{"id":455,"date":"2026-10-03T06:00:26","date_gmt":"2026-10-03T03:00:26","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/?p=455"},"modified":"2026-10-03T06:00:26","modified_gmt":"2026-10-03T03:00:26","slug":"calculateur-triangle-harmonique-leibniz","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/calculateur-triangle-harmonique-leibniz\/","title":{"rendered":"Calculateur du triangle harmonique de Leibniz"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">G\u00e9n\u00e9rer les valeurs du triangle de Leibniz<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"455\" data-favorite-title=\"Triangle harmonique de Leibniz\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/calculateur-triangle-harmonique-leibniz\/\" data-favorite-excerpt=\"G\u00e9n\u00e9rez le triangle harmonique de Leibniz jusqu\u2019\u00e0 150 lignes, avec chaque terme affich\u00e9 sous forme de fraction irr\u00e9ductible exacte. Saisissez simplement le nombre de lignes pour obtenir les valeurs, chacune calcul\u00e9e selon (1\/k) \u00d7 C(n,k).\" aria-label=\"Ajouter aux favoris\" data-favorite-icon=\"icon icon-arithmetic\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/calculateur-triangle-harmonique-leibniz\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-455\" data-post=\"455\"><fieldset class=\"fieldset-input is-1\"><legend class=\"sr-only\">Champs de saisie<\/legend><div class=\"field is-single\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Nombre de lignes<\/label><input type=\"text\" name=\"nombre_de_lignes\" id=\"field-1\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"5\" min=\"1\" max=\"150\" value=\"5\"\/><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Recalculer\" id=\"calculate-button\" data-post=\"455\">Calculer<\/button><button type=\"reset\">R\u00e9initialiser<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Calculer automatiquement<\/label><small>Si activ\u00e9, le r\u00e9sultat se met \u00e0 jour automatiquement d\u00e8s que vous modifiez une valeur.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Vos r\u00e9sultats<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-1\"><span class=\"field-value nowrap\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Copier le lien vers ce calcul<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Laisser un commentaire<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"455\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Que pensez-vous de ce r\u00e9sultat\u00a0?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">J\u2019aime <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Utile <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Confus <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">D\u00e9\u00e7u <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Inexact <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Formule du triangle harmonique de Leibniz<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Formule<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ a_{n,k} = \\frac{1}{k}\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k \\cdot k!\\,(n-k)!} \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>O\u00f9&nbsp;:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(n\\) \u2014 num\u00e9ro de la ligne, \u00e0 partir de 1<\/li>\n<li>\\(k\\) \u2014 position du terme dans la ligne, \\(1 \\le k \\le n\\)<\/li>\n<li>\\(\\binom{n}{k}\\) \u2014 coefficient binomial, qui se lit \u00ab \\(k\\) parmi \\(n\\) \u00bb<\/li>\n<\/ul>\n<p>Chaque terme du triangle est le coefficient binomial correspondant du triangle de Pascal divis\u00e9 par sa position \\(k\\) dans la ligne, puis r\u00e9duit sous forme de fraction irr\u00e9ductible.<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Triangle harmonique de Leibniz : exemple de calcul<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Exemple&nbsp;:<\/strong> g\u00e9n\u00e9rons le triangle \u00e0 5 lignes (la valeur par d\u00e9faut du calculateur). Pour trouver le terme de la ligne \\(n = 5\\) \u00e0 la position \\(k = 3\\) :<\/p>\n<p>\\[ a_{5,3} = \\frac{1}{3}\\binom{5}{3} = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{5!}{3!\\,2!} = \\frac{1}{3} \\cdot 10 = \\frac{10}{3} \\]<\/p>\n<p>Le triangle complet \u00e0 5 lignes :<\/p>\n<p>\\[ \\begin{array}{ccccc} \\frac{1}{1} &amp; &amp; &amp; &amp; \\\\ \\frac{2}{1} &amp; \\frac{1}{2} &amp; &amp; &amp; \\\\ \\frac{3}{1} &amp; \\frac{3}{2} &amp; \\frac{1}{3} &amp; &amp; \\\\ \\frac{4}{1} &amp; \\frac{3}{1} &amp; \\frac{4}{3} &amp; \\frac{1}{4} &amp; \\\\ \\frac{5}{1} &amp; \\frac{5}{1} &amp; \\frac{10}{3} &amp; \\frac{5}{4} &amp; \\frac{1}{5} \\end{array} \\]<\/p>\n<p><strong>R\u00e9sultat&nbsp;:<\/strong> le terme \\(a_{5,3}\\) vaut \\(\\frac{10}{3}\\), et le calculateur affiche les cinq lignes sous forme de fractions irr\u00e9ductibles.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Comment utiliser le calculateur<\/h2>\n<ol>\n<li>Saisissez le nombre de lignes souhait\u00e9 dans le champ <strong>Nombre de lignes<\/strong>. Tout nombre entier de 1 \u00e0 150 est accept\u00e9&nbsp;; la valeur par d\u00e9faut est 5.<\/li>\n<li>Le calculateur construit le triangle ligne par ligne, en commen\u00e7ant par la ligne 1, et affiche chaque terme sous forme de fraction irr\u00e9ductible (par exemple, 10\/3).<\/li>\n<li>Lisez le r\u00e9sultat&nbsp;: la ligne \\(n\\) contient exactement \\(n\\) termes. Le premier terme de chaque ligne vaut \\(n\\), et le dernier vaut \\(1\/n\\), ce qui permet de se rep\u00e9rer rapidement dans le r\u00e9sultat.<\/li>\n<li>Pour comparer un terme pr\u00e9cis \u00e0 une valeur donn\u00e9e dans un manuel, comptez les lignes \u00e0 partir du haut et les positions \u00e0 partir de la gauche&nbsp;: les deux commencent \u00e0 1.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Qu\u2019est-ce que le triangle harmonique de Leibniz&nbsp;?<\/h2>\n<p>Le triangle harmonique de Leibniz est un tableau triangulaire de nombres rationnels nomm\u00e9 d\u2019apr\u00e8s Gottfried Wilhelm Leibniz, qui a \u00e9tudi\u00e9 des tableaux de ce type dans les ann\u00e9es 1670 en lien avec la s\u00e9rie harmonique. Comme le <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/sommes-triangle-floyd\/\">triangle de Floyd<\/a> ou le triangle de Pascal, sa ligne \\(n\\) contient exactement \\(n\\) termes, mais ici chaque terme est une fraction construite \u00e0 partir d\u2019un coefficient binomial.<\/p>\n<p>Le lien avec le triangle de Pascal est direct&nbsp;: prenez le coefficient binomial \\(\\binom{n}{k}\\) et divisez-le par la position \\(k\\) du terme dans sa ligne. On obtient ainsi une version du triangle de Pascal dans laquelle chaque colonne est pond\u00e9r\u00e9e par \\(1\/k\\). La premi\u00e8re colonne contient donc les entiers naturels \\(1, 2, 3, \\dots\\), tandis que la derni\u00e8re contient \\(\\frac{1}{1}, \\frac{1}{2}, \\frac{1}{3}, \\dots\\) : ce sont pr\u00e9cis\u00e9ment les termes de la s\u00e9rie harmonique, d\u2019o\u00f9 le mot \u00ab&nbsp;harmonique&nbsp;\u00bb dans le nom.<\/p>\n<p>Les tableaux de ce type apparaissent dans plusieurs domaines des math\u00e9matiques : d\u00e9compositions en \u00e9l\u00e9ments simples, s\u00e9ries t\u00e9lescopiques, fonctions g\u00e9n\u00e9ratrices et repr\u00e9sentations int\u00e9grales. Selon la convention classique utilisant les inverses (voir les remarques ci-dessous), chaque terme peut m\u00eame s\u2019\u00e9crire sous la forme d\u2019une int\u00e9grale b\u00eata \\(\\int_0^1 x^{k-1}(1-x)^{n-k}\\,dx\\), ce qui relie le triangle \u00e0 la fonction gamma et aux lois de probabilit\u00e9 sur l\u2019intervalle unit\u00e9. Si vous travaillez plus g\u00e9n\u00e9ralement sur des grandeurs harmoniques \u2014 pour calculer la moyenne de vitesses, de taux ou de r\u00e9sistances \u2014 le <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/calculateur-moyenne-harmonique\/\">calculateur de moyenne harmonique<\/a> traite cette statistique connexe.<\/p>\n<p>Lorsque vous consultez le r\u00e9sultat du calculateur, notez que chaque fraction est affich\u00e9e sous forme irr\u00e9ductible&nbsp;: son num\u00e9rateur et son d\u00e9nominateur sont divis\u00e9s par leur plus grand commun diviseur. Par exemple, \\(a_{5,2} = \\frac{1}{2}\\binom{5}{2} = \\frac{10}{2}\\) s\u2019affiche sous la forme 5\/1, et non 10\/2.<\/p>\n<h2>Hypoth\u00e8ses, limites et conseils pratiques<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Num\u00e9rotation&nbsp;:<\/strong> les lignes et les positions sont compt\u00e9es \u00e0 partir de 1&nbsp;; le terme \\(a_{n,k}\\) n\u2019existe donc que pour \\(1 \\le k \\le n\\). Il n\u2019y a pas de colonne d\u2019indice z\u00e9ro, contrairement \u00e0 certaines pr\u00e9sentations dans les manuels o\u00f9 les positions commencent \u00e0 \\(k = 0\\).<\/li>\n<li><strong>Il existe deux conventions.<\/strong> De nombreuses r\u00e9f\u00e9rences d\u00e9finissent le triangle harmonique de Leibniz par la formule utilisant l\u2019inverse \\(a_{n,k} = \\frac{1}{k\\binom{n}{k}}\\), qui donne des lignes telles que \\(\\frac{1}{3}, \\frac{1}{6}, \\frac{1}{3}\\). Ce calculateur utilise la convention \\(a_{n,k} = \\frac{1}{k}\\binom{n}{k}\\) indiqu\u00e9e dans la formule ci-dessus. V\u00e9rifiez donc la d\u00e9finition employ\u00e9e dans votre manuel ou votre exercice avant de comparer les valeurs.<\/li>\n<li><strong>Lignes compl\u00e8tes uniquement.<\/strong> L\u2019outil g\u00e9n\u00e8re des lignes compl\u00e8tes, et non des termes isol\u00e9s. Pour obtenir une valeur, g\u00e9n\u00e9rez suffisamment de lignes, puis rep\u00e9rez la position \\(k\\) dans la ligne \\(n\\).<\/li>\n<li><strong>Pr\u00e9cision pour un grand nombre de lignes.<\/strong> Les coefficients binomiaux augmentent extr\u00eamement vite&nbsp;: au-del\u00e0 d\u2019environ 55 \u00e0 60 lignes, les termes centraux d\u00e9passent ce que l\u2019arithm\u00e9tique en virgule flottante peut repr\u00e9senter exactement. Les tr\u00e8s grandes fractions peuvent donc perdre en pr\u00e9cision. Pour des calculs exacts, limitez-vous \u00e0 environ 50 lignes.<\/li>\n<li><strong>Largeur d\u2019affichage.<\/strong> Avec 150 lignes, le r\u00e9sultat devient tr\u00e8s large. Si vous n\u2019avez besoin que des premiers termes de chaque ligne, un nombre de lignes plus petit sera plus facile \u00e0 lire.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Pour d\u00e9couvrir d\u2019autres tableaux de nombres classiques et g\u00e9n\u00e9rateurs de motifs, essayez le <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/generateur-carre-magique\/\">g\u00e9n\u00e9rateur de carr\u00e9 magique<\/a> ou l\u2019outil consacr\u00e9 au triangle de Floyd mentionn\u00e9 plus haut.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>G\u00e9n\u00e9rez le triangle harmonique de Leibniz jusqu\u2019\u00e0 150 lignes, avec chaque terme affich\u00e9 sous forme de fraction irr\u00e9ductible exacte. 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