{"id":262,"date":"2026-10-03T06:02:59","date_gmt":"2026-10-03T03:02:59","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/?p=262"},"modified":"2026-10-03T06:02:59","modified_gmt":"2026-10-03T03:02:59","slug":"calculateur-theoreme-euler","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/calculateur-theoreme-euler\/","title":{"rendered":"Calculateur du th\u00e9or\u00e8me d\u2019Euler"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Calculer des puissances modulaires avec le th\u00e9or\u00e8me d\u2019Euler<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"262\" data-favorite-title=\"Th\u00e9or\u00e8me d\u2019Euler\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/calculateur-theoreme-euler\/\" data-favorite-excerpt=\"Appliquez le th\u00e9or\u00e8me d\u2019Euler en ligne\u00a0: saisissez une base a et un module n premiers entre eux. Le calculateur d\u00e9termine l\u2019indicatrice d\u2019Euler \u03c6(n) et a^\u03c6(n) mod n, qui vaut toujours 1 lorsque les conditions du th\u00e9or\u00e8me sont remplies.\" aria-label=\"Ajouter aux favoris\" data-favorite-icon=\"icon icon-arithmetic\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/calculateur-theoreme-euler\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-262\" data-post=\"262\"><fieldset class=\"fieldset-input\"><legend class=\"sr-only\">Champs de saisie<\/legend><div class=\"field\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Nombre de base (a)<\/label><input type=\"text\" name=\"nombre_de_base_a\" id=\"field-1\" aria-describedby=\"calc-info-1\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" min=\"1\" value=\"3\"\/><small id=\"calc-info-1\">Saisissez l\u2019entier de base \u00ab a \u00bb<\/small><\/div><div class=\"field\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">Module (n)<\/label><input type=\"text\" name=\"module_n\" id=\"field-2\" aria-describedby=\"calc-info-2\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" min=\"1\" value=\"7\"\/><small id=\"calc-info-2\">Saisissez le module \u00ab n \u00bb (doit \u00eatre &gt; 1)<\/small><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Recalculer\" id=\"calculate-button\" data-post=\"262\">Calculer<\/button><button type=\"reset\">R\u00e9initialiser<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Calculer automatiquement<\/label><small>Si activ\u00e9, le r\u00e9sultat se met \u00e0 jour automatiquement d\u00e8s que vous modifiez une valeur.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Vos r\u00e9sultats<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Indicatrice d\u2019Euler \u03c6(n)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>a^\u03c6(n) mod n<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Copier le lien vers ce calcul<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Laisser un commentaire<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"262\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Que pensez-vous de ce r\u00e9sultat\u00a0?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">J\u2019aime <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Utile <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Confus <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">D\u00e9\u00e7u <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Inexact <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Formule du th\u00e9or\u00e8me d\u2019Euler<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Formule<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ \\text{Si } \\gcd(a, n) = 1, \\quad \\text{alors } a^{\\phi(n)} \\equiv 1 \\pmod{n} \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>O\u00f9&nbsp;:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(a\\) \u2014 la base, un entier premier avec \\(n\\)<\/li>\n<li>\\(n\\) \u2014 le module, un entier positif<\/li>\n<li>\\(\\phi(n)\\) \u2014 l\u2019indicatrice d\u2019Euler&nbsp;: le nombre d\u2019entiers de \\(1\\) \u00e0 \\(n\\) qui sont premiers avec \\(n\\)<\/li>\n<li>\\(\\equiv 1 \\pmod{n}\\) \u2014 les deux membres donnent le m\u00eame reste, \\(1\\), lorsqu\u2019on les divise par \\(n\\)<\/li>\n<\/ul>\n<p>Le th\u00e9or\u00e8me affirme que, lorsque \\(a\\) et \\(n\\) n\u2019ont aucun facteur commun autre que 1, \u00e9lever \\(a\\) \u00e0 la puissance \\(\\phi(n)\\) donne toujours \\(1\\) modulo \\(n\\). Il permet ainsi de ramener de tr\u00e8s grands exposants \u00e0 des exposants beaucoup plus petits en arithm\u00e9tique modulaire.<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Th\u00e9or\u00e8me d\u2019Euler : exemple de calcul<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Exemple&nbsp;:<\/strong> v\u00e9rifions le th\u00e9or\u00e8me d\u2019Euler pour \\(a = 3\\) et \\(n = 7\\) (les valeurs par d\u00e9faut du calculateur).<\/p>\n<p><strong>\u00c9tape 1&nbsp;:<\/strong> v\u00e9rifier que \\(a\\) et \\(n\\) sont premiers entre eux&nbsp;:<\/p>\n<p>\\[ \\gcd(3, 7) = 1 \\quad \\checkmark \\]<\/p>\n<p><strong>\u00c9tape 2&nbsp;:<\/strong> calculer l\u2019indicatrice de \\(n\\). Les nombres premiers avec \\(7\\) parmi \\(1, 2, \\dots, 6\\) sont au nombre de six, donc&nbsp;:<\/p>\n<p>\\[ \\phi(7) = 6 \\]<\/p>\n<p><strong>\u00c9tape 3&nbsp;:<\/strong> \u00e9lever la base \u00e0 cette puissance, puis calculer le reste :<\/p>\n<p>\\[ 3^{6} = 729 \\equiv 1 \\pmod{7} \\]<\/p>\n<p><strong>R\u00e9sultat&nbsp;:<\/strong> \\(a^{\\phi(n)} \\bmod n = 1\\), exactement comme le pr\u00e9dit le th\u00e9or\u00e8me d\u2019Euler.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Comment utiliser le calculateur<\/h2>\n<ol>\n<li>Saisissez la base enti\u00e8re <strong>\\(a\\)<\/strong> dans le champ <em>Base (a)<\/em>.<\/li>\n<li>Saisissez le module <strong>\\(n\\)<\/strong> dans le champ <em>Module (n)<\/em>. Choisissez une valeur sup\u00e9rieure \u00e0 1 pour obtenir un r\u00e9sultat significatif.<\/li>\n<li>Consultez les deux r\u00e9sultats&nbsp;: <em>Indicatrice d\u2019Euler \u03c6(n)<\/em> indique combien de nombres inf\u00e9rieurs \u00e0 \\(n\\) sont premiers avec lui, et <em>a^\u03c6(n) mod n<\/em> donne le r\u00e9sultat de l\u2019exponentiation modulaire.<\/li>\n<li>Si le message \u00ab&nbsp;a et n doivent \u00eatre premiers entre eux&nbsp;\u00bb appara\u00eet, choisissez une autre paire : le th\u00e9or\u00e8me d\u2019Euler ne s\u2019applique pas lorsque \\(\\gcd(a, n) &gt; 1\\).<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Qu\u2019est-ce que le th\u00e9or\u00e8me d\u2019Euler ?<\/h2>\n<p>Le th\u00e9or\u00e8me d\u2019Euler, \u00e9nonc\u00e9 par Leonhard Euler en 1763, est l\u2019un des r\u00e9sultats fondamentaux de la th\u00e9orie des nombres. Il affirme que, si un entier \\(a\\) n\u2019a aucun diviseur commun avec \\(n\\) autre que 1, alors \\(a^{\\phi(n)}\\) donne un reste de \\(1\\) lorsqu\u2019on le divise par \\(n\\). La quantit\u00e9 essentielle ici est l\u2019indicatrice d\u2019Euler \\(\\phi(n)\\), qui compte les entiers entre \\(1\\) et \\(n\\) premiers avec \\(n\\). Si \\(p\\) est premier, tous les nombres de \\(1\\) \u00e0 \\(p-1\\) remplissent cette condition, donc \\(\\phi(p) = p - 1\\).<\/p>\n<p>Ce th\u00e9or\u00e8me g\u00e9n\u00e9ralise le <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/petit-theoreme-de-fermat\/\">petit th\u00e9or\u00e8me de Fermat<\/a> : en prenant pour module un nombre premier \\(n = p\\), on obtient \\(a^{p-1} \\equiv 1 \\pmod{p}\\), ce qui correspond exactement \u00e0 l\u2019\u00e9nonc\u00e9 de Fermat. La version d\u2019Euler, en revanche, s\u2019applique \u00e0 tout module, premier ou compos\u00e9, \u00e0 condition que la base et le module soient premiers entre eux.<\/p>\n<p>En pratique, ce th\u00e9or\u00e8me est un puissant raccourci de calcul. Pour calculer une expression comme \\(a^{k} \\bmod n\\) avec un exposant \\(k\\) tr\u00e8s grand, on peut remplacer \\(k\\) par \\(k \\bmod \\phi(n)\\), car les puissances se r\u00e9p\u00e8tent avec une p\u00e9riode de \\(\\phi(n)\\). Cette r\u00e9duction permet \u00e0 l\u2019exponentiation modulaire de rester rapide m\u00eame avec de tr\u00e8s grands nombres, une propri\u00e9t\u00e9 dont d\u00e9pend la cryptographie moderne.<\/p>\n<p>Le th\u00e9or\u00e8me d\u2019Euler est en effet l\u2019un des fondements du <strong>chiffrement RSA<\/strong>. L\u2019exposant de d\u00e9chiffrement (priv\u00e9) est choisi de sorte que \\(e \\cdot d \\equiv 1 \\pmod{\\phi(n)}\\), ce qui garantit qu\u2019\u00e9lever un texte chiffr\u00e9 \u00e0 la puissance \\(d\\) permet de retrouver le message original. Sans le th\u00e9or\u00e8me d\u2019Euler, on ne pourrait pas d\u00e9montrer que RSA fonctionne correctement.<\/p>\n<h2>Conditions, limites et conseils<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Les nombres doivent \u00eatre premiers entre eux.<\/strong> Le th\u00e9or\u00e8me n\u2019est valable que si \\(\\gcd(a, n) = 1\\). Le calculateur v\u00e9rifie cette condition et affiche un message d\u2019erreur si elle n\u2019est pas remplie. Par exemple, \\(a = 4\\) et \\(n = 6\\) ne conviennent pas, car tous deux sont divisibles par 2.<\/li>\n<li><strong>Le module doit \u00eatre au moins \u00e9gal \u00e0 2.<\/strong> Avec \\(n = 1\\), tout entier est congru \u00e0 \\(0\\), ce qui rend l\u2019\u00e9nonc\u00e9 sans int\u00e9r\u00eat. Saisissez \\(n &gt; 1\\).<\/li>\n<li><strong>Le r\u00e9sultat est toujours 1.<\/strong> Lorsque les conditions sont remplies, \\(a^{\\phi(n)} \\bmod n = 1\\) par d\u00e9finition : le calculateur sert \u00e0 v\u00e9rifier le th\u00e9or\u00e8me et \u00e0 le comprendre. Pour simplifier une expression avec un autre exposant, r\u00e9duisez d\u2019abord celui-ci modulo \\(\\phi(n)\\), puis utilisez l\u2019exponentiation modulaire rapide.<\/li>\n<li><strong>Calcul de \\(\\phi(n)\\).<\/strong> Ce calculateur compte directement les entiers premiers avec \\(n\\), ce qui convient aux petits modules. Pour un grand \\(n\\) dont la d\u00e9composition en facteurs premiers est connue, utilisez plut\u00f4t \\(\\phi(n) = n \\prod_{p \\mid n} \\left(1 - \\tfrac{1}{p}\\right)\\).<\/li>\n<li><strong>Outils associ\u00e9s.<\/strong> Pour trouver le nombre qui permet d\u2019\u00ab&nbsp;annuler&nbsp;\u00bb une multiplication par \\(a\\) modulo \\(n\\), utilisez le <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/inverse-multiplicatif-modulo\/\">calculateur d\u2019inverse multiplicatif modulo<\/a>&nbsp;; pour r\u00e9soudre des syst\u00e8mes de congruences, consultez le <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/calculateur-theoreme-restes-chinois\/\">calculateur du th\u00e9or\u00e8me des restes chinois<\/a>.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Appliquez le th\u00e9or\u00e8me d\u2019Euler en ligne\u00a0: saisissez une base a et un module n premiers entre eux. 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