Калькулятор модуля комплексного числа
Мгновенно найдите модуль (абсолютную величину) комплексного числа z = a + bi. Введите действительную и мнимую части, и калькулятор вернёт |z| = sqrt(a² + b²) — величину числа на комплексной плоскости.
Найдите модуль комплексного числа
Формула модуля комплексного числа
Где:
- \(a\) — действительная часть комплексного числа
- \(b\) — мнимая часть комплексного числа (коэффициент при \(i\))
- \(|z|\) — модуль, также называемый абсолютной величиной или длиной числа \(z\)
Формула выражает расстояние по прямой от начала координат до точки \((a, b)\) на комплексной плоскости — это прямое применение теоремы Пифагора.
Модуль комплексного числа — пример вычисления
Пример: найдём модуль комплексного числа \(z = 3 + 4i\).
\[ |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
Результат: \( |z| = 5 \). Точка \((3, 4)\) находится ровно на расстоянии 5 единиц от начала координат комплексной плоскости.
Как пользоваться калькулятором
- Введите действительную часть \(a\) комплексного числа в поле Действительная часть (a) (например, 3).
- Введите мнимую часть \(b\) в поле Мнимая часть (b) (например, 4).
- Поле результата Модуль |z| обновляется автоматически и показывает величину комплексного числа \(a + bi\).
Оба поля принимают отрицательные и дробные значения, поэтому числа вида \(-3 - 4i\) или \(1{,}5 + 2{,}25i\) обрабатываются так же корректно. Если оставить мнимую часть равной 0, калькулятор просто вернёт абсолютную величину действительного числа.
Что такое модуль комплексного числа?
Комплексное число записывается как \(z = a + bi\), где \(a\) — действительная часть, а \(b\) — мнимая. Его можно изобразить точкой \((a, b)\) на комплексной плоскости, где действительная ось расположена горизонтально, а мнимая — вертикально. Модуль \(|z|\) — это расстояние от начала координат до этой точки, иными словами, «длина» числа независимо от его направления.
Модуль также называют абсолютной величиной или длиной комплексного числа. Он обобщает привычный модуль действительных чисел: для действительного числа \(x\) выполняется \(|x + 0i| = |x|\), так что оба определения полностью согласуются.
Знание модуля — ключевой шаг во многих приложениях. Вместе с аргументом (углом, который число образует с действительной осью) он задаёт тригонометрическую форму комплексного числа: \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\), где \(r = |z|\). Модуль также обладает удобными алгебраическими свойствами — например, \(|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\) и \(|z_1 / z_2| = |z_1| / |z_2|\) — что упрощает умножение и деление в тригонометрической форме.
На практике модули комплексных чисел встречаются повсюду: импеданс в анализе цепей переменного тока, амплитуды в обработке сигналов, собственные значения в линейной алгебре, волновые функции в физике. Везде, где комплексная величина описывает нечто физическое, её модуль обычно описывает измеримый размер этой величины.
Как интерпретировать результат
- |z| ≥ 0 всегда. Модуль — это расстояние, поэтому он не может быть отрицательным.
- |z| = 0 только при a = 0 и b = 0, то есть когда комплексное число равно нулю.
- Чем больше |z|, тем дальше точка от начала координат на комплексной плоскости и тем больше амплитуда значения в инженерных задачах.
- Результат теряет информацию о направлении. Числа вроде \(3 + 4i\), \(-3 + 4i\) и \(4 + 3i\) занимают связанные, но различные положения на плоскости; если вам нужен ещё и угол, воспользуйтесь конвертером тригонометрической формы.
Советы, допущения и ограничения
- Калькулятор ожидает число в алгебраической (прямоугольной) форме \(a + bi\). Если ваше число уже записано в тригонометрической форме \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\), модуль равен просто \(r\) — вычислять ничего не нужно.
- Знаки не меняют модуль: \(|a + bi| = |-a - bi|\), поскольку возведение в квадрат устраняет знаки. Отличается лишь аргумент (угол).
- Результат округляется до 4 знаков после запятой. Для большинства школьных и инженерных задач такой точности более чем достаточно.
- Полезная проверка: \(|z|^2 = a^2 + b^2\) равно произведению \(z \cdot \bar{z}\), где \(\bar{z}\) — сопряжённое комплексное число. Это тождество лежит в основе многих выводов комплексного анализа.
- При решении уравнений с комплексными корнями модули корней могут подсказать их геометрическое расположение. См. калькулятор комплексных корней или общий калькулятор комплексных чисел для related вычислений.
Краткая справочная таблица
| Комплексное число \(z\) | Действительная часть \(a\) | Мнимая часть \(b\) | Модуль \(|z|\) |
|---|---|---|---|
| \(3 + 4i\) | 3 | 4 | 5 |
| \(1 + i\) | 1 | 1 | \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\) |
| \(-5 + 12i\) | -5 | 12 | 13 |
| \(0 + 2i\) | 0 | 2 | 2 |
| \(-7 + 0i\) | -7 | 0 | 7 |
| \(5 - 12i\) | 5 | -12 | 13 |
Обратите внимание: последние две строки каждой пары имеют одинаковый модуль, хотя указывают в разных направлениях, — прямое следствие квадратов в формуле.
Часто задаваемые вопросы
Как найти модуль комплексного числа вручную?
Возведите действительную часть в квадрат, возведите мнимую часть в квадрат, сложите квадраты и извлеките квадратный корень. Например, для \(z = -5 + 12i\): \((-5)^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\), а \(\sqrt{169} = 13\). Остерегайтесь распространённой ошибки с возведением отрицательного числа в квадрат: \((-5)^2 = 25\), а не \(-25\).
Чему равен модуль чисто действительного или чисто мнимого числа?
Для чисто действительного числа вроде \(7\) или \(-7\) модуль — это обычная абсолютная величина: \(|7| = |-7| = 7\). Для чисто мнимого числа вроде \(2i\) или \(-2i\) действительная часть равна 0, поэтому модуль равен абсолютной величине мнимого коэффициента: \(|2i| = 2\). В обоих случаях точка лежит прямо на одной из осей комплексной плоскости.
Может ли модуль комплексного числа быть отрицательным или мнимым?
Нет, никогда. Модуль определяется как \(\sqrt{a^2 + b^2}\), и поскольку \(a^2 + b^2 \geq 0\) для любых действительных \(a\) и \(b\), результат всегда является неотрицательным действительным числом. Единственный способ получить \(|z| = 0\) — это когда обе части равны нулю, то есть \(z = 0\). Если у вас получился отрицательный или комплексный результат, где-то закралась арифметическая ошибка.
В чём разница между модулем и аргументом?
Модуль \(r = |z|\) показывает, насколько далеко число находится от начала координат, — его размер. Аргумент \(\theta\) измеряет угол между числом и положительным направлением действительной оси — его направление. Вместе они задают тригонометрическую форму \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\). Найти \(\theta\) можно из \(\tan\theta = b/a\), но будьте внимательны и правильно определите четверть по знакам \(a\) и \(b\).
Равен ли модуль суммы сумме модулей?
В общем случае нет. Правильное соотношение — неравенство треугольника: \(|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|\), причём равенство достигается, только когда два числа указывают в одном направлении. Например, \(|3 + 4i| + |3 - 4i| = 10\), но \(|(3 + 4i) + (3 - 4i)| = |6| = 6\). Зато модули корректно умножаются и делятся: \(|z_1 z_2| = |z_1||z_2|\).
В каких единицах измеряется модуль?
Если \(a\) и \(b\) безразмерны, модуль тоже безразмерен, но он наследует те единицы, в которых выражены части. В анализе цепей переменного тока комплексный импеданс \(Z = R + jX\) измеряется в омах, поэтому \(|Z|\) тоже выражается в омах. В обработке сигналов, если \(a\) и \(b\) — напряжения в вольтах, модуль представляет собой амплитуду напряжения в вольтах. Никакого пересчётного коэффициента не требуется — просто сохраняйте единицы исходных данных.
Почему у сопряжённого числа тот же модуль, что у исходного?
Сопряжение меняет знак мнимой части: \(\bar{z} = a - bi\). Поскольку \((a - bi)\) в квадрате даёт то же \(a^2 + b^2\), что и \((a + bi)\), модуль не меняется: \(|\bar{z}| = |z|\). Геометрически сопряжение отражает точку относительно действительной оси, что сохраняет её расстояние от начала координат. Полезное тождество: \(z \cdot \bar{z} = |z|^2\).