{"id":546,"date":"2026-10-03T05:59:23","date_gmt":"2026-10-03T02:59:23","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/?p=546"},"modified":"2026-10-03T05:59:23","modified_gmt":"2026-10-03T02:59:23","slug":"inverse-multiplicatif-modulo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/inverse-multiplicatif-modulo\/","title":{"rendered":"Calculateur d'inverse multiplicatif modulo"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Trouver l&#039;inverse multiplicatif modulaire d&#039;un nombre<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"546\" data-favorite-title=\"Inverse multiplicatif modulo\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/inverse-multiplicatif-modulo\/\" data-favorite-excerpt=\"Trouvez l&#039;inverse multiplicatif modulaire d&#039;un nombre\u00a0: entrez une valeur a et un module n, et le calculateur r\u00e9sout a\u00b7x \u2261 1 (mod n) gr\u00e2ce \u00e0 l&#039;algorithme d&#039;Euclide \u00e9tendu, avec une v\u00e9rification du r\u00e9sultat.\" aria-label=\"Ajouter aux favoris\" data-favorite-icon=\"icon icon-arithmetic\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/inverse-multiplicatif-modulo\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-546\" data-post=\"546\"><fieldset class=\"fieldset-input\"><legend class=\"sr-only\">Champs de saisie<\/legend><div class=\"field has-term\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Nombre (a)<\/label><div class=\"term\">a<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"nombre_a\" id=\"field-1\" aria-describedby=\"calc-info-1\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" min=\"1\" value=\"3\"\/><small id=\"calc-info-1\">Entrez le nombre dont il faut trouver l&#039;inverse<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">Modulo (n)<\/label><div class=\"term\">n<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"modulo_n\" id=\"field-2\" aria-describedby=\"calc-info-2\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" min=\"2\" value=\"11\"\/><small id=\"calc-info-2\">Entrez le module (doit \u00eatre &gt; 1)<\/small><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Recalculer\" id=\"calculate-button\" data-post=\"546\">Calculer<\/button><button type=\"reset\">R\u00e9initialiser<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Calculer automatiquement<\/label><small>Si activ\u00e9, le r\u00e9sultat se met \u00e0 jour automatiquement d\u00e8s que vous modifiez une valeur.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Vos r\u00e9sultats<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Inverse multiplicatif<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>V\u00e9rification<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Copier le lien vers ce calcul<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Laisser un commentaire<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"546\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Que pensez-vous de ce r\u00e9sultat\u00a0?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">J\u2019aime <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Utile <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Confus <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">D\u00e9\u00e7u <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Inexact <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Formule de l'inverse modulaire<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Formule<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ a \\cdot x \\equiv 1 \\pmod{n}, \\qquad a \\cdot x + n \\cdot y = \\gcd(a, n) = 1 \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>O\u00f9&nbsp;:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(a\\) \u2014 le nombre dont on cherche l'inverse<\/li>\n<li>\\(x\\) \u2014 l'inverse multiplicatif modulaire de \\(a\\)<\/li>\n<li>\\(n\\) \u2014 le module (il doit \u00eatre sup\u00e9rieur \u00e0 1)<\/li>\n<li>\\(y\\) \u2014 un entier auxiliaire issu de l'algorithme d'Euclide \u00e9tendu<\/li>\n<li>\\(\\gcd(a, n)\\) \u2014 le plus grand commun diviseur de \\(a\\) et \\(n\\)<\/li>\n<\/ul>\n<p>L'inverse \\(x\\) existe si et seulement si \\(\\gcd(a, n) = 1\\), c'est-\u00e0-dire lorsque \\(a\\) et \\(n\\) sont premiers entre eux. L'algorithme d'Euclide \u00e9tendu trouve les coefficients \\(x\\) et \\(y\\) qui satisfont la seconde \u00e9quation, et \\(x\\) pris modulo \\(n\\) est la r\u00e9ponse.<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Inverse modulaire \u2013 Exemple de calcul<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Exemple&nbsp;:<\/strong> trouver l'inverse multiplicatif de 3 modulo 11 (les valeurs par d\u00e9faut du calculateur).<\/p>\n<p>Appliquer l'algorithme d'Euclide \u00e9tendu \u00e0 \\(a = 3\\) et \\(n = 11\\) :<\/p>\n<p>\\[ 11 = 3 \\cdot 3 + 2 \\]<br \/>\n\\[ 3 = 1 \\cdot 2 + 1 \\]<\/p>\n<p>Remonter les substitutions&nbsp;:<\/p>\n<p>\\[ 1 = 3 - 2 = 3 - (11 - 3 \\cdot 3) = 4 \\cdot 3 - 1 \\cdot 11 \\]<\/p>\n<p>Donc \\(3 \\cdot 4 + 11 \\cdot (-1) = 1\\), ce qui signifie \\(3 \\cdot 4 \\equiv 1 \\pmod{11}\\).<\/p>\n<p><strong>R\u00e9sultat&nbsp;:<\/strong> l'inverse multiplicatif de 3 modulo 11 est <strong>4<\/strong>, et la v\u00e9rification confirme \\(3 \\times 4 \\equiv 1 \\pmod{11}\\).<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Comment utiliser le calculateur<\/h2>\n<ol>\n<li>Entrez le nombre \\(a\\) dans le champ <strong>Nombre (a)<\/strong> \u2014 la valeur dont vous voulez l'inverse.<\/li>\n<li>Entrez le module dans le champ <strong>Modulo (n)<\/strong>. Il doit \u00eatre sup\u00e9rieur \u00e0 1.<\/li>\n<li>Lisez le r\u00e9sultat <strong>Inverse multiplicatif<\/strong> \u2014 la valeur \\(x\\) telle que \\(a \\cdot x \\equiv 1 \\pmod{n}\\).<\/li>\n<li>Consultez la ligne <strong>V\u00e9rification<\/strong>, qui montre le contr\u00f4le \\(a \\times x \\equiv 1 \\bmod n\\).<\/li>\n<\/ol>\n<p>Si \\(a\\) et \\(n\\) ont un facteur commun sup\u00e9rieur \u00e0 1, le calculateur signale que l'inverse n'existe pas, car aucun multiple de \\(a\\) ne peut \u00eatre congru \u00e0 1 modulo \\(n\\).<\/p>\n<h2>Qu'est-ce qu'un inverse multiplicatif modulaire ?<\/h2>\n<p>En arithm\u00e9tique ordinaire, l'inverse d'un nombre est une fraction : l'inverse de 3 est \\(1\/3\\), car \\(3 \\cdot 1\/3 = 1\\). L'arithm\u00e9tique modulaire n'a pas de fractions, donc l'inverse multiplicatif y est d\u00e9fini diff\u00e9remment. L'inverse de \\(a\\) modulo \\(n\\) est un entier \\(x\\) tel que<\/p>\n<p>\\[ a \\cdot x \\equiv 1 \\pmod{n} \\]<\/p>\n<p>Autrement dit, quand on multiplie \\(a\\) par \\(x\\) et qu'on divise par \\(n\\), le reste est exactement 1. Par exemple, \\(3 \\times 4 = 12\\), et 12 laisse un reste de 1 lorsqu'on le divise par 11, donc 4 est l'inverse de 3 modulo 11. Tout nombre premier avec le module poss\u00e8de exactement un inverse dans l'intervalle de \\(0\\) \u00e0 \\(n-1\\).<\/p>\n<p>Ce concept est important car la \u00ab&nbsp;division&nbsp;\u00bb modulaire est en r\u00e9alit\u00e9 une multiplication par l'inverse. Pour r\u00e9soudre \\(a \\cdot x \\equiv b \\pmod{n}\\), on multiplie les deux membres par l'inverse de \\(a\\) \u2014 le m\u00eame geste que de diviser les deux membres d'une \u00e9quation ordinaire, mais d'une mani\u00e8re qui reste dans les entiers.<\/p>\n<p>Les inverses modulaires sont \u00e9galement centraux en cryptographie. La g\u00e9n\u00e9ration de cl\u00e9s RSA calcule l'exposant priv\u00e9 comme l'inverse de l'exposant public modulo \\(\\varphi(n)\\) ; Diffie\u2013Hellman et les sch\u00e9mas \u00e0 courbes elliptiques reposent sur les inverses dans les corps finis. Au-del\u00e0 de la cryptographie, les inverses apparaissent dans les codes correcteurs d'erreurs, le hachage et les probl\u00e8mes de th\u00e9orie des nombres r\u00e9solus avec des outils comme le <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/calculateur-theoreme-restes-chinois\/\">th\u00e9or\u00e8me des restes chinois<\/a>.<\/p>\n<h2>Quand l'inverse existe (et quand il n'existe pas)<\/h2>\n<p>Un inverse de \\(a\\) modulo \\(n\\) existe <strong>si et seulement si<\/strong> \\(\\gcd(a, n) = 1\\). Deux nombres dont le PGCD vaut 1 sont dits <em>premiers entre eux<\/em> ou <em>\u00e9trangers<\/em>. La raison est visible dans l'identit\u00e9 d'Euclide \u00e9tendu&nbsp;: elle ne peut produire \\(a \\cdot x + n \\cdot y = 1\\) que si 1 est une combinaison de \\(a\\) et \\(n\\), ce qui se produit exactement lorsque leur PGCD vaut 1.<\/p>\n<p>Par exemple, 6 n'a pas d'inverse modulo 9, car \\(\\gcd(6, 9) = 3\\) : tout multiple de 6 est divisible par 3, donc il ne peut jamais laisser un reste de 1. Mais 6 a bien un inverse modulo 11, puisque \\(\\gcd(6, 11) = 1\\).<\/p>\n<p>Un raccourci utile&nbsp;: lorsque le module \\(n\\) est <strong>premier<\/strong>, tout \\(a\\) de 1 \u00e0 \\(n-1\\) poss\u00e8de un inverse, car aucun nombre plus petit qu'un nombre premier ne partage de facteur avec lui. Dans ce cas particulier, l'inverse peut aussi se calculer avec le <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/petit-theoreme-de-fermat\/\">petit th\u00e9or\u00e8me de Fermat<\/a> comme \\(a^{n-2} \\bmod n\\) ; pour les modules compos\u00e9s, le <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/calculateur-theoreme-euler\/\">th\u00e9or\u00e8me d'Euler<\/a> donne le r\u00e9sultat analogue \\(a^{\\varphi(n)-1}\\)<\/p>\n<h2>Limites et remarques pratiques<\/h2>\n<ul>\n<li>Le calculateur exige \\(n &gt; 1\\) ; modulo 1, tout nombre est congru \u00e0 0 et un inverse n'a pas de sens.<\/li>\n<li>Entrez un \\(a\\) positif. Si vous avez besoin de l'inverse d'un nombre n\u00e9gatif, r\u00e9duisez-le d'abord : l'inverse de \\(-a\\) est \u00e9gal \u00e0 l'inverse de \\(n - a\\).<\/li>\n<li>Le r\u00e9sultat est toujours renvoy\u00e9 dans l'intervalle \\(0 \\le x &lt; n\\), qui est le repr\u00e9sentant standard de la solution.<\/li>\n<li>Pour les tr\u00e8s grands nombres (des centaines de chiffres, comme dans la cryptographie r\u00e9elle), le calcul dans le navigateur atteint ses limites&nbsp;; ce calculateur est destin\u00e9 \u00e0 un usage courant et p\u00e9dagogique.<\/li>\n<li>L'algorithme d'Euclide \u00e9tendu s'ex\u00e9cute en temps logarithmique, donc m\u00eame de grandes entr\u00e9es \u00e0 \u00e9chelle humaine sont trait\u00e9es instantan\u00e9ment \u2014 inutile de tester les valeurs candidates une par une.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Trouvez l'inverse multiplicatif modulaire d'un nombre\u00a0: entrez une valeur a et un module n, et le calculateur r\u00e9sout a\u00b7x \u2261 1 (mod n) gr\u00e2ce \u00e0 l'algorithme d'Euclide \u00e9tendu, avec une v\u00e9rification du r\u00e9sultat.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[2],"tags":[11],"class_list":["post-546","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mathematiques","tag-calculateurs-arithmetique"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/546","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=546"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/546\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4869,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/546\/revisions\/4869"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=546"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=546"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=546"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}