{"id":729,"date":"2026-10-03T05:52:28","date_gmt":"2026-10-03T02:52:28","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/?p=729"},"modified":"2026-10-03T05:52:28","modified_gmt":"2026-10-03T02:52:28","slug":"approximation-de-stirling","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/approximation-de-stirling\/","title":{"rendered":"Approximation de la factorielle de Stirling"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Calculateur d&#039;approximation de Stirling<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"729\" data-favorite-title=\"Approximation de Stirling\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/approximation-de-stirling\/\" data-favorite-excerpt=\"Estimez instantan\u00e9ment la factorielle d&#039;un grand nombre gr\u00e2ce \u00e0 l&#039;approximation de Stirling : entrez n et obtenez n! \u2248 \u221a(2\u03c0n)(n\/e)\u207f en notation scientifique. Id\u00e9al pour les statistiques, les probabilit\u00e9s et la combinatoire.\" aria-label=\"Ajouter aux favoris\" data-favorite-icon=\"icon icon-arithmetic\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/approximation-de-stirling\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-729\" data-post=\"729\"><fieldset class=\"fieldset-input\"><legend class=\"sr-only\">Champs de saisie<\/legend><div class=\"field is-single\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Nombre d&#039;\u00e9l\u00e9ments (n)<\/label><input type=\"text\" name=\"nombre_dlments_n\" id=\"field-1\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"5\" min=\"1\" value=\"5\"\/><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Recalculer\" id=\"calculate-button\" data-post=\"729\">Calculer<\/button><button type=\"reset\">R\u00e9initialiser<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Calculer automatiquement<\/label><small>Si activ\u00e9, le r\u00e9sultat se met \u00e0 jour automatiquement d\u00e8s que vous modifiez une valeur.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Vos r\u00e9sultats<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>n! \u2248<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Copier le lien vers ce calcul<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Laisser un commentaire<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"729\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Que pensez-vous de ce r\u00e9sultat\u00a0?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">J\u2019aime <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Utile <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Confus <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">D\u00e9\u00e7u <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" 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aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Formule de l'approximation de Stirling<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Formule<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[n! \\approx \\sqrt{2\\pi n}\\left(\\frac{n}{e}\\right)^{n}\\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>O\u00f9&nbsp;:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(n\\) \u2014 le nombre dont on approxime la factorielle (\\(n \\ge 1\\))<\/li>\n<li>\\(\\pi\\) \u2014 la constante math\u00e9matique pi (\u2248 3,14159)<\/li>\n<li>\\(e\\) \u2014 le nombre d'Euler (\u2248 2,71828)<\/li>\n<\/ul>\n<p>La formule remplace le produit \\(1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdots n\\) par une expression explicite faisant intervenir une racine carr\u00e9e et un terme exponentiel, \u00e9valuable en temps constant quelle que soit la taille de \\(n\\).<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Approximation de Stirling \u2013 Exemple de calcul<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Exemple&nbsp;:<\/strong> approximer la factorielle de 5.<\/p>\n<p>\\[n! \\approx \\sqrt{2\\pi \\cdot 5}\\left(\\frac{5}{e}\\right)^{5}\\]<\/p>\n<p>\\[\\sqrt{10\\pi} \\approx 5.60499, \\qquad \\left(\\frac{5}{e}\\right)^{5} = \\frac{3125}{e^{5}} \\approx 21.05609\\]<\/p>\n<p>\\[5! \\approx 5.60499 \\times 21.05609 \\approx 118.019\\]<\/p>\n<p><strong>R\u00e9sultat :<\/strong> \\(5! \\approx 1.180190 \\times 10^{2}\\). La valeur exacte est \\(5! = 120\\) : l'approximation la sous-estime donc d'environ 1,65&nbsp;%.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Comment utiliser le calculateur<\/h2>\n<ol>\n<li>Entrez un entier positif dans le champ <strong>Nombre d'\u00e9l\u00e9ments (n)<\/strong>. La valeur par d\u00e9faut est 5.<\/li>\n<li>Le champ de r\u00e9sultat intitul\u00e9 <strong>n! \u2248<\/strong> affiche imm\u00e9diatement la factorielle approxim\u00e9e en notation scientifique (par exemple, <code>1.180190e+2<\/code>).<\/li>\n<li>Pour estimer une autre factorielle, saisissez simplement une nouvelle valeur de \\(n\\) ; le r\u00e9sultat se met \u00e0 jour automatiquement.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Qu'est-ce que l'approximation de Stirling ?<\/h2>\n<p>Une factorielle \\(n!\\) est le produit de tous les entiers de 1 \u00e0 \\(n\\). Les factorielles croissent extr\u00eamement vite : \\(10!\\) vaut d\u00e9j\u00e0 3 628 800, et \\(100!\\) est un nombre \u00e0 158 chiffres. Calculer ces valeurs exactement exige une arithm\u00e9tique en pr\u00e9cision arbitraire, et dans de nombreuses applications, les chiffres exacts ne sont tout simplement pas n\u00e9cessaires. L'approximation de Stirling, du nom du math\u00e9maticien \u00e9cossais du XVIII\u1d49 si\u00e8cle James Stirling, donne une estimation rapide de \\(n!\\) \u00e0 l'aide d'op\u00e9rations \u00e9l\u00e9mentaires seulement.<\/p>\n<p>Cette approximation est remarquablement pr\u00e9cise. L'erreur relative vaut environ \\(\\frac{1}{12n}\\), soit environ 0,8 % pour \\(n = 10\\), 0,1 % pour \\(n = 80\\), et devient infinit\u00e9simale pour les tr\u00e8s grands \\(n\\). C'est pourquoi cette formule est une pierre angulaire de l'analyse asymptotique : elle transforme des produits \u00e0 croissance factorielle en expressions faisant intervenir \\(n^{n}\\), \\(e^{n}\\) et \\(\\sqrt{n}\\), bien plus faciles \u00e0 manipuler alg\u00e9briquement.<\/p>\n<p>L'approximation de Stirling appara\u00eet dans toutes les branches des math\u00e9matiques et des sciences. Elle est \u00e0 la base de la d\u00e9rivation de l'approximation normale de la loi binomiale, de la formule d'entropie en m\u00e9canique statistique et en th\u00e9orie de l'information, ainsi que du comportement asymptotique de la fonction Gamma \\(\\Gamma(n+1) = n!\\). C'est aussi l'outil standard pour estimer les coefficients binomiaux, qui comptent les arrangements dans les structures combinatoires, comme celles g\u00e9n\u00e9r\u00e9es par le <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/calculateur-triangle-harmonique-leibniz\/\">triangle harmonique de Leibniz<\/a> ou les sommes produites par le <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/sommes-triangle-floyd\/\">triangle de Floyd<\/a>.<\/p>\n<h2>Pr\u00e9cision de l'approximation<\/h2>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>\\(n\\)<\/th>\n<th>\\(n!\\) exacte<\/th>\n<th>Approximation de Stirling<\/th>\n<th>Erreur relative<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>1<\/td>\n<td>1<\/td>\n<td>0,9221<\/td>\n<td>\u22127,79&nbsp;%<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>2<\/td>\n<td>2<\/td>\n<td>1,9190<\/td>\n<td>\u22124,05&nbsp;%<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>5<\/td>\n<td>120<\/td>\n<td>118,019<\/td>\n<td>\u22121,65&nbsp;%<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>10<\/td>\n<td>3 628 800<\/td>\n<td>3 598 696<\/td>\n<td>\u22120,83&nbsp;%<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>20<\/td>\n<td>2,4329\u00d710<sup>18<\/sup><\/td>\n<td>2,4228\u00d710<sup>18<\/sup><\/td>\n<td>\u22120,42&nbsp;%<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>On remarque que l'approximation sous-estime toujours la valeur exacte et que l'erreur diminue r\u00e9guli\u00e8rement \u00e0 mesure que \\(n\\) augmente. Pour la plupart des usages pratiques, l'estimation est d\u00e9j\u00e0 excellente d\u00e8s \\(n = 20\\).<\/p>\n<h2>Limites et conseils pratiques<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Petits n&nbsp;:<\/strong> la formule est con\u00e7ue pour les grands \\(n\\). Pour \\(n &lt; 10\\), l'erreur peut \u00eatre perceptible ; utilisez la factorielle exacte lorsque chaque chiffre compte.<\/li>\n<li><strong>Toujours une l\u00e9g\u00e8re sous-estimation&nbsp;:<\/strong> la version simple utilis\u00e9e ici omet les facteurs de correction ; une variante plus pr\u00e9cise multiplie le r\u00e9sultat par \\(e^{1\/(12n)}\\).<\/li>\n<li><strong>R\u00e9sultat en notation scientifique&nbsp;:<\/strong> les r\u00e9sultats sont affich\u00e9s sous forme exponentielle (par exemple <code>9.332621e+157<\/code> pour \\(n = 100\\)), ce qui est la mani\u00e8re standard de repr\u00e9senter les nombres trop grands pour la notation d\u00e9cimale ordinaire.<\/li>\n<li><strong>Entr\u00e9e enti\u00e8re uniquement&nbsp;:<\/strong> entrez un entier positif. Pour les arguments non entiers, la g\u00e9n\u00e9ralisation de la factorielle est la fonction Gamma, qui v\u00e9rifie la m\u00eame approximation pour les grands arguments.<\/li>\n<li><strong>Estimations d'ordre de grandeur&nbsp;:<\/strong> lorsqu'on compare des taux de croissance, par exemple une <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/progression-arithmetique\/\">progression arithm\u00e9tique<\/a> face \u00e0 la croissance factorielle, la formule de Stirling montre rapidement que \\(n!\\) finit par \u00e9craser tout polyn\u00f4me ou toute exponentielle \\(c^{n}\\).<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Estimez instantan\u00e9ment la factorielle d'un grand nombre gr\u00e2ce \u00e0 l'approximation de Stirling : entrez n et obtenez n! \u2248 \u221a(2\u03c0n)(n\/e)\u207f en notation scientifique. Id\u00e9al pour les statistiques, les probabilit\u00e9s et la combinatoire.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[2],"tags":[11],"class_list":["post-729","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mathematiques","tag-calculateurs-arithmetique"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/729","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=729"}],"version-history":[{"count":6,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/729\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4819,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/729\/revisions\/4819"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=729"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=729"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=729"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}