{"id":434,"date":"2026-10-03T06:00:58","date_gmt":"2026-10-03T03:00:58","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/?p=434"},"modified":"2026-10-03T06:00:58","modified_gmt":"2026-10-03T03:00:58","slug":"transformee-fourier-discrete-inverse","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/ingenierie\/transformee-fourier-discrete-inverse\/","title":{"rendered":"Calculateur de transform\u00e9e de Fourier discr\u00e8te inverse"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Reconstructeur de signal temporel par TFDI<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"434\" data-favorite-title=\"Transform\u00e9e de Fourier discr\u00e8te inverse\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/ingenierie\/transformee-fourier-discrete-inverse\/\" data-favorite-excerpt=\"Convertissez les composantes fr\u00e9quentielles X[k] en une s\u00e9quence temporelle x[n] avec ce calculateur gratuit de transform\u00e9e de Fourier discr\u00e8te inverse (TFDI). Saisissez des valeurs r\u00e9elles ou complexes s\u00e9par\u00e9es par des virgules et obtenez le r\u00e9sultat instantan\u00e9ment.\" aria-label=\"Ajouter aux favoris\" data-favorite-icon=\"icon icon-electrical\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/ingenierie\/transformee-fourier-discrete-inverse\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-434\" data-post=\"434\"><fieldset class=\"fieldset-input\"><legend class=\"sr-only\">Champs de saisie<\/legend><div class=\"field is-single has-term\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Valeurs dans le domaine fr\u00e9quentiel<\/label><div class=\"term\">X[k]<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"valeurs_dans_le_domaine_frquentiel\" id=\"field-1\" aria-describedby=\"calc-info-1\" step=\"any\" value=\"1, 0, 0, 0\"\/><small id=\"calc-info-1\">Valeurs r\u00e9elles ou complexes s\u00e9par\u00e9es par des virgules (p. ex. 1, 0, 0, 0 ou 1+2j, 0, -1, 0)<\/small><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Recalculer\" id=\"calculate-button\" data-post=\"434\">Calculer<\/button><button type=\"reset\">R\u00e9initialiser<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Calculer automatiquement<\/label><small>Si activ\u00e9, le r\u00e9sultat se met \u00e0 jour automatiquement d\u00e8s que vous modifiez une valeur.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Vos r\u00e9sultats<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>S\u00e9quence dans le domaine temporel x[n]<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Copier le lien vers ce calcul<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Laisser un commentaire<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"434\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Que pensez-vous de ce r\u00e9sultat\u00a0?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">J\u2019aime <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Utile <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Confus <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">D\u00e9\u00e7u <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Inexact <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Formule de la transform\u00e9e de Fourier discr\u00e8te inverse<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Formule<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ x[n] = \\frac{1}{N} \\sum_{k=0}^{N-1} X[k] \\, e^{j 2\\pi kn \/ N}, \\quad n = 0, 1, \\ldots, N-1 \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>O\u00f9&nbsp;:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(x[n]\\) \u2014 \u00e9chantillon temporel d\u2019indice \\(n\\)<\/li>\n<li>\\(X[k]\\) \u2014 composante fr\u00e9quentielle (spectrale) d\u2019indice \\(k\\)<\/li>\n<li>\\(N\\) \u2014 nombre total d\u2019\u00e9chantillons, \u00e9gal au nombre de valeurs saisies<\/li>\n<li>\\(j\\) \u2014 unit\u00e9 imaginaire, \\(j^2 = -1\\)<\/li>\n<li>\\(n\\) \u2014 indice de l\u2019\u00e9chantillon dans le domaine temporel (\\(0 \\le n \\le N-1\\))<\/li>\n<li>\\(k\\) \u2014 indice du coefficient fr\u00e9quentiel (\\(0 \\le k \\le N-1\\))<\/li>\n<\/ul>\n<p>Il s\u2019agit de la d\u00e9finition classique de la TFDI&nbsp;: chaque \u00e9chantillon temporel est la somme de toutes les composantes spectrales pond\u00e9r\u00e9es par des exponentielles complexes, puis multipli\u00e9e par \\(1\/N\\). Elle inverse exactement la transform\u00e9e de Fourier discr\u00e8te (TFD).<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>TFD inverse \u2013 Exemple de calcul<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Exemple&nbsp;:<\/strong> la s\u00e9quence fr\u00e9quentielle \\(X[k] = 1, 0, 0, 0\\) (les valeurs par d\u00e9faut du calculateur), donc \\(N = 4\\).<\/p>\n<p>\\[ x[n] = \\frac{1}{4} \\sum_{k=0}^{3} X[k]\\, e^{j 2\\pi kn\/4} = \\frac{1}{4} \\left( X[0] \\cdot e^{j 0} \\right) = \\frac{1}{4} \\cdot 1 = 0.25 \\]<\/p>\n<p>Comme seul \\(X[0]\\) est non nul, chaque \u00e9chantillon re\u00e7oit la m\u00eame contribution.<\/p>\n<p><strong>R\u00e9sultat :<\/strong> \\(x[n] = 0.25, 0.25, 0.25, 0.25\\) \u2014 une s\u00e9quence constante (composante continue). Un seul coefficient non nul \\(X[0]\\) permet toujours de reconstruire un signal constant.<\/p>\n<p><strong>Deuxi\u00e8me exemple (entr\u00e9e complexe)&nbsp;:<\/strong> \\(X[k] = 1+2j,\\; 0,\\; -1,\\; 0\\).<\/p>\n<p>\\[ x[0] = \\tfrac{1}{4}\\left[(1+2j) + 0 + (-1) + 0\\right] = 0.5j \\]<\/p>\n<p><strong>R\u00e9sultat :<\/strong> \\(x[n] = 0.5j,\\; 0.5+0.5j,\\; 0.5j,\\; 0.5+0.5j\\). Notez la r\u00e9p\u00e9tition du motif : les coefficients 0 et 2 sont les composantes d'indice pair (\u00e0 sym\u00e9trie conjugu\u00e9e) du spectre.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Comment utiliser le calculateur<\/h2>\n<ol>\n<li>Saisissez vos valeurs fr\u00e9quentielles dans le champ <strong>Valeurs du domaine fr\u00e9quentiel<\/strong> sous forme de liste s\u00e9par\u00e9e par des virgules, par exemple <code>1, 0, 0, 0<\/code> ou <code>1+2j, 0, -1, 0<\/code>.<\/li>\n<li>Utilisez des nombres r\u00e9els ordinaires (<code>3<\/code>, <code>-2.5<\/code>) ou des nombres complexes sous la forme <code>a+bj<\/code> (<code>1+2j<\/code>, <code>-1-1.5j<\/code>). Une valeur purement imaginaire peut s\u2019\u00e9crire <code>2j<\/code>. Ne mettez pas d\u2019espaces \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur d\u2019un nombre complexe.<\/li>\n<li>Cliquez sur <strong>Calculer<\/strong>.<\/li>\n<li>Consultez la s\u00e9quence reconstruite dans le champ de r\u00e9sultat <strong>S\u00e9quence temporelle x[n]<\/strong>. La sortie contient exactement autant d\u2019\u00e9chantillons que de valeurs saisies, dans l\u2019ordre \\(x[0], x[1], \\ldots, x[N-1]\\).<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Qu\u2019est-ce que la transform\u00e9e de Fourier discr\u00e8te inverse&nbsp;?<\/h2>\n<p>La transform\u00e9e de Fourier discr\u00e8te inverse (TFDI) est l\u2019op\u00e9ration qui ram\u00e8ne la repr\u00e9sentation fr\u00e9quentielle d\u2019un signal dans le domaine temporel. Son op\u00e9ration r\u00e9ciproque, la TFD, d\u00e9compose une s\u00e9quence de \\(N\\) \u00e9chantillons temporels en \\(N\\) coefficients spectraux complexes ; la TFDI inverse ce processus en reconstruisant les \u00e9chantillons d\u2019origine \u00e0 partir du spectre. Appliquer la TFD puis la TFDI (avec le m\u00eame facteur \\(1\/N\\) utilis\u00e9 ici) restitue exactement le signal d\u2019origine, aux erreurs d\u2019arrondi pr\u00e8s.<\/p>\n<p>La TFDI est importante parce qu\u2019une grande partie du traitement moderne du signal s\u2019effectue dans le domaine fr\u00e9quentiel. On con\u00e7oit des filtres en fa\u00e7onnant une r\u00e9ponse en amplitude ; les syst\u00e8mes de communication modulent des donn\u00e9es sur des coefficients fr\u00e9quentiels pr\u00e9cis et les codecs audio (comme MP3 ou AAC) stockent les signaux sous forme de coefficients spectraux. \u00c0 l\u2019issue de toutes ces op\u00e9rations, la TFDI transforme le spectre trait\u00e9 en \u00e9chantillons que l\u2019on peut entendre ou transmettre. En pratique, elle est calcul\u00e9e au moyen de l\u2019algorithme FFT, qui produit des r\u00e9sultats identiques bien plus rapidement ; ce calculateur effectue la somme directe, id\u00e9ale pour apprendre et v\u00e9rifier les r\u00e9sultats.<\/p>\n<p>L\u2019interpr\u00e9tation du r\u00e9sultat est simple une fois quelques propri\u00e9t\u00e9s connues. Le coefficient \\(X[0]\\) repr\u00e9sente la composante continue (la moyenne)&nbsp;: une valeur \u00e9lev\u00e9e de \\(X[0]\\) produit donc un signal avec un d\u00e9calage constant. Les coefficients d\u2019indice sup\u00e9rieur correspondent \u00e0 des oscillations plus rapides : le coefficient \\(k\\) effectue \\(k\\) cycles complets sur les \\(N\\) \u00e9chantillons. Si le spectre d\u2019entr\u00e9e pr\u00e9sente une sym\u00e9trie conjugu\u00e9e \u2014 \\(X[N-k] = X[k]^*\\) \u2014 le signal reconstruit est purement r\u00e9el, ce qui explique pourquoi les signaux r\u00e9els produisent des spectres sym\u00e9triques. Une entr\u00e9e asym\u00e9trique, comme dans le deuxi\u00e8me exemple ci-dessus, produit des \u00e9chantillons complexes.<\/p>\n<h2>Hypoth\u00e8ses, limites et conseils<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Convention de normalisation&nbsp;:<\/strong> le calculateur applique le facteur \\(1\/N\\) uniquement \u00e0 la transform\u00e9e inverse (convention \u00ab&nbsp;1\/N sur la transform\u00e9e inverse&nbsp;\u00bb). Si votre d\u00e9finition de la TFD utilise \\(1\/\\sqrt{N}\\) dans les deux sens, multipliez la sortie par \\(\\sqrt{N}\\) pour comparer.<\/li>\n<li><strong>Nombre de points&nbsp;:<\/strong> \\(N\\) correspond au nombre de valeurs s\u00e9par\u00e9es par des virgules que vous saisissez. Ajoutez des z\u00e9ros pour atteindre la longueur souhait\u00e9e&nbsp;: compl\u00e9ter par des z\u00e9ros dans un domaine produit une interpolation dans l\u2019autre.<\/li>\n<li><strong>Format des nombres complexes&nbsp;:<\/strong> utilisez <code>j<\/code> (et non <code>i<\/code>) pour l\u2019unit\u00e9 imaginaire, sans espaces : <code>2-3j<\/code> est valide, <code>2 - 3i<\/code> ne l\u2019est pas.<\/li>\n<li><strong>Pr\u00e9cision&nbsp;:<\/strong> les r\u00e9sultats sont affich\u00e9s avec 4 d\u00e9cimales. De tr\u00e8s petites parties imaginaires r\u00e9siduelles (par exemple <code>0.0000j<\/code>) dans des r\u00e9sultats th\u00e9oriquement r\u00e9els sont des effets d\u2019arrondi normaux.<\/li>\n<li><strong>Taille pratique&nbsp;:<\/strong> le calcul direct en \\(O(N^2)\\) convient aux s\u00e9quences allant jusqu\u2019\u00e0 quelques centaines de points ; pour les grands spectres, utilisez une impl\u00e9mentation FFT.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Un bon moyen de v\u00e9rifier le r\u00e9sultat consiste \u00e0 saisir un spectre constant comme <code>1, 1, 1, 1<\/code> : la TFDI doit renvoyer une impulsion unique \\(1, 0, 0, 0\\), puisqu\u2019un spectre constant est la TFD d\u2019une impulsion.<\/p>\n<p>WPCalc propose \u00e9galement d\u2019autres outils d\u2019ing\u00e9nierie, du <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/ingenierie\/resistance-parallele\/\">calculateur de r\u00e9sistance en parall\u00e8le<\/a> et du <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/ingenierie\/inductance-en-serie\/\">calculateur d\u2019inductance en s\u00e9rie<\/a> au <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/ingenierie\/puissance-active-reactive\/\">calculateur de puissance active et r\u00e9active<\/a> pour l\u2019analyse des circuits en courant alternatif.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Convertissez les composantes fr\u00e9quentielles X[k] en une s\u00e9quence temporelle x[n] avec ce calculateur gratuit de transform\u00e9e de Fourier discr\u00e8te inverse (TFDI). 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