{"id":273,"date":"2026-10-03T06:02:52","date_gmt":"2026-10-03T03:02:52","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/?p=273"},"modified":"2026-10-03T06:02:52","modified_gmt":"2026-10-03T03:02:52","slug":"petit-theoreme-de-fermat","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/petit-theoreme-de-fermat\/","title":{"rendered":"Calculateur du petit th\u00e9or\u00e8me de Fermat"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">V\u00e9rifier le petit th\u00e9or\u00e8me de Fermat ou calculer des puissances modulo<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"273\" data-favorite-title=\"Petit th\u00e9or\u00e8me de Fermat\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/petit-theoreme-de-fermat\/\" data-favorite-excerpt=\"V\u00e9rifiez le petit th\u00e9or\u00e8me de Fermat en ligne\u00a0: saisissez une base a et un nombre premier p. Il calcule a^(p-1) mod p et v\u00e9rifie si le r\u00e9sultat est \u00e9gal \u00e0 1. Utile en th\u00e9orie des nombres, pour les tests de primalit\u00e9 et en cryptographie.\" aria-label=\"Ajouter aux favoris\" data-favorite-icon=\"icon icon-arithmetic\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/petit-theoreme-de-fermat\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-273\" data-post=\"273\"><fieldset class=\"fieldset-input\"><legend class=\"sr-only\">Champs de saisie<\/legend><div class=\"field has-term\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Base (a)<\/label><div class=\"term\">a<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"base_a\" id=\"field-1\" aria-describedby=\"calc-info-1\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" min=\"1\" value=\"5\"\/><small id=\"calc-info-1\">Saisissez un entier a tel que 1 \u2264 a &lt; p<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">Modulo premier (p)<\/label><div class=\"term\">p<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"modulo_premier_p\" id=\"field-2\" aria-describedby=\"calc-info-2\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" min=\"2\" value=\"7\"\/><small id=\"calc-info-2\">Saisissez un nombre premier p<\/small><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Recalculer\" id=\"calculate-button\" data-post=\"273\">Calculer<\/button><button type=\"reset\">R\u00e9initialiser<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Calculer automatiquement<\/label><small>Si activ\u00e9, le r\u00e9sultat se met \u00e0 jour automatiquement d\u00e8s que vous modifiez une valeur.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Vos r\u00e9sultats<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>R\u00e9sultat de a^(p\u22121) mod p<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>Le th\u00e9or\u00e8me est-il v\u00e9rifi\u00e9 ?<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Copier le lien vers ce calcul<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Laisser un commentaire<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"273\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Que pensez-vous de ce r\u00e9sultat\u00a0?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">J\u2019aime <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Utile <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Confus <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">D\u00e9\u00e7u <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Inexact <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Formule du petit th\u00e9or\u00e8me de Fermat<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Formule<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[\\text{Si } p \\text{ est premier et } a \\not\\equiv 0 \\pmod{p}, \\text{ alors } a^{p-1} \\equiv 1 \\pmod{p}\\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>O\u00f9&nbsp;:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(p\\) \u2014 un nombre premier (le module)<\/li>\n<li>\\(a\\) \u2014 un entier tel que \\(1 \\le a &lt; p\\), c\u2019est-\u00e0-dire non divisible par \\(p\\)<\/li>\n<li>\\(a^{p-1} \\bmod p\\) \u2014 le reste de la division de \\(a^{p-1}\\) par \\(p\\)<\/li>\n<\/ul>\n<p>Le th\u00e9or\u00e8me affirme que, pour tout nombre premier \\(p\\) et tout entier \\(a\\) non divisible par \\(p\\), \u00e9lever \\(a\\) \u00e0 la puissance \\(p-1\\), puis le r\u00e9duire modulo \\(p\\), donne toujours un reste de 1. Une forme \u00e9quivalente, \\(a^p \\equiv a \\pmod{p}\\), est valable pour <em>tous<\/em> les entiers \\(a\\), y compris les multiples de \\(p\\).<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Petit th\u00e9or\u00e8me de Fermat \u2013 Exemple de calcul<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Exemple&nbsp;:<\/strong> prenons les valeurs par d\u00e9faut \\(a = 5\\) et \\(p = 7\\). Puisque 7 est premier et que 5 n\u2019est pas divisible par 7, le th\u00e9or\u00e8me doit s\u2019appliquer.<\/p>\n<p>\\[a^{p-1} \\bmod p = 5^{7-1} \\bmod 7 = 5^6 \\bmod 7\\]<\/p>\n<p>\\[5^6 = 15625, \\qquad 15625 = 7 \\times 2232 + 1 \\;\\Rightarrow\\; 15625 \\bmod 7 = 1\\]<\/p>\n<p><strong>R\u00e9sultat :<\/strong> \\(5^6 \\equiv 1 \\pmod{7}\\), donc le th\u00e9or\u00e8me est v\u00e9rifi\u00e9. \u2705<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Comment utiliser le calculateur<\/h2>\n<ol>\n<li>Saisissez la base \\(a\\) dans le champ <strong>Base (a)<\/strong>. Elle doit respecter \\(1 \\le a &lt; p\\).<\/li>\n<li>Saisissez un nombre premier dans le champ <strong>Module premier (p)<\/strong> (par exemple 2, 3, 5, 7, 11\u2026).<\/li>\n<li>Lisez le <strong>R\u00e9sultat de a^(p-1) mod p<\/strong> : c\u2019est le reste de la division de \\(a^{p-1}\\) par \\(p\\).<\/li>\n<li>V\u00e9rifiez <strong>Th\u00e9or\u00e8me v\u00e9rifi\u00e9&nbsp;?<\/strong>&nbsp;: \u00ab&nbsp;Oui&nbsp;\u00bb s\u2019affiche lorsque le reste est \u00e9gal \u00e0 1, ce qui est le cas pour toute saisie valide.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Si vous saisissez un module non premier, une base hors de l\u2019intervalle autoris\u00e9 ou \\(a \\ge p\\), le calculateur affiche un message d\u2019erreur au lieu d\u2019un r\u00e9sultat.<\/p>\n<h2>Que signifie le petit th\u00e9or\u00e8me de Fermat ?<\/h2>\n<p>\u00c9nonc\u00e9 par Pierre de Fermat en 1640, le petit th\u00e9or\u00e8me de Fermat est l\u2019un des fondements de la th\u00e9orie \u00e9l\u00e9mentaire des nombres. Il montre que les nombres premiers imposent une structure remarquablement r\u00e9guli\u00e8re aux puissances : quelle que soit la base \\(a\\) choisie (tant que \\(p\\) ne divise pas \\(a\\)), la puissance \\(a^{p-1}\\) est toujours exactement congrue \u00e0 1 modulo \\(p\\). Autrement dit, \\(a^{p-1}\\) est toujours \u00e9gal \u00e0 un multiple de \\(p\\) plus un.<\/p>\n<p>Pourquoi est-ce important&nbsp;? D\u2019abord, c\u2019est un raccourci de calcul puissant. Au lieu de calculer directement une puissance \u00e9norme comme \\(3^{100}\\), vous pouvez r\u00e9duire l\u2019exposant modulo \\(p-1\\) et travailler avec des nombres beaucoup plus petits \u2014 une technique constamment utilis\u00e9e en arithm\u00e9tique modulaire. Ensuite, le th\u00e9or\u00e8me sert aux <strong>tests de primalit\u00e9<\/strong> : si \\(a^{p-1} \\bmod p \\ne 1\\) pour une certaine valeur de \\(a\\), alors \\(p\\) n\u2019est certainement <em>pas<\/em> premier. C\u2019est le principe du test de Fermat et, sous une forme perfectionn\u00e9e, du test de Miller-Rabin utilis\u00e9 pour trouver de grands nombres premiers.<\/p>\n<p>Enfin, le th\u00e9or\u00e8me est essentiel en <strong>cryptographie<\/strong>. Le chiffrement et le d\u00e9chiffrement RSA reposent avant tout sur des exponentiations modulaires, et c\u2019est le petit th\u00e9or\u00e8me de Fermat (avec sa g\u00e9n\u00e9ralisation, le <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/calculateur-theoreme-euler\/\">th\u00e9or\u00e8me d\u2019Euler<\/a>) qui garantit que le d\u00e9chiffrement d\u2019un message permet de retrouver l\u2019original. Il conduit aussi directement \u00e0 la formule permettant de trouver les <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/inverse-multiplicatif-modulo\/\">inverses multiplicatifs modulo un nombre premier<\/a> : puisque \\(a^{p-1} \\equiv 1 \\pmod{p}\\), l\u2019inverse de \\(a\\) est simplement \\(a^{p-2} \\bmod p\\).<\/p>\n<h2>Comment interpr\u00e9ter le r\u00e9sultat<\/h2>\n<p>Pour toute saisie valide \u2014 un nombre premier \\(p\\) et une base \\(a\\) telle que \\(1 \\le a &lt; p\\) \u2014 le calculateur renverra toujours 1 et \u00ab&nbsp;Oui&nbsp;\u00bb. C\u2019est pr\u00e9cis\u00e9ment ce qu\u2019affirme le th\u00e9or\u00e8me : il concerne <em>toutes<\/em> ces paires, et non seulement certaines. Pour voir pourquoi il ne s\u2019applique pas aux nombres non premiers, essayez \\(a = 2\\), \\(p = 9\\) : \\(2^8 = 256\\) et \\(256 \\bmod 9 = 4 \\ne 1\\). Le th\u00e9or\u00e8me fournit un test \u00e0 sens unique&nbsp;: un nombre non premier \u00e9choue toujours pour au moins une base, tandis qu\u2019un test r\u00e9ussi ne prouve pas \u00e0 lui seul la primalit\u00e9 (voir la remarque sur les nombres de Carmichael ci-dessous).<\/p>\n<h2>Conditions, limites et conseils<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Le module doit \u00eatre premier.<\/strong> Le th\u00e9or\u00e8me ne s\u2019applique pas, en g\u00e9n\u00e9ral, aux modules compos\u00e9s. Pour un nombre compos\u00e9 \\(n\\), utilisez plut\u00f4t le th\u00e9or\u00e8me d\u2019Euler avec \\(a^{\\varphi(n)} \\equiv 1 \\pmod{n}\\), o\u00f9 \\(\\varphi\\) est l\u2019indicatrice d\u2019Euler et \\(\\gcd(a, n) = 1\\).<\/li>\n<li><strong>La base ne doit pas \u00eatre divisible par \\(p\\).<\/strong> Si \\(a \\equiv 0 \\pmod{p}\\), alors \\(a^{p-1} \\equiv 0\\), et non 1. La forme \u00e9quivalente \\(a^p \\equiv a \\pmod{p}\\) reste valable dans ce cas.<\/li>\n<li><strong>Les tests de Fermat peuvent \u00eatre tromp\u00e9s.<\/strong> Il existe des nombres compos\u00e9s appel\u00e9s <em>nombres de Carmichael<\/em> (le plus petit est 561) qui v\u00e9rifient \\(a^{n-1} \\equiv 1 \\pmod{n}\\) pour tout \\(a\\) premier avec \\(n\\). Un seul test r\u00e9ussi ne constitue donc pas une preuve de primalit\u00e9.<\/li>\n<li><strong>R\u00e9duisez les exposants.<\/strong> Pour les calculs \u00e0 la main, combinez le th\u00e9or\u00e8me avec les \u00e9l\u00e9vations au carr\u00e9 successives : r\u00e9duisez les exposants modulo \\(p-1\\) et les produits interm\u00e9diaires modulo \\(p\\) pour garder des nombres petits.<\/li>\n<li><strong>Outils associ\u00e9s.<\/strong> Pour les syst\u00e8mes de congruences, consultez le <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/calculateur-theoreme-restes-chinois\/\">calculateur du th\u00e9or\u00e8me des restes chinois<\/a>&nbsp;; pour la division en arithm\u00e9tique modulaire, le <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/inverse-multiplicatif-modulo\/\">calculateur d\u2019inverse multiplicatif modulo<\/a> est un compl\u00e9ment naturel.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>V\u00e9rifiez le petit th\u00e9or\u00e8me de Fermat en ligne\u00a0: saisissez une base a et un nombre premier p. 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