{"id":236,"date":"2026-10-03T06:03:18","date_gmt":"2026-10-03T03:03:18","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/?p=236"},"modified":"2026-10-03T06:03:18","modified_gmt":"2026-10-03T03:03:18","slug":"valeurs-propres-vecteurs-propres-2x2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/valeurs-propres-vecteurs-propres-2x2\/","title":{"rendered":"Calculateur de valeurs propres et de vecteurs propres d\u2019une matrice 2\u00d72"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Trouvez les valeurs propres 2\u00d72<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"236\" data-favorite-title=\"Valeurs propres et vecteurs propres 2\u00d72\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/valeurs-propres-vecteurs-propres-2x2\/\" data-favorite-excerpt=\"Saisissez les quatre \u00e9l\u00e9ments d\u2019une matrice 2\u00d72 pour obtenir ses valeurs propres et ses vecteurs propres, ainsi que son d\u00e9terminant, sa trace et son polyn\u00f4me caract\u00e9ristique, avec une r\u00e9solution d\u00e9taill\u00e9e.\" aria-label=\"Ajouter aux favoris\" data-favorite-icon=\"icon icon-binary\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/valeurs-propres-vecteurs-propres-2x2\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-236\" data-post=\"236\"><fieldset class=\"fieldset-input\"><legend class=\"sr-only\">Champs de saisie<\/legend><div class=\"field has-term\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">a\u2081\u2081<\/label><div class=\"term\">a11<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"a\" id=\"field-1\" aria-describedby=\"calc-info-1\" step=\"any\" value=\"4\"\/><small id=\"calc-info-1\">\u00c9l\u00e9ment de la matrice \u00e0 la ligne 1, colonne 1<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">a\u2081\u2082<\/label><div class=\"term\">a12<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"a\" id=\"field-2\" aria-describedby=\"calc-info-2\" step=\"any\" value=\"2\"\/><small id=\"calc-info-2\">\u00c9l\u00e9ment de la matrice \u00e0 la ligne 1, colonne 2<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">a\u2082\u2081<\/label><div class=\"term\">a21<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"a\" id=\"field-3\" aria-describedby=\"calc-info-3\" step=\"any\" value=\"1\"\/><small id=\"calc-info-3\">\u00c9l\u00e9ment de la matrice \u00e0 la ligne 2, colonne 1<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-4\"><label for=\"field-4\">a\u2082\u2082<\/label><div class=\"term\">a22<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"a\" id=\"field-4\" aria-describedby=\"calc-info-4\" step=\"any\" value=\"3\"\/><small id=\"calc-info-4\">\u00c9l\u00e9ment de la matrice \u00e0 la ligne 2, colonne 2<\/small><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Recalculer\" id=\"calculate-button\" data-post=\"236\">Calculer<\/button><button type=\"reset\">R\u00e9initialiser<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Calculer automatiquement<\/label><small>Si activ\u00e9, le r\u00e9sultat se met \u00e0 jour automatiquement d\u00e8s que vous modifiez une valeur.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Vos r\u00e9sultats<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>|A| \u2014 D\u00e9terminant de la matrice<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>Trace de A \u2014 Somme des \u00e9l\u00e9ments diagonaux<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>Matrice d\u00e9g\u00e9n\u00e9r\u00e9e (A \u2212 c\u00d7I)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-4\"><span class=\"field-title\"><span>|A \u2212 c\u00d7I| \u2014 Polyn\u00f4me caract\u00e9ristique<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-4\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-5\"><span class=\"field-title\"><span>Valeur propre \u03bb\u2081<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-5\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-6\"><span class=\"field-title\"><span>Valeur propre \u03bb\u2082<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-6\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-7\"><span class=\"field-title\"><span>Vecteur propre associ\u00e9 \u00e0 \u03bb\u2081 (x\u2081, x\u2082)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-7\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-8\"><span class=\"field-title\"><span>Vecteur propre associ\u00e9 \u00e0 \u03bb\u2082 (x\u2081, x\u2082)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-8\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Copier le lien vers ce calcul<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Laisser un commentaire<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"236\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Que pensez-vous de ce r\u00e9sultat\u00a0?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">J\u2019aime <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Utile <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Confus <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">D\u00e9\u00e7u <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Inexact <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Formule des valeurs propres et des vecteurs propres d\u2019une matrice 2\u00d72<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Formule<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ \\det(A - \\lambda I) = 0 \\\\ (A - \\lambda I)\\vec{v} = \\vec{0} \\\\ \\det\\begin{bmatrix} a - \\lambda &amp; b \\\\ c &amp; d - \\lambda \\end{bmatrix} = (a-\\lambda)(d-\\lambda) - bc = 0 \\\\ \\lambda_{1,2} = \\frac{\\operatorname{tr}(A) \\pm \\sqrt{\\operatorname{tr}(A)^2 - 4\\det(A)}}{2} \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>O\u00f9&nbsp;:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\( A = \\begin{bmatrix} a &amp; b \\\\ c &amp; d \\end{bmatrix} \\) \u2014 la matrice 2\u00d72<\/li>\n<li>\\( \\lambda \\) \u2014 les valeurs propres (les racines de l\u2019\u00e9quation caract\u00e9ristique)<\/li>\n<li>\\( \\vec{v} \\) \u2014 les vecteurs propres correspondants, obtenus en r\u00e9solvant \\( (A - \\lambda I)\\vec{v} = \\vec{0} \\)<\/li>\n<li>\\( \\operatorname{tr}(A) = a + d \\) \u2014 la trace, et \\( \\det(A) = ad - bc \\) \u2014 le d\u00e9terminant<\/li>\n<\/ul>\n<p>La premi\u00e8re \u00e9quation d\u00e9finit le polyn\u00f4me caract\u00e9ristique \\( \\lambda^2 - \\operatorname{tr}(A)\\lambda + \\det(A) = 0 \\). Sa r\u00e9solution (une simple \u00e9quation du second degr\u00e9) donne les deux valeurs propres&nbsp;; chaque valeur propre permet ensuite d\u2019obtenir un vecteur propre \u00e0 partir du syst\u00e8me homog\u00e8ne \\( (A - \\lambda I)\\vec{v} = \\vec{0} \\).<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Valeurs propres et vecteurs propres 2\u00d72 \u2013 Exemple de calcul<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Exemple&nbsp;:<\/strong> trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice<\/p>\n<p>\\[ A = \\begin{bmatrix} 4 &amp; 2 \\\\ 1 &amp; 3 \\end{bmatrix} \\]<\/p>\n<p>\u00c9tape 1 \u2014 trace et d\u00e9terminant : \\( \\operatorname{tr}(A) = 4 + 3 = 7 \\), \\( \\det(A) = 4 \\cdot 3 - 2 \\cdot 1 = 10 \\).<\/p>\n<p>\u00c9tape 2 \u2014 \u00e9quation caract\u00e9ristique : \\( \\lambda^2 - 7\\lambda + 10 = 0 \\).<\/p>\n<p>\\[ \\lambda_{1,2} = \\frac{7 \\pm \\sqrt{49 - 40}}{2} = \\frac{7 \\pm 3}{2} \\]<\/p>\n<p>\u00c9tape 3 \u2014 valeurs propres : \\( \\lambda_1 = 5 \\), \\( \\lambda_2 = 2 \\).<\/p>\n<p>\u00c9tape 4 \u2014 vecteurs propres obtenus \u00e0 partir de \\( (A - \\lambda I)\\vec{v} = \\vec{0} \\). Pour \\( \\lambda_1 = 5 \\) : \\( (4-5)x_1 + 2x_2 = 0 \\), donc \\( x_2 = 0.5x_1 \\) et \\( \\vec{v}_1 = (1,\\ 0.5) \\). Pour \\( \\lambda_2 = 2 \\) : \\( (4-2)x_1 + 2x_2 = 0 \\), donc \\( x_2 = -x_1 \\) et \\( \\vec{v}_2 = (1,\\ -1) \\).<\/p>\n<p><strong>R\u00e9sultat&nbsp;:<\/strong> \\( \\lambda_1 = 5 \\) avec le vecteur propre \\( (1,\\ 0.5) \\) ; \\( \\lambda_2 = 2 \\) avec le vecteur propre \\( (1,\\ -1) \\). V\u00e9rification : \\( A\\vec{v}_1 = (5,\\ 2.5) = 5\\vec{v}_1 \\) et \\( A\\vec{v}_2 = (2,\\ -2) = 2\\vec{v}_2 \\).<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Comment utiliser le calculateur de valeurs propres<\/h2>\n<ol>\n<li>Saisissez l\u2019\u00e9l\u00e9ment <strong>a\u2081\u2081<\/strong> de la matrice (ligne 1, colonne 1). La valeur par d\u00e9faut est 4.<\/li>\n<li>Saisissez <strong>a\u2081\u2082<\/strong> (ligne 1, colonne 2). La valeur par d\u00e9faut est 2.<\/li>\n<li>Saisissez <strong>a\u2082\u2081<\/strong> (ligne 2, colonne 1). La valeur par d\u00e9faut est 1.<\/li>\n<li>Saisissez <strong>a\u2082\u2082<\/strong> (ligne 2, colonne 2). La valeur par d\u00e9faut est 3.<\/li>\n<li>Consultez les r\u00e9sultats&nbsp;: le d\u00e9terminant |A|, la trace, la matrice \\( A - cI \\), le polyn\u00f4me caract\u00e9ristique, les deux valeurs propres et le vecteur propre associ\u00e9 \u00e0 chacune d\u2019elles.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Que sont les valeurs propres et les vecteurs propres ?<\/h2>\n<p>Un vecteur propre d\u2019une matrice \\( A \\) est un vecteur non nul qui ne change pas de direction sous l\u2019action de la matrice : il est seulement \u00e9tir\u00e9 ou comprim\u00e9. Le facteur de cet \u00e9tirement est la valeur propre \\( \\lambda \\). Formellement, \\( \\vec{v} \\) est un vecteur propre s\u2019il v\u00e9rifie<\/p>\n<p>\\[ A\\vec{v} = \\lambda\\vec{v} \\]<\/p>\n<p>G\u00e9om\u00e9triquement, une matrice 2\u00d72 transforme le plan : elle fait tourner les vecteurs, les \u00e9tire et leur applique un cisaillement. La plupart des vecteurs prennent une nouvelle direction, mais jusqu\u2019\u00e0 deux directions particuli\u00e8res restent inchang\u00e9es par la transformation (\u00e0 un facteur d\u2019\u00e9chelle pr\u00e8s). Ces directions sont celles des vecteurs propres, et leurs facteurs d\u2019\u00e9chelle sont les valeurs propres. C\u2019est pourquoi la d\u00e9composition en valeurs propres r\u00e9v\u00e8le le comportement \u00ab&nbsp;essentiel&nbsp;\u00bb d\u2019une transformation en faisant abstraction du reste.<\/p>\n<p>Les valeurs propres fournissent beaucoup d\u2019informations en seulement deux nombres. Leur produit est \u00e9gal au d\u00e9terminant (qui d\u00e9crit la fa\u00e7on dont la matrice modifie les aires), et leur somme est \u00e9gale \u00e0 la trace. Si les deux valeurs propres sont r\u00e9elles et positives, la transformation \u00e9tire l\u2019espace dans les deux directions propres ; si l\u2019une est n\u00e9gative, une direction est invers\u00e9e ; si les deux ont une valeur absolue inf\u00e9rieure \u00e0 1, la transformation contracte l\u2019espace. Lorsque les deux valeurs propres sont \u00e9gales, la matrice peut avoir ou non deux vecteurs propres ind\u00e9pendants : c\u2019est ce qui distingue les matrices diagonalisables des matrices d\u00e9fectives.<\/p>\n<p>Les valeurs propres et les vecteurs propres interviennent partout en math\u00e9matiques appliqu\u00e9es : dans l\u2019analyse de la stabilit\u00e9 des \u00e9quations diff\u00e9rentielles et des syst\u00e8mes dynamiques, l\u2019analyse en composantes principales en statistique, les modes de vibration en g\u00e9nie m\u00e9canique, la m\u00e9canique quantique (o\u00f9 les valeurs propres sont les valeurs mesurables des observables) et les algorithmes de classement des pages. Lorsqu\u2019une matrice agit de fa\u00e7on r\u00e9p\u00e9t\u00e9e \u2014 \\( A^n \\) \u2014, la valeur propre la plus grande domine le comportement \u00e0 long terme.<\/p>\n<h2>Hypoth\u00e8ses et limites<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Valeurs propres r\u00e9elles uniquement.<\/strong> Le calculateur r\u00e9sout l\u2019\u00e9quation caract\u00e9ristique du second degr\u00e9 dans l\u2019ensemble des nombres r\u00e9els. Si le discriminant \\( \\operatorname{tr}(A)^2 - 4\\det(A) &lt; 0 \\), les valeurs propres sont complexes et l\u2019outil affiche \u00ab&nbsp;Aucune racine r\u00e9elle&nbsp;\u00bb. C\u2019est le cas, par exemple, des matrices de rotation.<\/li>\n<li><strong>Les vecteurs propres ne sont pas uniques.<\/strong> Tout multiple non nul d\u2019un vecteur propre est aussi un vecteur propre. Le calculateur fixe \\( x_1 = 1 \\) et affiche \\( (1,\\ x_2) \\) ; la m\u00eame direction pourrait tout aussi bien s\u2019\u00e9crire \\( (2,\\ 2x_2) \\) ou avec le signe oppos\u00e9. Seule la direction compte.<\/li>\n<li><strong>Valeurs propres r\u00e9p\u00e9t\u00e9es.<\/strong> Lorsque le discriminant est nul, \\( \\lambda_1 = \\lambda_2 \\) et il peut n\u2019y avoir qu\u2019un seul vecteur propre ind\u00e9pendant (matrice d\u00e9fective). Dans ce cas, le calculateur renverra deux fois le m\u00eame vecteur propre.<\/li>\n<li><strong>Lignes nulles.<\/strong> Si \\( a_{12} \\) et \\( a_{21} \\) sont tous deux nuls (matrice diagonale), les valeurs propres sont simplement les \u00e9l\u00e9ments diagonaux \\( a_{11} \\) et \\( a_{22} \\), et les vecteurs propres correspondent aux directions de la base canonique.<\/li>\n<li><strong>Arrondi.<\/strong> Les r\u00e9sultats sont arrondis \u00e0 4 d\u00e9cimales, ce qui suffit pour la plupart des exercices scolaires, mais peut masquer de petites valeurs dans les matrices mal conditionn\u00e9es.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Pour travailler avec des matrices plus grandes, essayez le <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/valeurs-propres-vecteurs-propres-3x3\/\">calculateur de valeurs propres et de vecteurs propres d\u2019une matrice 3\u00d73<\/a>. Si vous devez d\u2019abord effectuer d\u2019autres op\u00e9rations sur les matrices, le <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/multiplication-matrices\/\">calculateur de multiplication de matrices<\/a> et le <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/produit-determinants\/\">calculateur de multiplication de d\u00e9terminants<\/a> sont \u00e9galement utiles, car les valeurs propres sont souvent calcul\u00e9es \u00e0 partir de puissances de matrices et de produits de d\u00e9terminants.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Saisissez les quatre \u00e9l\u00e9ments d\u2019une matrice 2\u00d72 pour obtenir ses valeurs propres et ses vecteurs propres, ainsi que son d\u00e9terminant, sa trace et son polyn\u00f4me caract\u00e9ristique, avec une r\u00e9solution d\u00e9taill\u00e9e.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[2],"tags":[24],"class_list":["post-236","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mathematiques","tag-matrices"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/236","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=236"}],"version-history":[{"count":7,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/236\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5302,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/236\/revisions\/5302"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=236"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=236"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=236"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}