{"id":5682,"date":"2026-10-14T08:42:57","date_gmt":"2026-10-14T05:42:57","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/calculateur-projection-vecteur-3d\/"},"modified":"2026-10-14T08:42:57","modified_gmt":"2026-10-14T05:42:57","slug":"calculateur-projection-vecteur-3d","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/calculateur-projection-vecteur-3d\/","title":{"rendered":"Calculateur de projection de vecteurs 3D"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Projeter un vecteur 3D sur un autre<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"5682\" data-favorite-title=\"Projection de vecteurs 3D\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/calculateur-projection-vecteur-3d\/\" data-favorite-excerpt=\"Saisissez les composantes de deux vecteurs 3D et ce calculateur projette l&#039;un sur l&#039;autre : il affiche la projection scalaire, la projection vectorielle, la composante perpendiculaire, le produit scalaire, les normes et l&#039;angle entre les vecteurs.\" aria-label=\"Ajouter aux favoris\" data-favorite-icon=\"icon icon-geometry\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/calculateur-projection-vecteur-3d\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-5682\" data-post=\"5682\"><fieldset class=\"fieldset-input is-3\"><legend class=\"sr-only\">Champs de saisie<\/legend><div class=\"is-single field\" id=\"input-1\"><span class=\"font-semibold\">Vecteur a \u2014 composantes<\/span><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">Composante x (a\u2093)<\/label><div class=\"term\">a\u2093<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"composante_x_a\" id=\"field-2\" placeholder=\"2\" step=\"any\" value=\"2\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">Composante y (a\u1d67)<\/label><div class=\"term\">a\u1d67<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"composante_y_a\" id=\"field-3\" placeholder=\"3\" step=\"any\" value=\"3\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-4\"><label for=\"field-4\">Composante z (a_z)<\/label><div class=\"term\">a_z<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"composante_z_az\" id=\"field-4\" placeholder=\"1\" step=\"any\" value=\"1\"\/><\/div><div class=\"is-single field\" id=\"input-5\"><span class=\"font-semibold\">Vecteur b \u2014 composantes<\/span><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-6\"><label for=\"field-6\">Composante x (b\u2093)<\/label><div class=\"term\">b\u2093<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"composante_x_b\" id=\"field-6\" placeholder=\"1\" step=\"any\" value=\"1\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-7\"><label for=\"field-7\">Composante y (b\u1d67)<\/label><div class=\"term\">b\u1d67<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"composante_y_b\" id=\"field-7\" placeholder=\"0\" step=\"any\" value=\"0\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-8\"><label for=\"field-8\">Composante z (b_z)<\/label><div class=\"term\">b_z<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"composante_z_bz\" id=\"field-8\" placeholder=\"2\" step=\"any\" value=\"2\"\/><\/div><div class=\"is-single field\" id=\"input-9\"><span class=\"font-semibold\">Direction de la projection<\/span><\/div><div class=\"field is-single\" id=\"input-10\"><label for=\"field-10\">Projeter<\/label><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-10\" name=\"projeter\"><option value=\"ab\" selected>a sur b<\/option><option value=\"ba\">b sur a<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Recalculer\" id=\"calculate-button\" data-post=\"5682\">Calculer<\/button><button type=\"reset\">R\u00e9initialiser<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Calculer automatiquement<\/label><small>Si activ\u00e9, le r\u00e9sultat se met \u00e0 jour automatiquement d\u00e8s que vous modifiez une valeur.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Votre projection<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Projection scalaire<\/span><span class=\"result-term\">comp<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>Projection vectorielle<\/span><span class=\"result-term\">proj<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>Composante perpendiculaire<\/span><span class=\"result-term\">rej<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-4\"><span class=\"field-title\"><span>Produit scalaire<\/span><span class=\"result-term\">a\u00b7b<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-4\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-5\"><span class=\"field-title\"><span>Norme de a<\/span><span class=\"result-term\">|a|<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-5\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-6\"><span class=\"field-title\"><span>Norme de b<\/span><span class=\"result-term\">|b|<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-6\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-7\"><span class=\"field-title\"><span>Angle entre les vecteurs<\/span><span class=\"result-term\">\u03b8<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-7\" data-unit=\"\u00b0\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-8\"><span class=\"field-title\"><span>\u00c9tapes de calcul<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-8\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Copier le lien vers ce calcul<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Laisser un commentaire<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"5682\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Que pensez-vous de ce r\u00e9sultat\u00a0?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">J\u2019aime <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Utile <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Confus <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">D\u00e9\u00e7u <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Inexact <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Formule de la projection d'un vecteur 3D<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Formule<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ \\operatorname{proj}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a} = \\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{\\lvert \\mathbf{b} \\rvert^2}\\, \\mathbf{b} \\]<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>O\u00f9 :<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(\\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)\\) \u2014 le vecteur que l'on projette<\/li>\n<li>\\(\\mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z)\\) \u2014 le vecteur qui fournit la direction<\/li>\n<li>\\(\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\\) \u2014 le produit scalaire<\/li>\n<li>\\(\\lvert \\mathbf{b} \\rvert = \\sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}\\) \u2014 la norme (longueur) de \\(\\mathbf{b}\\)<\/li>\n<\/ul>\n<p>Cette formule exprime la part de \\(\\mathbf{a}\\) qui pointe dans la direction de \\(\\mathbf{b}\\). Le facteur d'\u00e9chelle \\(k = \\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{\\lvert \\mathbf{b} \\rvert^2}\\) met \\(\\mathbf{b}\\) \u00e0 l'\u00e9chelle, de sorte que le r\u00e9sultat est l'ombre que \\(\\mathbf{a}\\) projette sur la droite port\u00e9e par \\(\\mathbf{b}\\).<\/p>\n<p>Deux grandeurs voisines d\u00e9coulent de la m\u00eame projection :<\/p>\n<p>\\[ \\operatorname{comp}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a} = \\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{\\lvert \\mathbf{b} \\rvert} \\qquad \\operatorname{perp}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a} = \\mathbf{a} - \\operatorname{proj}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a} \\]<\/p>\n<p>La projection scalaire (composante) est la longueur alg\u00e9brique de cette ombre, et la composante perpendiculaire (le rejet) est la partie de \\(\\mathbf{a}\\) qui subsiste, toujours orthogonale \u00e0 \\(\\mathbf{b}\\).<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Projection d'un vecteur 3D \u2013 Exemple de calcul<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Exemple :<\/strong> projetons \\(\\mathbf{a} = (2, 3, 1)\\) sur \\(\\mathbf{b} = (1, 0, 2)\\) (ce sont les valeurs par d\u00e9faut du calculateur).<\/p>\n<p>\\[ \\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b} = 2 \\cdot 1 + 3 \\cdot 0 + 1 \\cdot 2 = 4 \\]<\/p>\n<p>\\[ \\lvert \\mathbf{a} \\rvert = \\sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \\sqrt{14} \\approx 3.742, \\qquad \\lvert \\mathbf{b} \\rvert = \\sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \\sqrt{5} \\approx 2.236 \\]<\/p>\n<p>\\[ k = \\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{\\lvert \\mathbf{b} \\rvert^2} = \\frac{4}{5} = 0.8 \\]<\/p>\n<p>\\[ \\operatorname{proj}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a} = 0.8 \\cdot (1, 0, 2) = (0.8,\\ 0,\\ 1.6) \\]<\/p>\n<p>\\[ \\operatorname{perp}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a} = (2, 3, 1) - (0.8, 0, 1.6) = (1.2,\\ 3,\\ -0.6) \\]<\/p>\n<p><strong>R\u00e9sultat :<\/strong> la projection scalaire vaut \\(4 \/ \\sqrt{5} \\approx 1.789\\), la projection vectorielle est \\((0.8, 0, 1.6)\\) et la composante perpendiculaire est \\((1.2, 3, -0.6)\\), de norme \\(\\approx 3.286\\). L'angle entre les vecteurs vaut \\(\\arccos\\!\\left(\\tfrac{4}{\\sqrt{70}}\\right) \\approx 61.4\u00b0\\).<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Comment utiliser le calculateur<\/h2>\n<ol>\n<li>Saisissez la <strong>composante en x (a\u2093)<\/strong>, la <strong>composante en y (a\u1d67)<\/strong> et la <strong>composante en z (a_z)<\/strong> du premier vecteur dans la zone \u00ab Vecteur a \u2014 composantes \u00bb.<\/li>\n<li>Saisissez les trois composantes du second vecteur dans la zone \u00ab Vecteur b \u2014 composantes \u00bb. Mettez 0 pour tout axe absent.<\/li>\n<li>Choisissez l'option <strong>Projet\u00e9<\/strong> : \u00ab a sur b \u00bb mesure la part de \\(\\mathbf{a}\\) qui se trouve le long de \\(\\mathbf{b}\\) ; \u00ab b sur a \u00bb inverse les r\u00f4les.<\/li>\n<li>Consultez les r\u00e9sultats : la projection scalaire, la projection vectorielle, la composante perpendiculaire, sans oublier le produit scalaire, les deux normes, l'angle entre les vecteurs et le d\u00e9tail du calcul \u00e9tape par \u00e9tape.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Qu'est-ce que la projection d'un vecteur 3D ?<\/h2>\n<p>G\u00e9om\u00e9triquement, la projection du vecteur \\(\\mathbf{a}\\) sur le vecteur \\(\\mathbf{b}\\) est l'ombre que \\(\\mathbf{a}\\) projette sur la droite port\u00e9e par \\(\\mathbf{b}\\), comme si une lumi\u00e8re \u00e9clairait perpendiculairement \u00e0 cette droite. Le r\u00e9sultat est un nouveau vecteur qui pointe exactement dans la m\u00eame direction que \\(\\mathbf{b}\\) (ou exactement dans la direction oppos\u00e9e), avec une longueur \u00e9gale \u00e0 la distance parcourue par \\(\\mathbf{a}\\) dans cette direction. On parle aussi de composante vectorielle de \\(\\mathbf{a}\\) selon \\(\\mathbf{b}\\).<\/p>\n<p>Toute projection d\u00e9compose un vecteur en deux parties orthogonales : la projection elle-m\u00eame (parall\u00e8le \u00e0 \\(\\mathbf{b}\\)) et la composante perpendiculaire, souvent appel\u00e9e le <em>rejet<\/em>. Ces deux parties redonnent toujours le vecteur d'origine : \\(\\mathbf{a} = \\operatorname{proj}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a} + \\operatorname{perp}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a}\\), et leur produit scalaire est nul. Cette d\u00e9composition est \u00e0 la base du proc\u00e9d\u00e9 de Gram-Schmidt, de la d\u00e9composition des forces en composantes en physique et de l'ajustement par moindres carr\u00e9s en statistiques.<\/p>\n<p>La <strong>projection scalaire<\/strong> r\u00e9pond \u00e0 la question \u00ab jusqu'o\u00f9 \\(\\mathbf{a}\\) s'\u00e9tend-il le long de \\(\\mathbf{b}\\) ? \u00bb par un seul nombre alg\u00e9brique. Elle est positive quand l'angle entre les vecteurs est inf\u00e9rieur \u00e0 90\u00b0, nulle quand les vecteurs sont perpendiculaires, et n\u00e9gative quand l'angle d\u00e9passe 90\u00b0 \u2014 c'est-\u00e0-dire quand \\(\\mathbf{a}\\) pointe en partie <em>contre<\/em> \\(\\mathbf{b}\\). L'angle lui-m\u00eame se d\u00e9duit du produit scalaire gr\u00e2ce \u00e0 \\(\\cos\\theta = \\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{\\lvert\\mathbf{a}\\rvert\\,\\lvert\\mathbf{b}\\rvert}\\), raison pour laquelle le calculateur l'affiche en m\u00eame temps que la projection.<\/p>\n<p>Notez que la projection varie avec la longueur de \\(\\mathbf{b}\\), mais pas avec sa direction : doubler \\(\\mathbf{b}\\) divise par deux le facteur d'\u00e9chelle \\(k\\), si bien que la projection vectorielle reste inchang\u00e9e. Autrement dit, la projection d\u00e9pend de la <em>droite<\/em> port\u00e9e par \\(\\mathbf{b}\\), et non du vecteur pr\u00e9cis \u2014 une relation de proportionnalit\u00e9 entre \\(k\\) et \\(\\lvert\\mathbf{b}\\rvert^{-2}\\). Vous pouvez explorer ce type de relations proportionnelles avec le <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/calculateur-proportionnalite-directe\/\">Calculateur de variation directe<\/a>.<\/p>\n<h2>Hypoth\u00e8ses, limites et conseils<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Vecteurs non nuls obligatoires.<\/strong> Le vecteur direction doit avoir une norme strictement positive, car la formule divise par \\(\\lvert\\mathbf{b}\\rvert^2\\). Un vecteur nul n'a pas de direction sur laquelle projeter ; le calculateur vous indiquera quel vecteur corriger.<\/li>\n<li><strong>Le signe compte.<\/strong> Une projection scalaire n\u00e9gative est un r\u00e9sultat valable : elle signifie que la projection pointe \u00e0 l'oppos\u00e9 de \\(\\mathbf{b}\\), et la projection vectorielle contiendra alors des multiples n\u00e9gatifs des composantes de \\(\\mathbf{b}\\).<\/li>\n<li><strong>L'ordre compte.<\/strong> Projeter \\(\\mathbf{a}\\) sur \\(\\mathbf{b}\\) et \\(\\mathbf{b}\\) sur \\(\\mathbf{a}\\) donne en g\u00e9n\u00e9ral des vecteurs diff\u00e9rents (seules les projections scalaires sont reli\u00e9es par \\(\\lvert\\mathbf{a}\\rvert\\) et \\(\\lvert\\mathbf{b}\\rvert\\)). Utilisez le menu d\u00e9roulant \u00ab Projet\u00e9 \u00bb pour changer de direction.<\/li>\n<li><strong>V\u00e9rification d'orthogonalit\u00e9.<\/strong> Si le produit scalaire vaut 0, les vecteurs sont orthogonaux : la projection est le vecteur nul et la composante perpendiculaire est \u00e9gale au vecteur d'origine.<\/li>\n<li><strong>Normes et moyenne quadratique.<\/strong> La norme \\(\\lvert\\mathbf{v}\\rvert = \\sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\\) est la moyenne quadratique des trois composantes multipli\u00e9e par \\(\\sqrt{3}\\) ; on retrouve la m\u00eame id\u00e9e de moyenne dans le <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/calculateur-moyenne-quadratique-rms\/\">calculateur de moyenne quadratique (RMS)<\/a>.<\/li>\n<li><strong>Vecteurs parall\u00e8les.<\/strong> Si les deux vecteurs sont parall\u00e8les (angle de 0\u00b0 ou 180\u00b0), la projection est \u00e9gale \u00e0 \\(\\mathbf{a}\\) lui-m\u00eame (au signe pr\u00e8s), et la composante perpendiculaire est le vecteur nul.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Saisissez les composantes de deux vecteurs 3D et ce calculateur projette l'un sur l'autre : il affiche la projection scalaire, la projection vectorielle, la composante perpendiculaire, le produit scalaire, les normes et l'angle entre les vecteurs.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[2],"tags":[3],"class_list":["post-5682","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mathematiques","tag-geometrie"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5682","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=5682"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5682\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=5682"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=5682"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=5682"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}