{"id":6104,"date":"2026-10-21T08:03:59","date_gmt":"2026-10-21T05:03:59","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/calculateur-pgcd\/"},"modified":"2026-10-21T08:03:59","modified_gmt":"2026-10-21T05:03:59","slug":"calculateur-pgcd","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/calculateur-pgcd\/","title":{"rendered":"Calculateur de PGCD \u2013 Plus grand commun diviseur"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Calculer le PGCD de 2 \u00e0 10 entiers<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"6104\" data-favorite-title=\"PGCD\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/calculateur-pgcd\/\" data-favorite-excerpt=\"Trouvez le plus grand commun diviseur de 2 \u00e0 10 entiers, ainsi que leur plus petit commun multiple, leurs d\u00e9compositions en facteurs premiers et les \u00e9tapes de la division euclidienne. Saisissez des nombres s\u00e9par\u00e9s par des virgules ou des espaces.\" aria-label=\"Ajouter aux favoris\" data-favorite-icon=\"icon icon-arithmetic\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/calculateur-pgcd\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-6104\" data-post=\"6104\"><fieldset class=\"fieldset-input is-1\"><legend class=\"sr-only\">Champs de saisie<\/legend><div class=\"field is-single\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Entiers<\/label><textarea id=\"field-1\" name=\"entiers\">48, 180, 300<\/textarea><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Recalculer\" id=\"calculate-button\" data-post=\"6104\">Calculer<\/button><button type=\"reset\">R\u00e9initialiser<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Calculer automatiquement<\/label><small>Si activ\u00e9, le r\u00e9sultat se met \u00e0 jour automatiquement d\u00e8s que vous modifiez une valeur.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Vos r\u00e9sultats<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Plus grand commun diviseur (PGCD)<\/span><span class=\"result-term\">PGCD<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>Plus petit commun multiple (PPCM)<\/span><span class=\"result-term\">PPCM<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>Les nombres sont-ils premiers entre eux\u00a0?<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-4\"><span class=\"field-title\"><span>\u00c9tapes de la division euclidienne pour les deux premiers nombres<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-4\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-5\"><span class=\"field-title\"><span>D\u00e9composition en facteurs premiers de chaque nombre<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-5\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-6\"><span class=\"field-title\"><span>Facteurs premiers communs avec leurs plus petits exposants<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-6\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Copier le lien vers ce calcul<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Laisser un commentaire<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"6104\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Que pensez-vous de ce r\u00e9sultat\u00a0?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">J\u2019aime <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Utile <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Confus <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">D\u00e9\u00e7u <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Inexact <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Formule du PGCD<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Formule<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[\\operatorname{PGCD}(n_1,\\ldots,n_k)=\\prod_{p}p^{\\min\\left(v_p(|n_1|),\\ldots,v_p(|n_k|)\\right)}\\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>O\u00f9 :<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(n_1,\\ldots,n_k\\) \u2014 les entiers saisis.<\/li>\n<li>\\(p\\) \u2014 un nombre premier divisant au moins l'un des entiers.<\/li>\n<li>\\(v_p(|n_i|)\\) \u2014 l'exposant de \\(p\\) dans la d\u00e9composition en facteurs premiers de \\(|n_i|\\) ; il vaut 0 si \\(p\\) ne divise pas \\(|n_i|\\).<\/li>\n<\/ul>\n<p>Le PGCD ne contient que les nombres premiers communs \u00e0 tous les nombres, chacun \u00e0 sa plus petite puissance. Si aucun nombre premier n'est commun \u00e0 tous, le produit vaut 1.<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>PGCD \u2013 Exemple de calcul<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Exemple :<\/strong> trouvez le PGCD des entiers propos\u00e9s par d\u00e9faut par le calculateur, \u00e0 savoir 48, 180 et 300.<\/p>\n<p>D\u00e9composez chaque nombre en facteurs premiers et conservez la plus petite puissance de chaque facteur commun :<\/p>\n<p>\\[48=2^4\\times3,\\qquad180=2^2\\times3^2\\times5,\\qquad300=2^2\\times3\\times5^2\\]<\/p>\n<p>\\[\\operatorname{PGCD}(48,180,300)=2^{\\min(4,2,2)}\\times3^{\\min(1,2,1)}=2^2\\times3=12\\]<\/p>\n<p>Pour le premier couple, la division euclidienne donne \\(180=48\\times3+36\\), \\(48=36\\times1+12\\) et \\(36=12\\times3+0\\). Le PGCD de ce couple vaut 12 ; en calculant ensuite le PGCD de 12 et de 300, on obtient encore 12.<\/p>\n<p><strong>R\u00e9sultat :<\/strong> PGCD = 12. Le calculateur indique aussi PPCM = 3 600 et \u00ab Non \u00bb pour les nombres premiers entre eux.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Comment utiliser le calculateur<\/h2>\n<ol>\n<li>Dans le champ <strong>Entiers<\/strong>, saisissez 2 \u00e0 10 entiers non nuls, s\u00e9par\u00e9s par des virgules ou des espaces. Par exemple, saisissez <code>48, 180, 300<\/code> ou <code>48 180 300<\/code>.<\/li>\n<li>Consultez le r\u00e9sultat <strong>Plus grand commun diviseur (PGCD)<\/strong> : le plus grand entier positif qui divise chaque nombre sans laisser de reste.<\/li>\n<li>V\u00e9rifiez le <strong>Plus petit commun multiple (PPCM)<\/strong>, c'est-\u00e0-dire le plus petit multiple positif commun \u00e0 tous les nombres. <strong>Les nombres sont-ils premiers entre eux ?<\/strong> affiche \u00ab Oui \u00bb lorsque leur PGCD global est \u00e9gal \u00e0 1.<\/li>\n<li>Utilisez les <strong>\u00c9tapes de division euclidienne pour le premier couple<\/strong> pour voir comment d\u00e9marre le calcul du PGCD. Les autres r\u00e9sultats pr\u00e9sentent la <strong>D\u00e9composition en facteurs premiers de chaque nombre<\/strong> ainsi que les <strong>Facteurs premiers communs \u00e0 leur plus petite puissance<\/strong> qui donnent le PGCD final.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Ce qu'est le plus grand commun diviseur<\/h2>\n<p>Le plus grand commun diviseur (PGCD), aussi appel\u00e9 plus grand facteur commun, est le plus grand entier positif qui divise exactement tous les entiers donn\u00e9s. Pour 48, 180 et 300, ce nombre est 12 : chacun est divisible par 12, et aucun entier positif plus grand ne divise les trois. Le PGCD est utile pour simplifier des fractions, r\u00e9partir des quantit\u00e9s en groupes \u00e9gaux sans reste ou d\u00e9gager une unit\u00e9 de mesure commune.<\/p>\n<p>La d\u00e9composition en facteurs premiers rend visible le cheminement du r\u00e9sultat. Un nombre premier n'entre dans le PGCD que s'il figure dans <em>chaque<\/em> nombre saisi, et son exposant doit \u00eatre le plus petit rencontr\u00e9 parmi eux. Dans l'exemple, les trois nombres contiennent 2 et 3, tandis que 5 est absent de 48. Conserver \\(2^2\\) et \\(3^1\\) donne 12. Pour examiner plus en d\u00e9tail les facteurs d'un nombre, utilisez le <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/en\/mathematics\/prime-factorization-calculator\/\">calculateur de d\u00e9composition en facteurs premiers<\/a> ; le <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/verificateur-nombre-premier\/\">testeur de nombres premiers<\/a> peut aider \u00e0 v\u00e9rifier un facteur isol\u00e9.<\/p>\n<p>L'algorithme d'Euclide parvient au m\u00eame r\u00e9sultat sans passer par les facteurs premiers. Divisez la plus grande des deux premi\u00e8res valeurs absolues par la plus petite, puis recommencez avec le diviseur et le reste obtenus. Le dernier reste non nul est le PGCD du couple. Pour plus de deux nombres, prenez le PGCD de ce r\u00e9sultat et du nombre suivant, et ainsi de suite jusqu'au bout de la liste. Le calculateur n'affiche les \u00e9tapes de division que pour le premier couple ; son PGCD final tient compte de tous les nombres.<\/p>\n<p>Un PGCD global \u00e9gal \u00e0 1 signifie que les nombres sont <em>premiers entre eux en tant que groupe<\/em>. Cela n'implique pas que chaque couple soit compos\u00e9 de nombres premiers entre eux : 6, 10 et 15 ont un PGCD global de 1, alors que chaque couple partage un facteur. Cette notion intervient aussi lors du calcul d'un <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/inverse-multiplicatif-modulo\/\">inverse multiplicatif modulo<\/a> un nombre, o\u00f9 les deux entiers doivent avoir un PGCD \u00e9gal \u00e0 1.<\/p>\n<h2>Limites de saisie et conseils d'interpr\u00e9tation<\/h2>\n<ul>\n<li>Saisissez au moins 2 et au plus 10 entiers. Z\u00e9ro, les nombres d\u00e9cimaux et les fractions ne sont pas accept\u00e9s. La valeur absolue de chaque nombre doit \u00eatre inf\u00e9rieure ou \u00e9gale \u00e0 1 000 000 000 000.<\/li>\n<li>Les signes n\u00e9gatifs sont autoris\u00e9s. Le calculateur travaille sur les valeurs absolues : changer le signe d'un nombre ne modifie ni le PGCD ni le PPCM. Les deux valeurs affich\u00e9es sont positives.<\/li>\n<li>Le nombre 1 ou \u22121 est accept\u00e9 et ne poss\u00e8de pas de facteur premier. S'il figure parmi les nombres saisis, le PGCD global est 1.<\/li>\n<li>Ne confondez pas PGCD et PPCM. Le PGCD divise chaque nombre ; le PPCM est divisible par chaque nombre. M\u00eame avec la limite fix\u00e9e pour chaque nombre, le PPCM de plusieurs nombres peut \u00eatre bien plus grand que chacun d'eux.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Trouvez le plus grand commun diviseur de 2 \u00e0 10 entiers, ainsi que leur plus petit commun multiple, leurs d\u00e9compositions en facteurs premiers et les \u00e9tapes de la division euclidienne. Saisissez des nombres s\u00e9par\u00e9s par des virgules ou des espaces.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[2],"tags":[11],"class_list":["post-6104","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mathematiques","tag-calculateurs-arithmetique"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6104","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=6104"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6104\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=6104"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=6104"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=6104"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}