{"id":741,"date":"2026-10-03T05:52:20","date_gmt":"2026-10-03T02:52:20","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/?p=741"},"modified":"2026-10-03T05:52:20","modified_gmt":"2026-10-03T02:52:20","slug":"somme-carres-consecutifs","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/somme-carres-consecutifs\/","title":{"rendered":"Calculateur de somme de carr\u00e9s cons\u00e9cutifs"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Additionner des carr\u00e9s cons\u00e9cutifs<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"741\" data-favorite-title=\"Somme de carr\u00e9s cons\u00e9cutifs\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/somme-carres-consecutifs\/\" data-favorite-excerpt=\"Calculez la somme des carr\u00e9s des n premiers entiers naturels\u00a0: 1\u00b2 + 2\u00b2 + \u2026 + n\u00b2. Entrez le nombre de termes et obtenez instantan\u00e9ment le r\u00e9sultat gr\u00e2ce \u00e0 la formule n(n+1)(2n+1)\/6.\" aria-label=\"Ajouter aux favoris\" data-favorite-icon=\"icon icon-arithmetic\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/somme-carres-consecutifs\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-741\" data-post=\"741\"><fieldset class=\"fieldset-input\"><legend class=\"sr-only\">Champs de saisie<\/legend><div class=\"field is-single\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Nombre de termes (n)<\/label><input type=\"text\" name=\"nombre_de_termes_n\" id=\"field-1\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"5\" min=\"1\" value=\"5\"\/><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Recalculer\" id=\"calculate-button\" data-post=\"741\">Calculer<\/button><button type=\"reset\">R\u00e9initialiser<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Calculer automatiquement<\/label><small>Si activ\u00e9, le r\u00e9sultat se met \u00e0 jour automatiquement d\u00e8s que vous modifiez une valeur.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Vos r\u00e9sultats<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Somme des carr\u00e9s<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Copier le lien vers ce calcul<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Laisser un commentaire<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"741\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Que pensez-vous de ce r\u00e9sultat\u00a0?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">J\u2019aime <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Utile <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Confus <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">D\u00e9\u00e7u <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Inexact <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Formule de la somme des carr\u00e9s cons\u00e9cutifs<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Formule<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \\dots + n^2 = \\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>O\u00f9&nbsp;:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(n\\) \u2014 le nombre de termes, c'est-\u00e0-dire le dernier entier naturel \u00e9lev\u00e9 au carr\u00e9<\/li>\n<\/ul>\n<p>Cette formule donne la somme exacte des carr\u00e9s des \\(n\\) premiers entiers positifs en une seule \u00e9tape, sans avoir \u00e0 \u00e9lever chaque terme au carr\u00e9 et \u00e0 additionner les r\u00e9sultats un par un.<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Somme de carr\u00e9s cons\u00e9cutifs \u2013 Exemple de calcul<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Exemple&nbsp;:<\/strong> trouver la somme des carr\u00e9s des 5 premiers entiers naturels.<\/p>\n<p>\\[ 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = \\frac{5 \\cdot 6 \\cdot 11}{6} = \\frac{330}{6} = 55 \\]<\/p>\n<p><strong>R\u00e9sultat&nbsp;:<\/strong> la somme des carr\u00e9s cons\u00e9cutifs pour \\(n = 5\\) est 55.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Comment utiliser le calculateur<\/h2>\n<ol>\n<li>Entrez un entier positif dans le champ <strong>Nombre de termes (n)<\/strong> \u2014 par exemple, 5.<\/li>\n<li>Le calculateur affiche instantan\u00e9ment la <strong>Somme des carr\u00e9s<\/strong> \u2014 la valeur de \\(1^2 + 2^2 + \\dots + n^2\\).<\/li>\n<li>Modifiez la valeur de \\(n\\) pour recalculer la somme avec un autre nombre de termes.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Qu'est-ce que la somme de carr\u00e9s cons\u00e9cutifs ?<\/h2>\n<p>La somme de carr\u00e9s cons\u00e9cutifs est le total obtenu en \u00e9levant chacun des \\(n\\) premiers entiers naturels au carr\u00e9 et en additionnant les r\u00e9sultats : \\(1^2 + 2^2 + 3^2 + \\dots + n^2\\). Les additionner \u00e0 la main devient vite fastidieux \u2014 pour \\(n = 100\\), il faudrait calculer 100 carr\u00e9s et les additionner. La formule ferm\u00e9e \\(\\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\) ram\u00e8ne toute la t\u00e2che \u00e0 trois multiplications, une addition et une division, et donne la r\u00e9ponse exacte quelle que soit la taille de \\(n\\).<\/p>\n<p>Il s'agit de l'un des plus anciens r\u00e9sultats des math\u00e9matiques. Archim\u00e8de utilisait une relation \u00e9quivalente il y a plus de deux mille ans, et une d\u00e9monstration rigoureuse par r\u00e9currence est aujourd'hui un exercice classique des cours d'alg\u00e8bre. Cette formule appartient \u00e0 la famille des formules de \u00ab&nbsp;sommes de puissances&nbsp;\u00bb&nbsp;; le r\u00e9sultat analogue pour les cubes est encore plus simple : la somme des \\(n\\) premiers cubes est \u00e9gale \u00e0 \\(\\left(\\frac{n(n+1)}{2}\\right)^2\\), ce que vous pouvez v\u00e9rifier avec le <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/somme-cubes-consecutifs\/\">calculateur de somme de cubes cons\u00e9cutifs<\/a>.<\/p>\n<p>Au-del\u00e0 de la salle de classe, les sommes de carr\u00e9s apparaissent en statistique et en analyse de donn\u00e9es. La moyenne quadratique (RMS) des nombres \\(1, 2, \\dots, n\\), par exemple, est construite directement \u00e0 partir de cette somme \u2014 voir le <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/calculateur-moyenne-quadratique-rms\/\">calculateur de moyenne quadratique<\/a>. En statistique, le calcul de la variance n\u00e9cessite de sommer des \u00e9carts au carr\u00e9, et en informatique, la formule sert \u00e0 analyser la complexit\u00e9 temporelle des boucles imbriqu\u00e9es, o\u00f9 une boucle interne s'ex\u00e9cutant \\(1, 2, \\dots, n\\) fois donne exactement \\(\\frac{n(n+1)}{2}\\) it\u00e9rations pour la paire \u2014 et des versions au carr\u00e9 apparaissent dans des algorithmes comme les comparaisons et les \u00e9changes du tri \u00e0 bulles.<\/p>\n<p>Le r\u00e9sultat cro\u00eet approximativement comme \\(\\frac{n^3}{3}\\) pour les grands \\(n\\). Comme chaque terme est positif, la somme est toujours croissante en fonction de \\(n\\), et elle est toujours un entier \u2014 le produit \\(n(n+1)(2n+1)\\) est toujours divisible par 6, de sorte que la division ne produit jamais de fraction. Cela rend la formule s\u00fbre \u00e0 utiliser en programmation avec l'arithm\u00e9tique enti\u00e8re, \u00e0 condition que le produit interm\u00e9diaire ne d\u00e9passe pas la capacit\u00e9 du type entier.<\/p>\n<h2>Hypoth\u00e8ses, limites et conseils<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Entiers positifs uniquement.<\/strong> Le calculateur accepte \\(n \\geq 1\\). Il ne calcule pas la somme des carr\u00e9s \u00e0 partir d'un nombre arbitraire ou avec un pas personnalis\u00e9 \u2014 il commence toujours \u00e0 \\(1^2\\). Pour sommer \\(k^2 + (k+1)^2 + \\dots + n^2\\), calculez la somme pour \\(n\\) et soustrayez la somme pour \\(k-1\\).<\/li>\n<li><strong>Grandes valeurs de \\(n\\).<\/strong> Le r\u00e9sultat cro\u00eet de fa\u00e7on cubique, donc les nombres augmentent vite : pour \\(n = 1000\\), la somme atteint d\u00e9j\u00e0 338&nbsp;350. Le calculateur g\u00e8re les grandes valeurs, mais si vous impl\u00e9mentez la formule vous-m\u00eame, utilisez un type entier 64 bits ou un type \u00e0 virgule flottante pour \u00e9viter le d\u00e9bordement.<\/li>\n<li><strong>V\u00e9rification rapide.<\/strong> Un moyen simple de contr\u00f4ler un r\u00e9sultat&nbsp;: la somme des \\(n\\) premiers carr\u00e9s est toujours comprise entre \\(\\frac{n^3}{3}\\) et \\(\\frac{(n+1)^3}{3}\\), ce qui aide \u00e0 d\u00e9tecter les erreurs de frappe ou de d\u00e9bordement.<\/li>\n<li><strong>Sommes li\u00e9es.<\/strong> Si vous avez besoin de la somme des \\(n\\) premiers entiers simples, utilisez le <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/progression-arithmetique\/\">calculateur de progression arithm\u00e9tique<\/a>&nbsp;; pour une somme construite \u00e0 partir de rang\u00e9es de nombres, essayez le <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/sommes-triangle-floyd\/\">calculateur de somme du triangle de Floyd<\/a>.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Calculez la somme des carr\u00e9s des n premiers entiers naturels\u00a0: 1\u00b2 + 2\u00b2 + \u2026 + n\u00b2. 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