{"id":5140,"date":"2026-10-13T18:21:56","date_gmt":"2026-10-13T15:21:56","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/es\/matematicas\/proyeccion-de-vectores-3d\/"},"modified":"2026-10-13T18:21:56","modified_gmt":"2026-10-13T15:21:56","slug":"proyeccion-de-vectores-3d","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/es\/matematicas\/proyeccion-de-vectores-3d\/","title":{"rendered":"Calculadora de proyecci\u00f3n de vectores en 3D"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Proyecta un vector 3D sobre otro<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"5140\" data-favorite-title=\"Proyecci\u00f3n de vectores en 3D\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/es\/matematicas\/proyeccion-de-vectores-3d\/\" data-favorite-excerpt=\"Introduce las componentes de dos vectores en 3D y esta calculadora proyecta uno sobre el otro, mostrando la proyecci\u00f3n escalar, la proyecci\u00f3n vectorial, la componente perpendicular, el producto escalar, los m\u00f3dulos y el \u00e1ngulo entre los vectores.\" aria-label=\"A\u00f1adir a favoritos\" data-favorite-icon=\"icon icon-geometry\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/es\/matematicas\/proyeccion-de-vectores-3d\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-5140\" data-post=\"5140\"><fieldset class=\"fieldset-input is-3\"><legend class=\"sr-only\">Campos de entrada<\/legend><div class=\"is-single field\" id=\"input-1\"><span class=\"font-semibold\">Vector a: componentes<\/span><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">Componente x (a\u2093)<\/label><div class=\"term\">a\u2093<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"componente_x_a\" id=\"field-2\" placeholder=\"2\" step=\"any\" value=\"2\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">Componente y (a\u1d67)<\/label><div class=\"term\">a\u1d67<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"componente_y_a\" id=\"field-3\" placeholder=\"3\" step=\"any\" value=\"3\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-4\"><label for=\"field-4\">Componente z (a_z)<\/label><div class=\"term\">a_z<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"componente_z_az\" id=\"field-4\" placeholder=\"1\" step=\"any\" value=\"1\"\/><\/div><div class=\"is-single field\" id=\"input-5\"><span class=\"font-semibold\">Vector b: componentes<\/span><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-6\"><label for=\"field-6\">Componente x (b\u2093)<\/label><div class=\"term\">b\u2093<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"componente_x_b\" id=\"field-6\" placeholder=\"1\" step=\"any\" value=\"1\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-7\"><label for=\"field-7\">Componente y (b\u1d67)<\/label><div class=\"term\">b\u1d67<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"componente_y_b\" id=\"field-7\" placeholder=\"0\" step=\"any\" value=\"0\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-8\"><label for=\"field-8\">Componente z (b_z)<\/label><div class=\"term\">b_z<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"componente_z_bz\" id=\"field-8\" placeholder=\"2\" step=\"any\" value=\"2\"\/><\/div><div class=\"is-single field\" id=\"input-9\"><span class=\"font-semibold\">Direcci\u00f3n de proyecci\u00f3n<\/span><\/div><div class=\"field is-single\" id=\"input-10\"><label for=\"field-10\">Proyectar<\/label><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-10\" name=\"proyectar\"><option value=\"ab\" selected>a sobre b<\/option><option value=\"ba\">b sobre a<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Recalcular\" id=\"calculate-button\" data-post=\"5140\">Calcular<\/button><button type=\"reset\">Restablecer<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Calcular autom\u00e1ticamente<\/label><small>Si est\u00e1 activado, el resultado se actualizar\u00e1 autom\u00e1ticamente al cambiar cualquier valor.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Tu proyecci\u00f3n<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Proyecci\u00f3n escalar<\/span><span class=\"result-term\">comp<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copiar resultado\" aria-label=\"Copiar resultado\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>Proyecci\u00f3n vectorial<\/span><span class=\"result-term\">proj<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copiar resultado\" aria-label=\"Copiar resultado\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>Componente perpendicular<\/span><span class=\"result-term\">rej<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copiar resultado\" aria-label=\"Copiar resultado\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-4\"><span class=\"field-title\"><span>Producto escalar<\/span><span class=\"result-term\">a\u00b7b<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-4\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copiar resultado\" aria-label=\"Copiar resultado\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-5\"><span class=\"field-title\"><span>M\u00f3dulo de a<\/span><span class=\"result-term\">|a|<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-5\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copiar resultado\" aria-label=\"Copiar resultado\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-6\"><span class=\"field-title\"><span>M\u00f3dulo de b<\/span><span class=\"result-term\">|b|<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-6\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copiar resultado\" aria-label=\"Copiar resultado\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-7\"><span class=\"field-title\"><span>\u00c1ngulo entre los vectores<\/span><span class=\"result-term\">\u03b8<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-7\" data-unit=\"\u00b0\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copiar resultado\" aria-label=\"Copiar resultado\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-8\"><span class=\"field-title\"><span>Pasos del c\u00e1lculo<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-8\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copiar resultado\" aria-label=\"Copiar resultado\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Copiar enlace a este c\u00e1lculo<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Dejar un comentario<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"5140\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">\u00bfQu\u00e9 te ha parecido este resultado?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Me gusta <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">\u00datil <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Confuso <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Decepcionado <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Inexacto <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>F\u00f3rmula de la proyecci\u00f3n de vectores en 3D<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">F\u00f3rmula<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ \\operatorname{proj}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a} = \\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{\\lvert \\mathbf{b} \\rvert^2}\\, \\mathbf{b} \\]<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>Donde:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(\\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)\\) es el vector que se proyecta<\/li>\n<li>\\(\\mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z)\\) es el vector que marca la direcci\u00f3n<\/li>\n<li>\\(\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\\) es el producto escalar<\/li>\n<li>\\(\\lvert \\mathbf{b} \\rvert = \\sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}\\) es el m\u00f3dulo (longitud) de \\(\\mathbf{b}\\)<\/li>\n<\/ul>\n<p>La f\u00f3rmula expresa cu\u00e1nto de \\(\\mathbf{a}\\) apunta en la direcci\u00f3n de \\(\\mathbf{b}\\). El factor \\(k = \\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{\\lvert \\mathbf{b} \\rvert^2}\\) escala \\(\\mathbf{b}\\) de modo que el resultado es la sombra que \\(\\mathbf{a}\\) proyecta sobre la recta que pasa por \\(\\mathbf{b}\\).<\/p>\n<p>De esa misma proyecci\u00f3n se obtienen dos magnitudes relacionadas:<\/p>\n<p>\\[ \\operatorname{comp}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a} = \\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{\\lvert \\mathbf{b} \\rvert} \\qquad \\operatorname{perp}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a} = \\mathbf{a} - \\operatorname{proj}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a} \\]<\/p>\n<p>La proyecci\u00f3n escalar (o componente) es la longitud con signo de esa sombra, y la componente perpendicular (o rechazo) es la parte de \\(\\mathbf{a}\\) que sobra, siempre ortogonal a \\(\\mathbf{b}\\).<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Proyecci\u00f3n de vectores en 3D: ejemplo de c\u00e1lculo<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> proyecta \\(\\mathbf{a} = (2, 3, 1)\\) sobre \\(\\mathbf{b} = (1, 0, 2)\\) (los valores que vienen por defecto en la calculadora).<\/p>\n<p>\\[ \\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b} = 2 \\cdot 1 + 3 \\cdot 0 + 1 \\cdot 2 = 4 \\]<\/p>\n<p>\\[ \\lvert \\mathbf{a} \\rvert = \\sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \\sqrt{14} \\approx 3.742, \\qquad \\lvert \\mathbf{b} \\rvert = \\sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \\sqrt{5} \\approx 2.236 \\]<\/p>\n<p>\\[ k = \\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{\\lvert \\mathbf{b} \\rvert^2} = \\frac{4}{5} = 0.8 \\]<\/p>\n<p>\\[ \\operatorname{proj}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a} = 0.8 \\cdot (1, 0, 2) = (0.8,\\ 0,\\ 1.6) \\]<\/p>\n<p>\\[ \\operatorname{perp}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a} = (2, 3, 1) - (0.8, 0, 1.6) = (1.2,\\ 3,\\ -0.6) \\]<\/p>\n<p><strong>Resultado:<\/strong> la proyecci\u00f3n escalar es \\(4 \/ \\sqrt{5} \\approx 1,789\\), la proyecci\u00f3n vectorial es \\((0.8, 0, 1.6)\\) y la componente perpendicular es \\((1.2, 3, -0.6)\\), con m\u00f3dulo \\(\\approx 3,286\\). El \u00e1ngulo entre los vectores es \\(\\arccos\\!\\left(\\tfrac{4}{\\sqrt{70}}\\right) \\approx 61,4\u00b0\\).<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>C\u00f3mo usar la calculadora<\/h2>\n<ol>\n<li>Introduce la <strong>componente x (a\u2093)<\/strong>, la <strong>componente y (a\u1d67)<\/strong> y la <strong>componente z (a_z)<\/strong> del primer vector en \u00abVector a \u2014 componentes\u00bb.<\/li>\n<li>Introduce las tres componentes del segundo vector en \u00abVector b \u2014 componentes\u00bb. Usa 0 para cualquier eje que falte.<\/li>\n<li>Elige la opci\u00f3n de <strong>Proyectar<\/strong>: \u00aba sobre b\u00bb calcula cu\u00e1nto de \\(\\mathbf{a}\\) est\u00e1 en la direcci\u00f3n de \\(\\mathbf{b}\\); \u00abb sobre a\u00bb invierte los papeles.<\/li>\n<li>Lee los resultados: la proyecci\u00f3n escalar, la proyecci\u00f3n vectorial, la componente perpendicular, adem\u00e1s del producto escalar, los dos m\u00f3dulos, el \u00e1ngulo entre los vectores y el desarrollo del c\u00e1lculo paso a paso.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>\u00bfQu\u00e9 es la proyecci\u00f3n de un vector en 3D?<\/h2>\n<p>Geom\u00e9tricamente, la proyecci\u00f3n del vector \\(\\mathbf{a}\\) sobre el vector \\(\\mathbf{b}\\) es la sombra que \\(\\mathbf{a}\\) proyecta sobre la recta que pasa por \\(\\mathbf{b}\\), como si la luz incidiera perpendicularmente a esa recta. El resultado es un vector nuevo que apunta exactamente en la misma direcci\u00f3n que \\(\\mathbf{b}\\) (o justo en la opuesta), con una longitud igual a lo que \\(\\mathbf{a}\\) alcanza en esa direcci\u00f3n. Tambi\u00e9n se llama componente vectorial de \\(\\mathbf{a}\\) en la direcci\u00f3n de \\(\\mathbf{b}\\).<\/p>\n<p>Toda proyecci\u00f3n descompone un vector en dos partes ortogonales: la proyecci\u00f3n propiamente dicha (paralela a \\(\\mathbf{b}\\)) y la componente perpendicular, a menudo llamada <em>rechazo<\/em>. Las dos partes siempre suman el vector original: \\(\\mathbf{a} = \\operatorname{proj}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a} + \\operatorname{perp}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a}\\), y su producto escalar es cero. Esta descomposici\u00f3n es la base del proceso de Gram\u2013Schmidt, de la descomposici\u00f3n de fuerzas en componentes en f\u00edsica y del ajuste por m\u00ednimos cuadrados en estad\u00edstica.<\/p>\n<p>La <strong>proyecci\u00f3n escalar<\/strong> responde con un \u00fanico n\u00famero con signo a la pregunta \u00ab\u00bfhasta d\u00f3nde llega \\(\\mathbf{a}\\) a lo largo de \\(\\mathbf{b}\\)?\u00bb. Es positiva cuando el \u00e1ngulo entre los vectores es menor de 90\u00b0, cero cuando son perpendiculares y negativa cuando el \u00e1ngulo supera los 90\u00b0; es decir, cuando \\(\\mathbf{a}\\) apunta en parte <em>contra<\/em> \\(\\mathbf{b}\\). El propio \u00e1ngulo se deduce del producto escalar mediante \\(\\cos\\theta = \\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{\\lvert\\mathbf{a}\\rvert\\,\\lvert\\mathbf{b}\\rvert}\\), y por eso la calculadora lo muestra junto con la proyecci\u00f3n.<\/p>\n<p>Ten en cuenta que la proyecci\u00f3n escala con la longitud de \\(\\mathbf{b}\\), pero no con su direcci\u00f3n: si duplicas \\(\\mathbf{b}\\), el factor de escala \\(k\\) se reduce a la mitad y la proyecci\u00f3n vectorial no cambia. Dicho de otro modo, la proyecci\u00f3n depende de la <em>recta<\/em> que pasa por \\(\\mathbf{b}\\), no del vector concreto: una relaci\u00f3n de proporcionalidad directa entre \\(k\\) y \\(\\lvert\\mathbf{b}\\rvert^{-2}\\). Puedes explorar este tipo de relaciones proporcionales con la <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/es\/matematicas\/variacion-directa\/\">calculadora de proporcionalidad directa<\/a>.<\/p>\n<h2>Supuestos, limitaciones y consejos<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Vectores no nulos obligatorios.<\/strong> El vector de direcci\u00f3n debe tener un m\u00f3dulo positivo, porque la f\u00f3rmula divide entre \\(\\lvert\\mathbf{b}\\rvert^2\\). El vector nulo no tiene direcci\u00f3n sobre la que proyectar; la calculadora te indicar\u00e1 qu\u00e9 vector hay que corregir.<\/li>\n<li><strong>El signo importa.<\/strong> Una proyecci\u00f3n escalar negativa es un resultado v\u00e1lido: significa que la proyecci\u00f3n apunta en sentido contrario a \\(\\mathbf{b}\\), y la proyecci\u00f3n vectorial contendr\u00e1 m\u00faltiplos negativos de las componentes de \\(\\mathbf{b}\\).<\/li>\n<li><strong>El orden importa.<\/strong> Proyectar \\(\\mathbf{a}\\) sobre \\(\\mathbf{b}\\) y \\(\\mathbf{b}\\) sobre \\(\\mathbf{a}\\) suele dar vectores distintos (solo las proyecciones escalares quedan relacionadas mediante \\(\\lvert\\mathbf{a}\\rvert\\) y \\(\\lvert\\mathbf{b}\\rvert\\)). Usa el desplegable \u00abProyectar\u00bb para cambiar de direcci\u00f3n.<\/li>\n<li><strong>Comprobaci\u00f3n de perpendicularidad.<\/strong> Si el producto escalar es 0, los vectores son ortogonales: la proyecci\u00f3n es el vector nulo y la componente perpendicular coincide con el vector original.<\/li>\n<li><strong>M\u00f3dulos como media cuadr\u00e1tica.<\/strong> El m\u00f3dulo \\(\\lvert\\mathbf{v}\\rvert = \\sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\\) es la ra\u00edz de la media de los cuadrados de las tres componentes multiplicada por \\(\\sqrt{3}\\); la misma idea de promedio aparece en la <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/es\/matematicas\/calculadora-media-cuadratica-rms\/\">calculadora de media cuadr\u00e1tica (RMS)<\/a>.<\/li>\n<li><strong>Vectores paralelos.<\/strong> Si los dos vectores son paralelos (\u00e1ngulo de 0\u00b0 o 180\u00b0), la proyecci\u00f3n coincide con \\(\\mathbf{a}\\) (salvo el signo) y la componente perpendicular es el vector nulo.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Introduce las componentes de dos vectores en 3D y esta calculadora proyecta uno sobre el otro, mostrando la proyecci\u00f3n escalar, la proyecci\u00f3n vectorial, la componente perpendicular, el producto escalar, los m\u00f3dulos y el \u00e1ngulo entre los vectores.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[3],"tags":[4],"class_list":["post-5140","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematicas","tag-geometria"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/es\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5140","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/es\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/es\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/es\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/es\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=5140"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/es\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5140\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5489,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/es\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5140\/revisions\/5489"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/es\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=5140"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/es\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=5140"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/es\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=5140"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}