{"id":98,"date":"2026-10-03T06:05:27","date_gmt":"2026-10-03T03:05:27","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/?p=98"},"modified":"2026-10-03T06:05:27","modified_gmt":"2026-10-03T03:05:27","slug":"coefficient-binomial","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/coefficient-binomial\/","title":{"rendered":"Calculateur de coefficient binomial"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Calculer les combinaisons de \u00ab k parmi n \u00bb<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"98\" data-favorite-title=\"Coefficient binomial\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/coefficient-binomial\/\" data-favorite-excerpt=\"Calculez le coefficient binomial C(n, k), c\u2019est-\u00e0-dire le nombre de fa\u00e7ons de choisir k \u00e9l\u00e9ments parmi n sans tenir compte de l\u2019ordre. Saisissez n et k pour obtenir imm\u00e9diatement le r\u00e9sultat, la formule et un exemple d\u00e9taill\u00e9.\" aria-label=\"Ajouter aux favoris\" data-favorite-icon=\"icon icon-algebra\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/coefficient-binomial\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-98\" data-post=\"98\"><fieldset class=\"fieldset-input\"><legend class=\"sr-only\">Champs de saisie<\/legend><div class=\"field has-term\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">n (nombre total d\u2019\u00e9l\u00e9ments)<\/label><div class=\"term\">n<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"n_nombre_total_dlments\" id=\"field-1\" aria-describedby=\"calc-info-1\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" min=\"0\" value=\"5\"\/><small id=\"calc-info-1\">Saisissez le nombre total d\u2019\u00e9l\u00e9ments (n)<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">k (nombre d\u2019\u00e9l\u00e9ments choisis)<\/label><div class=\"term\">k<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"k_nombre_dlments_choisis\" id=\"field-2\" aria-describedby=\"calc-info-2\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" min=\"0\" value=\"2\"\/><small id=\"calc-info-2\">Saisissez le nombre d\u2019\u00e9l\u00e9ments \u00e0 choisir (k)<\/small><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Recalculer\" id=\"calculate-button\" data-post=\"98\">Calculer<\/button><button type=\"reset\">R\u00e9initialiser<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Calculer automatiquement<\/label><small>Si activ\u00e9, le r\u00e9sultat se met \u00e0 jour automatiquement d\u00e8s que vous modifiez une valeur.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Vos r\u00e9sultats<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Coefficient binomial<\/span><span class=\"result-term\">C(n, k)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copier le r\u00e9sultat\" aria-label=\"Copier le r\u00e9sultat\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Copier le lien vers ce calcul<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Laisser un commentaire<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"98\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Que pensez-vous de ce r\u00e9sultat\u00a0?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">J\u2019aime <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Utile <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Confus <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">D\u00e9\u00e7u <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Inexact <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Formule du coefficient binomial<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Formule<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ \\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!\\,(n-k)!} \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>O\u00f9&nbsp;:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(n\\) \u2014 nombre total d\u2019\u00e9l\u00e9ments (un entier positif ou nul)<\/li>\n<li>\\(k\\) \u2014 nombre d\u2019\u00e9l\u00e9ments \u00e0 choisir (\\(0 \\le k \\le n\\))<\/li>\n<li>\\(n!\\) \u2014 factorielle de \\(n\\), le produit \\(1 \\times 2 \\times \\dots \\times n\\), avec \\(0! = 1\\)<\/li>\n<\/ul>\n<p>La formule donne le nombre de sous-ensembles distincts de taille \\(k\\) que l\u2019on peut former \u00e0 partir de \\(n\\) \u00e9l\u00e9ments lorsque l\u2019ordre n\u2019a pas d\u2019importance. C\u2019est le m\u00eame coefficient que l\u2019on retrouve dans le triangle de Pascal et dans le d\u00e9veloppement de \\((a+b)^n\\).<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Coefficient binomial \u2013 exemple de calcul<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Exemple&nbsp;:<\/strong> il faut choisir un comit\u00e9 de 2 personnes parmi un groupe de 5. Combien de comit\u00e9s diff\u00e9rents peut-on former&nbsp;? Ici, \\(n = 5\\) et \\(k = 2\\).<\/p>\n<p>\\[ \\binom{5}{2} = \\frac{5!}{2!\\,(5-2)!} = \\frac{120}{2 \\times 6} = \\frac{120}{12} = 10 \\]<\/p>\n<p><strong>R\u00e9sultat&nbsp;:<\/strong> \\(\\binom{5}{2} = 10\\) \u2014 il y a 10 fa\u00e7ons de choisir 2 personnes parmi 5.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Comment utiliser le calculateur<\/h2>\n<ol>\n<li>Saisissez le nombre total d\u2019\u00e9l\u00e9ments dans le champ <strong>n (nombre total d\u2019\u00e9l\u00e9ments)<\/strong>.<\/li>\n<li>Saisissez le nombre d\u2019\u00e9l\u00e9ments \u00e0 choisir dans le champ <strong>k (\u00e9l\u00e9ments s\u00e9lectionn\u00e9s)<\/strong>. La valeur de \\(k\\) ne peut pas d\u00e9passer \\(n\\).<\/li>\n<li>Consultez le r\u00e9sultat sous <strong>Coefficient binomial<\/strong> : il correspond \u00e0 \\(\\binom{n}{k}\\), le nombre de s\u00e9lections possibles.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Qu\u2019est-ce que le coefficient binomial ?<\/h2>\n<p>Le coefficient binomial \\(\\binom{n}{k}\\), qui se lit \u00ab&nbsp;k parmi n&nbsp;\u00bb, r\u00e9pond \u00e0 une question fondamentale de d\u00e9nombrement&nbsp;: de combien de fa\u00e7ons peut-on choisir \\(k\\) objets parmi \\(n\\) lorsque l\u2019ordre des objets choisis n\u2019a pas d\u2019importance&nbsp;? Si vous avez 5 livres et souhaitez en emporter 2 en voyage, peu importe lequel vous prenez en premier&nbsp;: seule compte la paire qui se retrouve dans votre sac. C\u2019est pourquoi les coefficients binomiaux d\u00e9nombrent les <em>combinaisons<\/em>, par opposition aux <em>arrangements<\/em>, o\u00f9 l\u2019ordre compte et o\u00f9 le nombre de possibilit\u00e9s est plus \u00e9lev\u00e9.<\/p>\n<p>Le nom vient du th\u00e9or\u00e8me du bin\u00f4me&nbsp;: les coefficients du d\u00e9veloppement de \\((a+b)^n\\) sont pr\u00e9cis\u00e9ment \\(\\binom{n}{0}, \\binom{n}{1}, \\dots, \\binom{n}{n}\\). Par exemple, \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\), o\u00f9 le coefficient 2 est \u00e9gal \u00e0 \\(\\binom{2}{1}\\). Si vous souhaitez d\u00e9velopper des produits d\u2019expressions \u00e0 deux termes, le <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/multiplication-binomes\/\">calculateur de multiplication de bin\u00f4mes<\/a> et le <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/calculateur-methode-foil\/\">calculateur de la m\u00e9thode FOIL<\/a> permettent d\u2019effectuer directement cette \u00e9tape.<\/p>\n<p>Les coefficients binomiaux sont \u00e9galement \u00e0 la base du calcul des probabilit\u00e9s. Si une exp\u00e9rience comporte \\(n\\) essais ind\u00e9pendants, chacun ayant une probabilit\u00e9 de r\u00e9ussite \\(p\\), la probabilit\u00e9 d\u2019obtenir exactement \\(k\\) r\u00e9ussites est \\(\\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\\). Le coefficient d\u00e9nombre les fa\u00e7ons de d\u00e9terminer lesquels des \\(n\\) essais sont r\u00e9ussis, d\u2019o\u00f9 sa pr\u00e9sence chaque fois que l\u2019on d\u00e9nombre des groupes de r\u00e9sultats.<\/p>\n<p>Chaque ligne du triangle de Pascal donne les coefficients correspondant \u00e0 une valeur de \\(n\\) : la ligne 5 contient 1, 5, 10, 10, 5, 1, dont \\(\\binom{5}{2} = 10\\). Le triangle permet de voir facilement la sym\u00e9trie \\(\\binom{n}{k} = \\binom{n}{n-k}\\) et la relation de Pascal, \\(\\binom{n}{k} = \\binom{n-1}{k-1} + \\binom{n-1}{k}\\). Ce m\u00eame triangle est aussi li\u00e9 \u00e0 la <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/fr\/mathematiques\/generateur-suite-fibonacci\/\">suite de Fibonacci<\/a>, car les sommes de ses diagonales peu inclin\u00e9es donnent les nombres de Fibonacci.<\/p>\n<h2>Interpr\u00e9ter le r\u00e9sultat<\/h2>\n<p>Le r\u00e9sultat est toujours un nombre entier, car on ne peut pas avoir une fraction de s\u00e9lection. Deux cas particuliers sont \u00e0 retenir : \\(\\binom{n}{0} = 1\\) (il n\u2019existe qu\u2019une seule fa\u00e7on de ne rien choisir) et \\(\\binom{n}{n} = 1\\) (une seule fa\u00e7on de tout choisir). Si \\(k &gt; n\\), la s\u00e9lection est impossible et le calculateur affiche une erreur plut\u00f4t qu\u2019un nombre.<\/p>\n<p>Quelques identit\u00e9s utiles pour v\u00e9rifier votre calcul : \\(\\binom{n}{1} = n\\), \\(\\binom{n}{2} = \\frac{n(n-1)}{2}\\) et, par sym\u00e9trie, \\(\\binom{n}{k} = \\binom{n}{n-k}\\), donc \\(\\binom{5}{3} = \\binom{5}{2} = 10\\).<\/p>\n<h2>Hypoth\u00e8ses et limites<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Entiers uniquement.<\/strong> \\(n\\) et \\(k\\) doivent \u00eatre des entiers positifs ou nuls. L\u2019interpr\u00e9tation combinatoire consistant \u00e0 \u00ab&nbsp;choisir des \u00e9l\u00e9ments&nbsp;\u00bb ne s\u2019applique pas \u00e0 des valeurs fractionnaires.<\/li>\n<li><strong>\\(k \\le n\\).<\/strong> Si le nombre d\u2019\u00e9l\u00e9ments \u00e0 choisir d\u00e9passe le nombre d\u2019\u00e9l\u00e9ments disponibles, le calculateur signale une erreur&nbsp;; math\u00e9matiquement, \\(\\binom{n}{k} = 0\\) lorsque \\(k &gt; n\\).<\/li>\n<li><strong>L\u2019ordre n\u2019est pas pris en compte.<\/strong> Ce calculateur d\u00e9nombre les s\u00e9lections sans ordre. Si l\u2019ordre des \u00e9l\u00e9ments choisis compte, il faut calculer des arrangements, \\(P(n,k) = \\frac{n!}{(n-k)!}\\), dont le nombre est toujours sup\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 \\(\\binom{n}{k}\\).<\/li>\n<li><strong>Sans r\u00e9p\u00e9tition.<\/strong> Chacun des \\(n\\) \u00e9l\u00e9ments ne peut \u00eatre choisi qu\u2019une seule fois. Les s\u00e9lections avec r\u00e9p\u00e9tition se calculent \u00e0 l\u2019aide d\u2019une autre formule, \\(\\binom{n+k-1}{k}\\).<\/li>\n<li><strong>Limites de taille.<\/strong> Les factorielles augmentent extr\u00eamement vite ; \\(70!\\) d\u00e9passe d\u00e9j\u00e0 \\(10^{100}\\). Pour de tr\u00e8s grandes valeurs de \\(n\\), la pr\u00e9cision num\u00e9rique peut limiter les r\u00e9sultats, m\u00eame si la valeur math\u00e9matique est exacte.<\/li>\n<\/ul>\n<h2>Valeurs courantes<\/h2>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>\\(n\\)<\/th>\n<th>\\(k\\)<\/th>\n<th>\\(\\binom{n}{k}\\)<\/th>\n<th>Interpr\u00e9tation<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>4<\/td>\n<td>2<\/td>\n<td>6<\/td>\n<td>Paires parmi 4 \u00e9l\u00e9ments<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>5<\/td>\n<td>2<\/td>\n<td>10<\/td>\n<td>Paires parmi 5 \u00e9l\u00e9ments<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>6<\/td>\n<td>3<\/td>\n<td>20<\/td>\n<td>Triplets parmi 6 \u00e9l\u00e9ments<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>10<\/td>\n<td>5<\/td>\n<td>252<\/td>\n<td>La moiti\u00e9 de 10 \u00e9l\u00e9ments<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>52<\/td>\n<td>5<\/td>\n<td>2 598 960<\/td>\n<td>Mains de poker de 5 cartes<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>La derni\u00e8re ligne montre pourquoi les coefficients binomiaux sont l\u2019outil habituel pour les probl\u00e8mes de cartes&nbsp;: le nombre de mains distinctes de 5 cartes que l\u2019on peut tirer d\u2019un jeu de 52 cartes est exactement \\(\\binom{52}{5}\\).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Calculez le coefficient binomial C(n, k), c\u2019est-\u00e0-dire le nombre de fa\u00e7ons de choisir k \u00e9l\u00e9ments parmi n sans tenir compte de l\u2019ordre. 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