<\/h2>\n<p>Cada l\u00ednea de resultados enumera todas las posibilidades compatibles con la regla. \u00ab3 o 1\u00bb para las ra\u00edces positivas significa que ambos resultados son compatibles con el patr\u00f3n de signos; se necesita informaci\u00f3n adicional (una gr\u00e1fica, pruebas de ra\u00edces racionales o m\u00e9todos num\u00e9ricos) para determinar el recuento efectivo. Un resultado de exactamente 0 es definitivo: si \\(f(-x)\\) no tiene cambios de signo, el polinomio no tiene ra\u00edces reales negativas, sin excepci\u00f3n.<\/p>\n<p>Si el t\u00e9rmino independiente es cero, \\(x = 0\\) es una ra\u00edz, y la calculadora indica su multiplicidad contando los coeficientes cero finales. En ese caso, aplica la regla a la parte restante del polinomio tras factorizar \\(x^k\\).<\/p>\n<h2>Supuestos, limitaciones y consejos<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Los coeficientes deben ser reales.<\/strong> La regla no se aplica a polinomios con coeficientes complejos.<\/li>\n<li><strong>Los coeficientes cero se omiten<\/strong> al contar los cambios de signo. Para \\(x^3 + 1\\), los signos son \\(+, +\\) \u2014 un cambio de signo, y por tanto exactamente 1 ra\u00edz negativa tras comprobar tambi\u00e9n \\(f(-x)\\).<\/li>\n<li><strong>La regla cuenta la multiplicidad.<\/strong> Una ra\u00edz doble en \\(x = 2\\) cuenta como dos ra\u00edces positivas.<\/li>\n<li><strong>Da posibilidades, no valores exactos.<\/strong> La regla nunca te dice cu\u00e1les son las ra\u00edces, solo cu\u00e1ntas puede haber de cada signo. \u00dasala para acotar la b\u00fasqueda antes de aplicar otras herramientas.<\/li>\n<li><strong>Un recuento de cero ra\u00edces da una comprobaci\u00f3n r\u00e1pida:<\/strong> si un polinomio de grado impar no tiene cambios de signo en \\(f(x)\\), debe tener al menos una ra\u00edz negativa, porque los polinomios de grado impar siempre tienen al menos una ra\u00edz real.<\/li>\n<li>La regla funciona especialmente bien junto con calculadoras de ecuaciones como la <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/es\/matematicas\/ecuacion-de-tercer-grado\/\">calculadora de ecuaciones c\u00fabicas<\/a> y la <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/es\/matematicas\/ecuacion-cuarto-grado\/\">calculadora de ecuaciones cu\u00e1rticas<\/a>, y puede confirmar la estructura de ra\u00edces encontrada con la <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/es\/matematicas\/ecuacion-segundo-grado-2\/\">calculadora de ecuaciones cuadr\u00e1ticas<\/a>.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Estima el n\u00famero de ra\u00edces positivas, negativas y no reales de un polinomio mediante la regla de los signos de Descartes. Introduce los coeficientes en orden descendente de potencias para ver todos los recuentos posibles de ra\u00edces.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[3],"tags":[48],"class_list":["post-269","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematicas","tag-algebra"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/es\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/269","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/es\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/es\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/es\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/es\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=269"}],"version-history":[{"count":7,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/es\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/269\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5028,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/es\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/269\/revisions\/5028"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/es\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=269"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/es\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=269"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/es\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=269"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}