{"id":635,"date":"2026-10-03T05:58:22","date_gmt":"2026-10-03T02:58:22","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/?p=635"},"modified":"2026-10-03T05:58:22","modified_gmt":"2026-10-03T02:58:22","slug":"equation-quartique","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/equation-quartique\/","title":{"rendered":"R\u00e9solveur d'\u00e9quation quartique"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">R\u00e9soudre des \u00e9quations quartiques<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"635\" data-favorite-title=\"\u00c9quation quartique\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/equation-quartique\/\" data-favorite-excerpt=\"Entrez les coefficients a, b, c, d et e pour r\u00e9soudre n&#039;importe quelle \u00e9quation quartique ax\u2074 + bx\u00b3 + cx\u00b2 + dx + e = 0. La calculatrice trouve les quatre racines, r\u00e9elles ou complexes, par la m\u00e9thode de Ferrari.\" aria-label=\"Ajouter aux favoris\" data-favorite-icon=\"icon icon-algebra\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/equation-quartique\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-635\" data-post=\"635\"><fieldset class=\"fieldset-input\"><legend class=\"sr-only\">Champs de saisie<\/legend><div class=\"field\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">a<\/label><input type=\"number\" name=\"a\" id=\"field-1\" placeholder=\"1\" step=\"1\" value=\"1\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">b<\/label><input type=\"number\" name=\"b\" id=\"field-2\" placeholder=\"-3\" step=\"1\" value=\"-3\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">c<\/label><input type=\"number\" name=\"c\" id=\"field-3\" placeholder=\"3\" step=\"1\" value=\"3\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-4\"><label for=\"field-4\">d<\/label><input type=\"number\" name=\"d\" id=\"field-4\" placeholder=\"-1\" step=\"1\" value=\"-1\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-5\"><label for=\"field-5\">e<\/label><input type=\"number\" name=\"e\" id=\"field-5\" placeholder=\"0\" step=\"1\" value=\"0\"\/><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Recalculer\" id=\"calculate-button\" data-post=\"635\">Calculer<\/button><button type=\"reset\">R\u00e9initialiser<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Calculer automatiquement<\/label><small>Si activ\u00e9, le r\u00e9sultat se met \u00e0 jour automatiquement d\u00e8s que vous modifiez une valeur.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Vos r\u00e9sultats<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Racine x\u2081<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>Racine x\u2082<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>Racine x\u2083<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-4\"><span class=\"field-title\"><span>Racine x\u2084<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-4\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Copier le lien vers ce calcul<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Laisser un commentaire<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"635\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Que pensez-vous de ce r\u00e9sultat\u00a0?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">J\u2019aime <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Utile <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Confus <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">D\u00e9\u00e7u <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Inexact <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Formule de l'\u00e9quation quartique<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Formule<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0, \\quad a \\neq 0 \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>O\u00f9&nbsp;:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(a, b, c, d, e\\) \u2014 coefficients r\u00e9els du polyn\u00f4me<\/li>\n<li>\\(a\\) \u2014 coefficient dominant (il ne doit pas \u00eatre nul, sinon l'\u00e9quation n'est pas quartique)<\/li>\n<li>\\(x\\) \u2014 l'inconnue \u00e0 d\u00e9terminer<\/li>\n<\/ul>\n<p>C'est la forme g\u00e9n\u00e9rale d'une \u00e9quation polynomiale du quatri\u00e8me degr\u00e9. Sa r\u00e9solution analytique utilise la m\u00e9thode de Ferrari&nbsp;: l'\u00e9quation est d'abord ramen\u00e9e \u00e0 une forme quartique d\u00e9pouill\u00e9e (sans terme en \\(x^3\\)), puis une cubique r\u00e9solvente est r\u00e9solue, et les quatre racines sont obtenues \u00e0 partir de racines carr\u00e9es d'expressions faisant intervenir la solution de cette cubique. Cette calculatrice effectue l'ensemble de la proc\u00e9dure automatiquement.<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>\u00c9quation quartique \u2013 Exemple de calcul<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Exemple&nbsp;:<\/strong> r\u00e9soudre \\(x^4 - 3x^3 + 3x^2 - x = 0\\), ce qui correspond aux valeurs par d\u00e9faut \\(a = 1\\), \\(b = -3\\), \\(c = 3\\), \\(d = -1\\), \\(e = 0\\).<\/p>\n<p>\\[ x^4 - 3x^3 + 3x^2 - x = x(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = x(x - 1)^3 = 0 \\]<\/p>\n<p><strong>R\u00e9sultat&nbsp;:<\/strong> \\(x_1 = 0\\) et \\(x_2 = x_3 = x_4 = 1\\). L'\u00e9quation poss\u00e8de une racine simple en 0 et une racine triple en 1 \u2014 les quatre m\u00eames valeurs que celles renvoy\u00e9es par la calculatrice.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Comment utiliser la calculatrice<\/h2>\n<ol>\n<li>Entrez le coefficient <strong>a<\/strong> du terme en \\(x^4\\). Il doit \u00eatre non nul.<\/li>\n<li>Entrez le coefficient <strong>b<\/strong> du terme en \\(x^3\\).<\/li>\n<li>Entrez le coefficient <strong>c<\/strong> du terme en \\(x^2\\).<\/li>\n<li>Entrez le coefficient <strong>d<\/strong> du terme en \\(x\\).<\/li>\n<li>Entrez le terme constant <strong>e<\/strong>. Mettez 0 si l'\u00e9quation n'a pas de constante.<\/li>\n<li>Lisez les quatre racines \\(x_1\\) \u00e0 \\(x_4\\). Les racines complexes apparaissent sous la forme \\(p + qi\\) ou \\(p - qi\\).<\/li>\n<\/ol>\n<p>Utilisez des valeurs n\u00e9gatives pour les coefficients pr\u00e9c\u00e9d\u00e9s d'un signe moins \u2014 par exemple, pour \\(x^4 - 3x^3\\), entrez a = 1 et b = \u22123. L'\u00e9quation est normalis\u00e9e en interne, donc tout coefficient dominant non nul fonctionne, y compris les fractions comme 0,5 (saisies sous la forme 0,5 ou avec une virgule d\u00e9cimale).<\/p>\n<h2>Qu'est-ce qu'une \u00e9quation quartique&nbsp;?<\/h2>\n<p>Une \u00e9quation quartique est une \u00e9quation polynomiale de degr\u00e9 quatre. D'apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me fondamental de l'alg\u00e8bre, elle poss\u00e8de toujours exactement quatre racines dans le plan complexe, compt\u00e9es avec multiplicit\u00e9. Selon les coefficients, ces racines peuvent \u00eatre toutes r\u00e9elles, toutes complexes, ou un m\u00e9lange des deux. Comme les coefficients saisis ici sont r\u00e9els, les racines complexes vont toujours par paires <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/calculateur-conjugue-complexe\/\">conjugu\u00e9es<\/a> \\(p \\pm qi\\).<\/p>\n<p>Le quatri\u00e8me degr\u00e9 est le plus haut degr\u00e9 pour lequel il existe une solution g\u00e9n\u00e9rale par radicaux. La m\u00e9thode de Ferrari, d\u00e9couverte au XVI\u1d49 si\u00e8cle, ram\u00e8ne le probl\u00e8me \u00e0 une <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/resolution-equations-cubiques\/\">\u00e9quation cubique<\/a> (la r\u00e9solvente) puis termine par des racines carr\u00e9es. C'est pourquoi la calculatrice peut renvoyer des valeurs alg\u00e9briques exactes plut\u00f4t que de simples approximations num\u00e9riques. La contrepartie est que l'expression ferm\u00e9e compl\u00e8te est extr\u00eamement longue, d'o\u00f9 l'usage d'outils automatis\u00e9s comme celui-ci en pratique.<\/p>\n<p>L'interpr\u00e9tation des r\u00e9sultats est simple&nbsp;: les racines r\u00e9elles sont les points o\u00f9 la courbe du polyn\u00f4me traverse l'axe des abscisses, tandis que les racines complexes indiquent que la courbe ne touche pas l'axe en ces endroits. Des racines r\u00e9p\u00e9t\u00e9es (comme la racine triple de l'exemple ci-dessus) signifient que la courbe est tangente \u00e0 l'axe en ce point. Si vous souhaitez seulement avoir une id\u00e9e rapide du nombre de racines r\u00e9elles \u00e0 attendre avant de r\u00e9soudre, la <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/regle-des-signes-de-descartes\/\">r\u00e8gle des signes de Descartes<\/a> est une v\u00e9rification bien pratique.<\/p>\n<p>Les relations utiles entre les racines et les coefficients (formules de Vi\u00e8te) permettent de v\u00e9rifier les r\u00e9ponses&nbsp;:<\/p>\n<ul>\n<li>\\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -b\/a\\)<\/li>\n<li>\\(x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4 = -d\/a\\)<\/li>\n<li>\\(x_1 x_2 x_3 x_4 = e\/a\\)<\/li>\n<\/ul>\n<h2>Hypoth\u00e8ses, limites et conseils<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Le coefficient a ne doit pas \u00eatre nul.<\/strong> Si vous entrez a = 0, la calculatrice signale une erreur car l'\u00e9quation n'est plus quartique. Si \\(a = 0\\) mais \\(b \\neq 0\\), il s'agit en r\u00e9alit\u00e9 d'une \u00e9quation cubique ; r\u00e9solvez-la plut\u00f4t avec la calculatrice <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/resoluteur-equations-cubiques\/\">\u00c9quation cubique<\/a>. Si a et b sont tous les deux nuls, utilisez la calculatrice <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/equation-second-degre-2\/\">\u00c9quation du second degr\u00e9<\/a>.<\/li>\n<li><strong>Les racines sont arrondies<\/strong> \u00e0 trois d\u00e9cimales, donc des valeurs exactes comme \\(\\sqrt{2}\\) apparaissent sous la forme 1,414. Des racines quasi identiques peuvent sembler identiques apr\u00e8s arrondi, m\u00eame si elles diff\u00e8rent l\u00e9g\u00e8rement.<\/li>\n<li><strong>Pr\u00e9cision num\u00e9rique&nbsp;:<\/strong> pour des coefficients extr\u00eamement grands ou minuscules, la cubique r\u00e9solvente interm\u00e9diaire peut perdre en pr\u00e9cision. Un changement d'\u00e9chelle de l'\u00e9quation (division de tous les coefficients par une puissance de 10) am\u00e9liore la stabilit\u00e9.<\/li>\n<li><strong>Une sortie complexe est normale&nbsp;:<\/strong> si la calculatrice renvoie des paires telles que \\(2 + 3i\\) et \\(2 - 3i\\), le polyn\u00f4me n'a pas de racines r\u00e9elles \u00e0 ces positions. Pour en savoir plus sur ces valeurs, utilisez la calculatrice <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/racines-nombre-complexe\/\">Racine complexe<\/a>.<\/li>\n<li><strong>Les multiplicit\u00e9s comptent&nbsp;:<\/strong> quatre racines sont toujours affich\u00e9es, donc une racine double appara\u00eet deux fois. Dans l'exemple ci-dessus, \\(x = 1\\) est list\u00e9 trois fois car il s'agit d'une racine triple.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Entrez les coefficients a, b, c, d et e pour r\u00e9soudre n'importe quelle \u00e9quation quartique ax\u2074 + bx\u00b3 + cx\u00b2 + dx + e = 0. La calculatrice trouve les quatre racines, r\u00e9elles ou complexes, par la m\u00e9thode de Ferrari.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[2],"tags":[52],"class_list":["post-635","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mathematiques","tag-algebre"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/635","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=635"}],"version-history":[{"count":6,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/635\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5593,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/635\/revisions\/5593"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=635"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=635"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=635"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}