{"id":237,"date":"2026-10-03T06:03:17","date_gmt":"2026-10-03T03:03:17","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/?p=237"},"modified":"2026-10-03T06:03:17","modified_gmt":"2026-10-03T03:03:17","slug":"valeurs-propres-vecteurs-propres-3x3","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/valeurs-propres-vecteurs-propres-3x3\/","title":{"rendered":"Calculateur de valeurs propres et de vecteurs propres d\u2019une matrice 3\u00d73"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Calculez les valeurs propres 3\u00d73<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"237\" data-favorite-title=\"Valeurs propres et vecteurs propres 3\u00d73\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/valeurs-propres-vecteurs-propres-3x3\/\" data-favorite-excerpt=\"Saisissez les neuf coefficients d\u2019une matrice 3\u00d73 pour trouver ses valeurs propres et ses vecteurs propres, ainsi que son d\u00e9terminant, sa trace et son polyn\u00f4me caract\u00e9ristique. Comprend un exemple d\u00e9taill\u00e9 que vous pouvez reproduire avec les valeurs par d\u00e9faut.\" aria-label=\"Ajouter aux favoris\" data-favorite-icon=\"icon icon-binary\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/valeurs-propres-vecteurs-propres-3x3\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-237\" data-post=\"237\"><fieldset class=\"fieldset-input is-3\"><legend class=\"sr-only\">Champs de saisie<\/legend><div class=\"field has-term\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">a\u2081\u2081<\/label><div class=\"term\">a11<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"a\" id=\"field-1\" step=\"any\" value=\"2\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">a\u2081\u2082<\/label><div class=\"term\">a12<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"a\" id=\"field-2\" step=\"any\" value=\"1\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">a\u2081\u2083<\/label><div class=\"term\">a13<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"a\" id=\"field-3\" step=\"any\" value=\"3\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-4\"><label for=\"field-4\">a\u2082\u2081<\/label><div class=\"term\">a21<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"a\" id=\"field-4\" step=\"any\" value=\"1\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-5\"><label for=\"field-5\">a\u2082\u2082<\/label><div class=\"term\">a22<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"a\" id=\"field-5\" step=\"any\" value=\"4\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-6\"><label for=\"field-6\">a\u2082\u2083<\/label><div class=\"term\">a23<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"a\" id=\"field-6\" step=\"any\" value=\"2\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-7\"><label for=\"field-7\">a\u2083\u2081<\/label><div class=\"term\">a31<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"a\" id=\"field-7\" step=\"any\" value=\"1\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-8\"><label for=\"field-8\">a\u2083\u2082<\/label><div class=\"term\">a32<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"a\" id=\"field-8\" step=\"any\" value=\"1\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-9\"><label for=\"field-9\">a\u2083\u2083<\/label><div class=\"term\">a33<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"a\" id=\"field-9\" step=\"any\" value=\"3\"\/><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Recalculer\" id=\"calculate-button\" data-post=\"237\">Calculer<\/button><button type=\"reset\">R\u00e9initialiser<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Calculer automatiquement<\/label><small>Si activ\u00e9, le r\u00e9sultat se met \u00e0 jour automatiquement d\u00e8s que vous modifiez une valeur.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Vos r\u00e9sultats<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>D\u00e9terminant |A|<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>Trace de la matrice<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>Polyn\u00f4me caract\u00e9ristique |A - cI|<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-4\"><span class=\"field-title\"><span>Valeur propre \u03bb\u2081<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-4\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-5\"><span class=\"field-title\"><span>Valeur propre \u03bb\u2082<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-5\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-6\"><span class=\"field-title\"><span>Valeur propre \u03bb\u2083<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-6\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-7\"><span class=\"field-title\"><span>Vecteur propre associ\u00e9 \u00e0 \u03bb\u2081<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-7\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-8\"><span class=\"field-title\"><span>Vecteur propre associ\u00e9 \u00e0 \u03bb\u2082<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-8\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-9\"><span class=\"field-title\"><span>Vecteur propre associ\u00e9 \u00e0 \u03bb\u2083<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-9\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Copier le lien vers ce calcul<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Laisser un commentaire<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"237\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Que pensez-vous de ce r\u00e9sultat\u00a0?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">J\u2019aime <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Utile <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Confus <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">D\u00e9\u00e7u <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Inexact <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Formule des valeurs propres et des vecteurs propres<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Formule<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ \\det(A - \\lambda I) = 0 \\\\ (A - \\lambda I)\\,\\vec{v} = \\vec{0} \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>O\u00f9&nbsp;:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(A\\) \u2014 la matrice 3\u00d73 saisie<\/li>\n<li>\\(\\lambda\\) \u2014 une valeur propre (un scalaire)<\/li>\n<li>\\(I\\) \u2014 la matrice identit\u00e9 3\u00d73<\/li>\n<li>\\(\\vec{v}\\) \u2014 le vecteur propre associ\u00e9 \u00e0 \\(\\lambda\\), avec \\(\\vec{v} \\neq \\vec{0}\\)<\/li>\n<\/ul>\n<p>La premi\u00e8re \u00e9quation est l\u2019<em>\u00e9quation caract\u00e9ristique<\/em>. Pour une matrice 3\u00d73, elle se d\u00e9veloppe en l\u2019\u00e9quation cubique<\/p>\n<p>\\[ \\lambda^3 - \\operatorname{tr}(A)\\,\\lambda^2 + s\\,\\lambda - \\det(A) = 0 \\]<\/p>\n<p>o\u00f9 \\(\\operatorname{tr}(A) = a_{11}+a_{22}+a_{33}\\), \\(\\det(A)\\) est le d\u00e9terminant et \\(s\\) est la somme des trois mineurs principaux d\u2019ordre 2. La r\u00e9solution de cette \u00e9quation cubique donne les valeurs propres ; chaque vecteur propre est ensuite obtenu en r\u00e9solvant le syst\u00e8me homog\u00e8ne \\((A - \\lambda I)\\vec{v} = \\vec{0}\\).<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Valeurs propres et vecteurs propres 3\u00d73 \u2013 Exemple de calcul<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Exemple&nbsp;:<\/strong> trouvons les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice correspondant aux valeurs par d\u00e9faut du calculateur : \\(a_{11}=2\\), \\(a_{12}=1\\), \\(a_{13}=3\\), \\(a_{21}=1\\), \\(a_{22}=4\\), \\(a_{23}=2\\), \\(a_{31}=1\\), \\(a_{32}=1\\), \\(a_{33}=3\\).<\/p>\n<p>\\[ A = \\begin{bmatrix} 2 &amp; 1 &amp; 3 \\\\ 1 &amp; 4 &amp; 2 \\\\ 1 &amp; 1 &amp; 3 \\end{bmatrix} \\]<\/p>\n<p>La trace est \\(2+4+3=9\\), le d\u00e9terminant est \\(10\\) et la somme des mineurs principaux d\u2019ordre 2 est \\(s = 20\\). Le polyn\u00f4me caract\u00e9ristique est donc&nbsp;:<\/p>\n<p>\\[ \\lambda^3 - 9\\lambda^2 + 20\\lambda - 10 = 0 \\]<\/p>\n<p>La r\u00e9solution de cette \u00e9quation cubique donne les trois valeurs propres :<\/p>\n<p>\\[ \\lambda_1 \\approx 0.7076, \\quad \\lambda_2 \\approx 2.3974, \\quad \\lambda_3 \\approx 5.8950 \\]<\/p>\n<p>Pour chaque valeur propre, r\u00e9duisez \\(A - \\lambda I\\) par lignes et r\u00e9solvez \\((A - \\lambda I)\\vec{v} = \\vec{0}\\). En multipliant chaque vecteur par un scalaire de sorte que sa troisi\u00e8me composante soit \u00e9gale \u00e0 1&nbsp;:<\/p>\n<p><strong>R\u00e9sultat&nbsp;:<\/strong> \\(\\lambda_1 \\approx 0.7076\\) avec \\(\\vec{v}_1 \\approx (-2.42,\\ 0.13,\\ 1)\\) ; \\(\\lambda_2 \\approx 2.3974\\) avec \\(\\vec{v}_2 \\approx (1.72,\\ -2.32,\\ 1)\\) ; \\(\\lambda_3 \\approx 5.8950\\) avec \\(\\vec{v}_3 \\approx (1.20,\\ 1.69,\\ 1)\\). Vous pouvez v\u00e9rifier chaque paire en contr\u00f4lant que \\(A\\vec{v} \\approx \\lambda\\vec{v}\\).<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Comment utiliser le calculateur<\/h2>\n<ol>\n<li>Saisissez les neuf coefficients de la matrice dans les champs <strong>a\u2081\u2081<\/strong>, <strong>a\u2081\u2082<\/strong>, <strong>a\u2081\u2083<\/strong> (premi\u00e8re ligne), <strong>a\u2082\u2081<\/strong>, <strong>a\u2082\u2082<\/strong>, <strong>a\u2082\u2083<\/strong> (deuxi\u00e8me ligne) et <strong>a\u2083\u2081<\/strong>, <strong>a\u2083\u2082<\/strong>, <strong>a\u2083\u2083<\/strong> (troisi\u00e8me ligne).<\/li>\n<li>Les r\u00e9sultats se mettent \u00e0 jour automatiquement&nbsp;: le d\u00e9terminant <strong>|A|<\/strong>, la <strong>trace de la matrice<\/strong> et le <strong>polyn\u00f4me caract\u00e9ristique |A \u2212 cI|<\/strong>.<\/li>\n<li>Lisez les trois valeurs propres <strong>\u03bb\u2081<\/strong>, <strong>\u03bb\u2082<\/strong>, <strong>\u03bb\u2083<\/strong>&nbsp;: ce sont les racines du polyn\u00f4me caract\u00e9ristique.<\/li>\n<li>Lisez le <strong>vecteur propre<\/strong> affich\u00e9 pour chaque valeur propre. Chaque vecteur est multipli\u00e9 par un scalaire de sorte que sa derni\u00e8re composante soit \u00e9gale \u00e0 1&nbsp;; tout multiple non nul de ce vecteur est une r\u00e9ponse tout aussi valable.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Que sont les valeurs propres et les vecteurs propres ?<\/h2>\n<p>Une valeur propre \\(\\lambda\\) et son vecteur propre \\(\\vec{v}\\) v\u00e9rifient la relation qui les d\u00e9finit : \\(A\\vec{v} = \\lambda\\vec{v}\\). G\u00e9om\u00e9triquement, la matrice \\(A\\) repr\u00e9sente une transformation lin\u00e9aire, et un vecteur propre indique une direction que cette transformation ne fait <em>pas<\/em> tourner : elle ne fait que l\u2019\u00e9tirer ou la comprimer d\u2019un facteur \\(\\lambda\\). Si \\(\\lambda &gt; 1\\), le vecteur s\u2019allonge ; si \\(0 &lt; \\lambda &lt; 1\\), il se raccourcit ; et si \\(\\lambda &lt; 0\\), il change de sens tout en \u00e9tant redimensionn\u00e9.<\/p>\n<p>Les valeurs propres et les vecteurs propres comptent parmi les outils les plus utiles de l\u2019alg\u00e8bre lin\u00e9aire. Ils permettent de diagonaliser les matrices, ce qui transforme des multiplications matricielles r\u00e9p\u00e9t\u00e9es en simples calculs de puissances (consultez les calculateurs <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/multiplication-matrices\/\">Multiplication de matrices<\/a> et <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/matrice-au-carre\/\">Carr\u00e9 d\u2019une matrice<\/a> pour les op\u00e9rations de base). Dans les applications, ils d\u00e9terminent la stabilit\u00e9 des syst\u00e8mes dynamiques, les modes propres de vibration des structures, les composantes principales en analyse de donn\u00e9es et les \u00e9tats d\u2019\u00e9nergie en m\u00e9canique quantique.<\/p>\n<p>Les valeurs propres sont li\u00e9es \u00e0 deux grandeurs matricielles famili\u00e8res&nbsp;: leur <em>somme<\/em> est toujours \u00e9gale \u00e0 la trace de la matrice, et leur <em>produit<\/em> est toujours \u00e9gal au d\u00e9terminant. Cela permet de v\u00e9rifier rapidement un r\u00e9sultat obtenu \u00e0 la main ou avec un calculateur. Si vous travaillez avec des matrices 2\u00d72, le calculateur <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/valeurs-propres-vecteurs-propres-2x2\/\">Valeurs propres et vecteurs propres 2\u00d72<\/a> traite directement ce cas.<\/p>\n<h2>V\u00e9rifications rapides de vos r\u00e9sultats<\/h2>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>V\u00e9rification<\/th>\n<th>Formule<\/th>\n<th>Valeur dans l\u2019exemple<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>Somme des valeurs propres<\/td>\n<td>\\(\\lambda_1+\\lambda_2+\\lambda_3 = \\operatorname{tr}(A)\\)<\/td>\n<td>9<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Somme des produits deux \u00e0 deux<\/td>\n<td>\\(\\lambda_1\\lambda_2+\\lambda_1\\lambda_3+\\lambda_2\\lambda_3 = s\\)<\/td>\n<td>20<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Produit des valeurs propres<\/td>\n<td>\\(\\lambda_1\\lambda_2\\lambda_3 = \\det(A)\\)<\/td>\n<td>10<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<h2>Hypoth\u00e8ses, limites et conseils<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Valeurs propres r\u00e9elles uniquement.<\/strong> Le calculateur r\u00e9sout l\u2019\u00e9quation caract\u00e9ristique cubique en cherchant ses racines r\u00e9elles. Si votre matrice poss\u00e8de une valeur propre r\u00e9elle et une paire de valeurs propres complexes conjugu\u00e9es (ce qui est courant pour les matrices associ\u00e9es \u00e0 une rotation), seule la racine r\u00e9elle est affich\u00e9e&nbsp;; les valeurs propres complexes ne sont pas calcul\u00e9es.<\/li>\n<li><strong>Les vecteurs propres sont d\u00e9finis \u00e0 un facteur pr\u00e8s.<\/strong> Tout multiple non nul d\u2019un vecteur propre affich\u00e9 est \u00e9galement correct : \\((2, 1, 1)\\) et \\((4, 2, 2)\\) repr\u00e9sentent donc le m\u00eame vecteur propre. Les r\u00e9sultats sont \u00e9galement arrondis ; de l\u00e9g\u00e8res diff\u00e9rences d\u2019arrondi entre outils sont donc normales.<\/li>\n<li><strong>V\u00e9rifiez que \\(A\\vec{v} \\approx \\lambda\\vec{v}\\).<\/strong> Une v\u00e9rification rapide sur une composante permet de confirmer que vous avez associ\u00e9 le bon vecteur \u00e0 la bonne valeur propre.<\/li>\n<li><strong>Une valeur propre nulle signifie que la matrice est singuli\u00e8re.<\/strong> Si une valeur propre est \u00e9gale \u00e0 0, le d\u00e9terminant est nul et la matrice n\u2019a pas d\u2019inverse ; le calculateur <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/calculateur-inverse-matrice-3x3\/\">Inverse d\u2019une matrice 3\u00d73<\/a> le confirmera, et le calculateur <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/rang-matrice-3x3\/\">Rang d\u2019une matrice 3\u00d73<\/a> montrera la diminution du rang qui en r\u00e9sulte.<\/li>\n<li><strong>Les valeurs propres r\u00e9p\u00e9t\u00e9es demandent de l\u2019attention.<\/strong> Lorsqu\u2019une valeur propre appara\u00eet deux fois, son sous-espace propre peut \u00eatre de dimension deux (ce qui n\u00e9cessite deux vecteurs ind\u00e9pendants) ou de dimension un, et les solveurs simples peuvent ne pas fournir une base compl\u00e8te. Dans ce cas, r\u00e9duisez \\(A - \\lambda I\\) par lignes \u00e0 la main pour trouver toutes les directions libres.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Saisissez les neuf coefficients d\u2019une matrice 3\u00d73 pour trouver ses valeurs propres et ses vecteurs propres, ainsi que son d\u00e9terminant, sa trace et son polyn\u00f4me caract\u00e9ristique. Comprend un exemple d\u00e9taill\u00e9 que vous pouvez reproduire avec les valeurs par d\u00e9faut.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[2],"tags":[24],"class_list":["post-237","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mathematiques","tag-matrices"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/237","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=237"}],"version-history":[{"count":7,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/237\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5303,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/237\/revisions\/5303"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=237"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=237"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=237"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}