{"id":136,"date":"2026-10-04T08:56:31","date_gmt":"2026-10-04T07:56:31","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozklad-dwumianowy\/"},"modified":"2026-10-04T08:56:31","modified_gmt":"2026-10-04T07:56:31","slug":"kalkulator-rozklad-dwumianowy","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozklad-dwumianowy\/","title":{"rendered":"Kalkulator rozk\u0142adu dwumianowego"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Oblicz prawdopodobie\u0144stwa dwumianowe<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"136\" data-favorite-title=\"Rozk\u0142ad dwumianowy\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozklad-dwumianowy\/\" data-favorite-excerpt=\"Oblicz prawdopodobie\u0144stwa dwumianowe: P(X = k), skumulowane P(X \u2264 k), P(X \u2265 k) lub przedzia\u0142 liczby sukces\u00f3w. Podaj liczb\u0119 pr\u00f3b, prawdopodobie\u0144stwo sukcesu oraz k, aby otrzyma\u0107 tak\u017ce \u015bredni\u0105, wariancj\u0119 i odchylenie standardowe.\" aria-label=\"Dodaj do ulubionych\" data-favorite-icon=\"icon icon-wpcalc-distribution-histogram\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozklad-dwumianowy\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-136\" data-post=\"136\"><fieldset class=\"fieldset-input is-1\"><legend class=\"sr-only\">Pola danych<\/legend><div class=\"field has-term\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Liczba pr\u00f3b (n)<\/label><div class=\"term\">n<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"liczba_prb_n\" id=\"field-1\" aria-describedby=\"calc-info-1\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 10\" min=\"1\" max=\"10000\" value=\"10\"\/><small id=\"calc-info-1\">Liczba niezale\u017cnych pr\u00f3b Bernoulliego. Liczba ca\u0142kowita od 1 do 10 000.<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">Prawdopodobie\u0144stwo sukcesu (p)<\/label><div class=\"term\">p<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"prawdopodobiestwo_sukcesu_p\" id=\"field-2\" aria-describedby=\"calc-unit-2 calc-info-2\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 50\" min=\"0\" max=\"100\" value=\"50\"\/><div class=\"unit\" id=\"calc-unit-2\">%<\/div><small id=\"calc-info-2\">Szansa sukcesu w pojedynczej pr\u00f3bie, od 0% do 100%.<\/small><\/div><div class=\"field\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">Interesuj\u0105ce nas sukcesy<\/label><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-3\" name=\"interesujce_nas_sukcesy\"><option value=\"exact\" selected>Dok\u0142adnie k sukces\u00f3w<\/option><option value=\"range\">Pomi\u0119dzy k\u2081 a k\u2082 sukces\u00f3w<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-4\"><label for=\"field-4\">Liczba sukces\u00f3w (k)<\/label><div class=\"term\">k<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"liczba_sukcesw_k\" id=\"field-4\" aria-describedby=\"calc-info-4\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 5\" min=\"0\" value=\"5\"\/><small id=\"calc-info-4\">Liczba ca\u0142kowita od 0 do n. W trybie przedzia\u0142u jest to dolna granica k\u2081.<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-5\" hidden><label for=\"field-5\">G\u00f3rna granica (k\u2082)<\/label><div class=\"term\">k\u2082<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"grna_granica_k\" id=\"field-5\" aria-describedby=\"calc-info-5\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 7\" min=\"0\" value=\"7\"\/><small id=\"calc-info-5\">G\u00f3rna granica przedzia\u0142u. Musi wynosi\u0107 co najmniej k\u2081.<\/small><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Przelicz ponownie\" id=\"calculate-button\" data-post=\"136\">Oblicz<\/button><button type=\"reset\">Wyczy\u015b\u0107<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Obliczaj automatycznie<\/label><small>Po w\u0142\u0105czeniu wynik aktualizuje si\u0119 automatycznie po zmianie dowolnej warto\u015bci.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Twoje wyniki<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>P(X = k)<\/span><span class=\"result-term\">pmf<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>P(X \u2264 k)<\/span><span class=\"result-term\">cdf<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>P(X \u2265 k)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-4\"><span class=\"field-title\"><span>P(k\u2081 \u2264 X \u2264 k\u2082)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-4\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-5\"><span class=\"field-title\"><span>\u015arednia<\/span><span class=\"result-term\">\u03bc<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-5\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-6\"><span class=\"field-title\"><span>Wariancja<\/span><span class=\"result-term\">\u03c3\u00b2<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-6\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-7\"><span class=\"field-title\"><span>Odchylenie standardowe<\/span><span class=\"result-term\">\u03c3<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-7\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-8\"><span class=\"field-title\"><span>Interpretacja i szczeg\u00f3\u0142y<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-8\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Kopiuj link do tego obliczenia<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Zostaw komentarz<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"136\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Jak oceniasz ten wynik?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Lubi\u0119 to <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Pomocne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niejasne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Rozczarowanie <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niedok\u0142adne <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Wz\u00f3r na rozk\u0142ad dwumianowy<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Wz\u00f3r<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ P(X = k) = \\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \\qquad \\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!\\,(n-k)!} \\\\ P(X \\le k) = \\sum_{i=0}^{k} \\binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}, \\qquad P(X \\ge k) = 1 - P(X \\le k-1) \\\\ \\mu = np, \\qquad \\sigma^2 = np(1-p), \\qquad \\sigma = \\sqrt{np(1-p)} \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>Gdzie:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(n\\) \u2014 liczba niezale\u017cnych pr\u00f3b<\/li>\n<li>\\(p\\) \u2014 prawdopodobie\u0144stwo sukcesu w pojedynczej pr\u00f3bie (od 0 do 1)<\/li>\n<li>\\(k\\) \u2014 interesuj\u0105ca nas liczba sukces\u00f3w (\\(0 \\le k \\le n\\))<\/li>\n<li>\\(\\binom{n}{k}\\) \u2014 wsp\u00f3\u0142czynnik dwumianowy, czyli liczba sposob\u00f3w wybrania \\(k\\) sukces\u00f3w spo\u015br\u00f3d \\(n\\) pr\u00f3b<\/li>\n<li>\\(\\mu\\), \\(\\sigma^2\\), \\(\\sigma\\) \u2014 \u015brednia, wariancja i odchylenie standardowe rozk\u0142adu<\/li>\n<\/ul>\n<p>Pierwszy wz\u00f3r opisuje funkcj\u0119 prawdopodobie\u0144stwa (pmf): szans\u0119 na dok\u0142adnie \\(k\\) sukces\u00f3w w \\(n\\) pr\u00f3bach. Drugi podaje dystrybuant\u0119 (cdf), czyli szans\u0119 na co najwy\u017cej \\(k\\) sukces\u00f3w, uzyskan\u0105 przez zsumowanie pmf od 0 do \\(k\\).<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Rozk\u0142ad dwumianowy \u2013 przyk\u0142ad obliczenia<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Przyk\u0142ad:<\/strong> rzucamy uczciw\u0105 monet\u0105 10 razy. Jakie jest prawdopodobie\u0144stwo wypadni\u0119cia dok\u0142adnie 5 or\u0142\u00f3w? Tu \\(n = 10\\), \\(p = 0.5\\), \\(k = 5\\).<\/p>\n<p>\\[ P(X = 5) = \\binom{10}{5} (0.5)^5 (0.5)^{10-5} = 252 \\cdot \\frac{1}{1024} = 0.246094 \\approx 24.61\\% \\]<\/p>\n<p>\\[ P(X \\le 5) = \\sum_{i=0}^{5} \\binom{10}{i}(0.5)^{10} = \\frac{638}{1024} = 0.623047 \\approx 62.30\\% \\]<\/p>\n<p>\\[ \\mu = 10 \\cdot 0.5 = 5, \\qquad \\sigma^2 = 10 \\cdot 0.5 \\cdot 0.5 = 2.5, \\qquad \\sigma = \\sqrt{2.5} \\approx 1.5811 \\]<\/p>\n<p><strong>Wynik:<\/strong> P(X = 5) = 0,246094 (24,61%), P(X \u2264 5) = 0,623047 (62,30%), P(X \u2265 5) = 0,623047 (62,30%), \u015brednia = 5, wariancja = 2,5, odchylenie standardowe \u2248 1,5811.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Jak korzysta\u0107 z kalkulatora<\/h2>\n<ol>\n<li>Wpisz <strong>Liczb\u0119 pr\u00f3b (n)<\/strong> \u2014 liczba ca\u0142kowita od 1 do 10&nbsp;000.<\/li>\n<li>Wpisz <strong>Prawdopodobie\u0144stwo sukcesu (p)<\/strong> jako procent od 0% do 100% (np. wpisz 50 dla uczciwej monety).<\/li>\n<li>Wybierz tryb w sekcji <strong>Interesuj\u0105ca nas liczba sukces\u00f3w<\/strong>: \u201eDok\u0142adnie k sukces\u00f3w\u201d dla pojedynczej warto\u015bci lub \u201eMi\u0119dzy k\u2081 a k\u2082 sukces\u00f3w\u201d dla przedzia\u0142u.<\/li>\n<li>Wpisz <strong>Liczb\u0119 sukces\u00f3w (k)<\/strong>. W trybie przedzia\u0142owym jest to dolna granica k\u2081.<\/li>\n<li>Je\u015bli wybra\u0142e\u015b tryb przedzia\u0142owy, wpisz tak\u017ce <strong>G\u00f3rn\u0105 granic\u0119 (k\u2082)<\/strong>, kt\u00f3ra musi wynosi\u0107 co najmniej k\u2081.<\/li>\n<li>Odczytaj wyniki: P(X = k), P(X \u2264 k), P(X \u2265 k), a w trybie przedzia\u0142owym tak\u017ce P(k\u2081 \u2264 X \u2264 k\u2082), oraz \u015bredni\u0105, wariancj\u0119 i odchylenie standardowe. Blok interpretacji podaje r\u00f3wnie\u017c prawdopodobie\u0144stwa uzupe\u0142niaj\u0105ce, takie jak P(X &lt; k) i P(X &gt; k).<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Czym jest rozk\u0142ad dwumianowy?<\/h2>\n<p>Rozk\u0142ad dwumianowy modeluje liczb\u0119 sukces\u00f3w w ustalonej liczbie niezale\u017cnych pr\u00f3b, gdzie ka\u017cda pr\u00f3ba ma to samo prawdopodobie\u0144stwo sukcesu \\(p\\). Ka\u017cda pr\u00f3ba ma dok\u0142adnie dwa wyniki \u2014 sukces lub pora\u017ck\u0119 \u2014 dlatego nazywa si\u0119 j\u0105 pr\u00f3b\u0105 Bernoulliego. Klasyczne przyk\u0142ady to liczba or\u0142\u00f3w w serii rzut\u00f3w monet\u0105, liczba wadliwych sztuk w pr\u00f3bie lub liczba pacjent\u00f3w reaguj\u0105cych na leczenie.<\/p>\n<p>\u015arednia rozk\u0142adu to \\(\\mu = np\\): \u015brednio oczekujemy \\(n \\cdot p\\) sukces\u00f3w. Rozrzut mierzy wariancja \\(\\sigma^2 = np(1-p)\\) oraz odchylenie standardowe \\(\\sigma\\). Gdy \\(p = 0.5\\), rozk\u0142ad jest symetryczny wzgl\u0119dem \\(n\/2\\); gdy \\(p\\) jest bliskie 0 lub 1, staje si\u0119 sko\u015bny, koncentruj\u0105c si\u0119 w pobli\u017cu 0 lub \\(n\\).<\/p>\n<p>Kalkulator rozr\u00f3\u017cnia prawdopodobie\u0144stwa dok\u0142adne i skumulowane. Funkcja pmf odpowiada na pytanie \u201ejakie s\u0105 szanse na dok\u0142adnie k sukces\u00f3w\u201d, a dystrybuanta \u2014 \u201ejakie s\u0105 szanse na co najwy\u017cej k sukces\u00f3w\u201d. W praktyce warto\u015bci skumulowane s\u0105 cz\u0119sto bardziej u\u017cyteczne: je\u015bli np. k jest progiem jako\u015bci, P(X \u2264 k) m\u00f3wi, jakie jest prawdopodobie\u0144stwo pozostania w limicie, a 1 \u2212 P(X \u2264 k) \u2014 prawdopodobie\u0144stwo jego przekroczenia. Zwr\u00f3\u0107 uwag\u0119, \u017ce P(X \u2265 k) obejmuje samo k; je\u015bli potrzebujesz \u015bci\u015ble wi\u0119cej ni\u017c k, u\u017cyj P(X &gt; k) = 1 \u2212 P(X \u2264 k), podanego w bloku interpretacji.<\/p>\n<h2>Za\u0142o\u017cenia, ograniczenia i wskaz\u00f3wki<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Ustalona liczba pr\u00f3b.<\/strong> \\(n\\) musi by\u0107 okre\u015blone z g\u00f3ry. Je\u015bli sama liczba pr\u00f3b jest losowa, bardziej odpowiedni jest inny model (np. rozk\u0142ad Poissona).<\/li>\n<li><strong>Niezale\u017cno\u015b\u0107.<\/strong> Wynik jednej pr\u00f3by nie mo\u017ce wp\u0142ywa\u0107 na inn\u0105. Losowanie bez zwracania z ma\u0142ej populacji \u0142amie t\u0119 zasad\u0119; u\u017cyj w\u00f3wczas rozk\u0142adu hipergeometrycznego.<\/li>\n<li><strong>Sta\u0142e prawdopodobie\u0144stwo sukcesu.<\/strong> \\(p\\) musi by\u0107 takie samo w ka\u017cdej pr\u00f3bie. Je\u015bli zmienia si\u0119 z pr\u00f3by na pr\u00f3b\u0119, model dwumianowy przestaje obowi\u0105zywa\u0107.<\/li>\n<li><strong>Du\u017ce n.<\/strong> Kalkulator stosuje numerycznie stabiln\u0105 metod\u0119 opart\u0105 na funkcji log-gamma, wi\u0119c radzi sobie z du\u017cymi \\(n\\) (do 10 000) bez przepe\u0142nienia. Dla bardzo ma\u0142ych prawdopodobie\u0144stw wynik jest pokazywany w notacji naukowej.<\/li>\n<li><strong>Interpretacja male\u0144kich prawdopodobie\u0144stw.<\/strong> Wynik typu \u201e\u2248 0%\u201d nie oznacza niemo\u017cliwo\u015bci \u2014 mo\u017ce jedynie znaczy\u0107, \u017ce prawdopodobie\u0144stwo jest mniejsze ni\u017c oko\u0142o \\(10^{-8}\\). Sprawd\u017a warto\u015b\u0107 dziesi\u0119tn\u0105 podan\u0105 obok procentu.<\/li>\n<li><strong>Regu\u0142a kciuka dla przybli\u017cenia.<\/strong> Dla du\u017cych \\(n\\), gdy \\(np\\) i \\(n(1-p)\\) s\u0105 oba wi\u0119ksze od oko\u0142o 5, rozk\u0142ad dwumianowy jest dobrze przybli\u017cany rozk\u0142adem normalnym o \u015bredniej \\(np\\) i odchyleniu standardowym \\(\\sqrt{np(1-p)}\\) \u2014 przydatne do szybkich szacunk\u00f3w w pami\u0119ci.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Oblicz prawdopodobie\u0144stwa dwumianowe: P(X = k), skumulowane P(X \u2264 k), P(X \u2265 k) lub przedzia\u0142 liczby sukces\u00f3w. Podaj liczb\u0119 pr\u00f3b, prawdopodobie\u0144stwo sukcesu oraz k, aby otrzyma\u0107 tak\u017ce \u015bredni\u0105, wariancj\u0119 i odchylenie standardowe.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[11],"tags":[34],"class_list":["post-136","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-statystyka","tag-rozklady"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/136","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=136"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/136\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1956,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/136\/revisions\/1956"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=136"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=136"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=136"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}