{"id":5809,"date":"2026-10-15T02:43:12","date_gmt":"2026-10-14T23:43:12","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/division-euclidienne-polynomes\/"},"modified":"2026-10-15T02:43:12","modified_gmt":"2026-10-14T23:43:12","slug":"division-euclidienne-polynomes","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/division-euclidienne-polynomes\/","title":{"rendered":"Calculateur de division euclidienne des polyn\u00f4mes"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Diviser un polyn\u00f4me par un autre polyn\u00f4me<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"5809\" data-favorite-title=\"Division euclidienne de polyn\u00f4mes\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/division-euclidienne-polynomes\/\" data-favorite-excerpt=\"Divisez un polyn\u00f4me par un autre, \u00e9tape par \u00e9tape. Saisissez les coefficients du dividende et du diviseur (puissance la plus \u00e9lev\u00e9e d&#039;abord, z\u00e9ros compris) et obtenez le quotient, le reste et le d\u00e9tail de chaque \u00e9tape de la division.\" aria-label=\"Ajouter aux favoris\" data-favorite-icon=\"icon icon-algebra\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/division-euclidienne-polynomes\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-5809\" data-post=\"5809\"><fieldset class=\"fieldset-input is-1\"><legend class=\"sr-only\">Champs de saisie<\/legend><div class=\"field\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Coefficients du dividende (puissances d\u00e9croissantes)<\/label><textarea id=\"field-1\" name=\"coefficients_du_dividende_puissances_dcroissantes\">1; 0; -7; 6<\/textarea><\/div><div class=\"field\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">Coefficients du diviseur (puissances d\u00e9croissantes)<\/label><textarea id=\"field-2\" name=\"coefficients_du_diviseur_puissances_dcroissantes\">1; -2<\/textarea><\/div><div class=\"field\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">Variable<\/label><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-3\" name=\"variable\"><option value=\"x\" selected>x<\/option><option value=\"t\">t<\/option><option value=\"n\">n<\/option><option value=\"y\">y<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 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class=\"field-result is-column\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Quotient<\/span><span class=\"result-term\">Q(x)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>Reste<\/span><span class=\"result-term\">R(x)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>\u00c9tapes de la division<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-4\"><span class=\"field-title\"><span>V\u00e9rification\u00a0: D(x) \u00b7 Q(x) + R(x)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-4\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Copier le lien vers ce calcul<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Laisser un commentaire<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"5809\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Que pensez-vous de ce r\u00e9sultat\u00a0?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">J\u2019aime <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Utile <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Confus <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">D\u00e9\u00e7u <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Inexact <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" 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quotient<\/li>\n<li>\\(R(x)\\) \u2014 le reste, avec \\(\\deg R &lt; \\deg D\\)<\/li>\n<\/ul>\n<p>La division euclidienne d\u00e9termine l'unique couple quotient\u2013reste v\u00e9rifiant cette identit\u00e9, de la m\u00eame mani\u00e8re que la division des entiers donne \\(a = b \\cdot q + r\\) avec \\(0 \\le r &lt; b\\). Si \\(R(x) = 0\\), le diviseur divise exactement le dividende et les racines de \\(D(x)\\) sont \u00e9galement des racines de \\(P(x)\\).<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Division euclidienne des polyn\u00f4mes \u2013 Exemple de calcul<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Exemple&nbsp;:<\/strong> divisons \\(P(x) = x^3 - 7x + 6\\) par \\(D(x) = x - 2\\).<\/p>\n<p>Le terme manquant \\(x^2\\) s'\u00e9crit \\(0x^2\\) ; les coefficients du dividende sont donc 1&nbsp;; 0&nbsp;; \u22127&nbsp;; 6 et ceux du diviseur 1&nbsp;; \u22122. \u00c9tape par \u00e9tape&nbsp;:<\/p>\n<p>\\[x^3 \\div x = x^2, \\quad (x-2)\\,x^2 = x^3 - 2x^2, \\quad (x^3 - 7x + 6) - (x^3 - 2x^2) = 2x^2 - 7x + 6\\]<\/p>\n<p>\\[2x^2 \\div x = 2x, \\quad (x-2)\\,2x = 2x^2 - 4x, \\quad (2x^2 - 7x + 6) - (2x^2 - 4x) = -3x + 6\\]<\/p>\n<p>\\[-3x \\div x = -3, \\quad (x-2)(-3) = -3x + 6, \\quad (-3x + 6) - (-3x + 6) = 0\\]<\/p>\n<p><strong>R\u00e9sultat&nbsp;:<\/strong> \\(Q(x) = x^2 + 2x - 3\\) et \\(R(x) = 0\\). La v\u00e9rification \\((x-2)(x^2+2x-3) = x^3 - 7x + 6\\) confirme que la division est exacte : \\(x = 2\\) est donc une racine de \\(P(x)\\).<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Comment utiliser le calculateur<\/h2>\n<ol>\n<li>Saisissez les <strong>coefficients du dividende (puissance la plus \u00e9lev\u00e9e d'abord)<\/strong> dans le premier champ. Incluez un 0 pour chaque puissance manquante : \\(x^3 - 7x + 6\\) devient <code>1; 0; -7; 6<\/code>.<\/li>\n<li>Saisissez les <strong>coefficients du diviseur (puissance la plus \u00e9lev\u00e9e d'abord)<\/strong> dans le deuxi\u00e8me champ. Pour \\(x - 2\\), saisissez <code>1; -2<\/code>&nbsp;; le coefficient dominant ne doit pas \u00eatre nul.<\/li>\n<li>S\u00e9parez les nombres par des espaces, des virgules ou des points-virgules \u2014 le calculateur accepte les trois.<\/li>\n<li>Choisissez la <strong>variable<\/strong> (x, t, n ou y) utilis\u00e9e pour l'affichage des polyn\u00f4mes.<\/li>\n<li>Lisez les r\u00e9sultats&nbsp;: le <strong>quotient<\/strong>, le <strong>reste<\/strong>, le d\u00e9tail ligne par ligne des <strong>\u00e9tapes de la division<\/strong>, ainsi que la v\u00e9rification <strong>D(x) \u00b7 Q(x) + R(x)<\/strong>, qui doit redonner le dividende.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Qu'est-ce que la division euclidienne des polyn\u00f4mes ?<\/h2>\n<p>La division euclidienne des polyn\u00f4mes est l'analogue alg\u00e9brique de la division pos\u00e9e des nombres. \u00c0 partir d'un dividende \\(P(x)\\) et d'un diviseur \\(D(x)\\), elle produit un quotient \\(Q(x)\\) et un reste \\(R(x)\\) tels que \\(P(x) = D(x)\\,Q(x) + R(x)\\), le reste \u00e9tant de degr\u00e9 strictement inf\u00e9rieur \u00e0 celui du diviseur. Ce couple quotient\u2013reste est unique : c'est pourquoi la v\u00e9rification \\(D(x)\\,Q(x) + R(x)\\) redonne toujours le dividende d'origine.<\/p>\n<p>L'algorithme r\u00e9p\u00e8te un cycle simple : on divise le terme dominant courant par le terme dominant du diviseur, on multiplie tout le diviseur par le r\u00e9sultat obtenu, puis on soustrait. Chaque cycle \u00e9limine la plus haute puissance restante du dividende et abaisse d'un degr\u00e9 le reste partiel, jusqu'\u00e0 ce que son degr\u00e9 passe sous celui du diviseur. La division s'arr\u00eate alors, et ce qui subsiste constitue le reste.<\/p>\n<p>L'interpr\u00e9tation du r\u00e9sultat d\u00e9pend du reste. Un reste nul signifie que \\(D(x)\\) est un facteur de \\(P(x)\\) \u2014 c'est l'id\u00e9e qui fonde les <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/regle-des-signes-de-descartes\/\">crit\u00e8res de factorisation et de recherche de racines<\/a> ainsi que la division synth\u00e9tique. Un reste non nul reste instructif&nbsp;: d'apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me du reste, la division par \\(x - c\\) laisse exactement \\(P(c)\\) ; le reste est donc la valeur du polyn\u00f4me en \\(c\\).<\/p>\n<p>La division de polyn\u00f4mes intervient partout o\u00f9 il faut simplifier des expressions polynomiales : d\u00e9composition en \u00e9l\u00e9ments simples pour le calcul int\u00e9gral, recherche d'asymptotes de fonctions rationnelles ou r\u00e9duction d'un polyn\u00f4me modulo un autre. C'est aussi un moyen pratique de factoriser des polyn\u00f4mes de degr\u00e9 \u00e9lev\u00e9 d\u00e8s qu'une racine est connue ou devin\u00e9e.<\/p>\n<h2>Conseils, hypoth\u00e8ses et limites<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Pensez toujours \u00e0 compl\u00e9ter par des z\u00e9ros.<\/strong> \\(x^3 - 7x + 6\\) doit \u00eatre saisi <code>1; 0; -7; 6<\/code> et non <code>1; -7; 6<\/code>. Les z\u00e9ros manquants d\u00e9calent chaque coefficient vers la mauvaise puissance et faussent le r\u00e9sultat.<\/li>\n<li><strong>Le diviseur doit \u00eatre non nul.<\/strong> Le coefficient dominant ne peut pas \u00eatre nul ; le calculateur supprime automatiquement les z\u00e9ros de t\u00eate, mais un diviseur enti\u00e8rement nul est refus\u00e9.<\/li>\n<li><strong>Un diviseur de degr\u00e9 sup\u00e9rieur renvoie le dividende.<\/strong> Si \\(\\deg D &gt; \\deg P\\), le quotient vaut 0 et le reste est \u00e9gal au dividende \u2014 c'est le bon r\u00e9sultat, pas une erreur.<\/li>\n<li><strong>Les coefficients peuvent \u00eatre des r\u00e9els quelconques<\/strong>, fractions et d\u00e9cimales comprises (par ex. <code>0.5; -3; 2<\/code>). Les r\u00e9sultats sont affich\u00e9s arrondis \u00e0 4 d\u00e9cimales ; de tr\u00e8s longues suites d\u00e9cimales peuvent donc para\u00eetre l\u00e9g\u00e8rement raccourcies.<\/li>\n<li><strong>La division par un mon\u00f4me<\/strong> comme \\(x^2\\) fonctionne aussi \u2014 saisissez <code>1; 0<\/code> comme diviseur&nbsp;; chaque terme du dividende est simplement abaiss\u00e9 d'autant de degr\u00e9s.<\/li>\n<li>Pour v\u00e9rifier la multiplication de la ligne de contr\u00f4le \u00e0 la main, les calculateurs de <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/multiplication-binomes\/\">multiplication de bin\u00f4mes<\/a> et de <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/calculateur-methode-foil\/\">m\u00e9thode FOIL<\/a> couvrent les cas les plus courants, et le <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/calculatrice-division\/\">calculateur de division<\/a> classique traite la division des nombres.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Divisez un polyn\u00f4me par un autre, \u00e9tape par \u00e9tape. Saisissez les coefficients du dividende et du diviseur (puissance la plus \u00e9lev\u00e9e d'abord, z\u00e9ros compris) et obtenez le quotient, le reste et le d\u00e9tail de chaque \u00e9tape de la division.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[2],"tags":[52],"class_list":["post-5809","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mathematiques","tag-algebre"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5809","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=5809"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5809\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5927,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5809\/revisions\/5927"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=5809"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=5809"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=5809"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}