{"id":194,"date":"2026-10-04T09:07:47","date_gmt":"2026-10-04T08:07:47","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/chinskie-twierdzenie-o-resztach\/"},"modified":"2026-10-04T09:07:47","modified_gmt":"2026-10-04T08:07:47","slug":"chinskie-twierdzenie-o-resztach","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/chinskie-twierdzenie-o-resztach\/","title":{"rendered":"Kalkulator chi\u0144skiego twierdzenia o resztach"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Rozwi\u0105zywanie uk\u0142ad\u00f3w kongruencji<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"194\" data-favorite-title=\"Chi\u0144skie twierdzenie o resztach\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/chinskie-twierdzenie-o-resztach\/\" data-favorite-excerpt=\"Rozwi\u0105zuje uk\u0142ad kongruencji przy u\u017cyciu chi\u0144skiego twierdzenia o resztach. Wprowad\u017a reszty i parami wzgl\u0119dnie pierwsze modu\u0142y, aby otrzyma\u0107 najmniejsze nieujemne rozwi\u0105zanie.\" aria-label=\"Dodaj do ulubionych\" data-favorite-icon=\"icon icon-arithmetic\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/chinskie-twierdzenie-o-resztach\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-194\" data-post=\"194\"><fieldset class=\"fieldset-input\"><legend class=\"sr-only\">Pola danych<\/legend><div class=\"field is-single\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Liczba kongruencji<\/label><input type=\"text\" name=\"liczba_kongruencji\" id=\"field-1\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" min=\"2\" value=\"2\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">reszta 1<\/label><div class=\"term\">a\u2081<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"reszta_1\" id=\"field-2\" step=\"any\" value=\"2\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">modu\u0142 1<\/label><div class=\"term\">n\u2081<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"modu_1\" id=\"field-3\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" min=\"1\" value=\"3\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-4\"><label for=\"field-4\">reszta 2<\/label><div class=\"term\">a\u2082<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"reszta_2\" id=\"field-4\" step=\"any\" value=\"3\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-5\"><label for=\"field-5\">modu\u0142 2<\/label><div class=\"term\">n\u2082<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"modu_2\" id=\"field-5\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" min=\"1\" value=\"5\"\/><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Przelicz ponownie\" id=\"calculate-button\" data-post=\"194\">Oblicz<\/button><button type=\"reset\">Wyczy\u015b\u0107<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Obliczaj automatycznie<\/label><small>Po w\u0142\u0105czeniu wynik aktualizuje si\u0119 automatycznie po zmianie dowolnej warto\u015bci.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Twoje wyniki<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Najmniejsze nieujemne rozwi\u0105zanie<\/span><span class=\"result-term\">x<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>Modulo (NWW modu\u0142\u00f3w)<\/span><span class=\"result-term\">N<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Kopiuj link do tego obliczenia<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Zostaw komentarz<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"194\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Jak oceniasz ten wynik?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Lubi\u0119 to <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Pomocne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niejasne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Rozczarowanie <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niedok\u0142adne <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Wz\u00f3r chi\u0144skiego twierdzenia o resztach<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Wz\u00f3r<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ x \\equiv a_1 \\pmod{n_1} \\\\ x \\equiv a_2 \\pmod{n_2} \\\\ \\vdots \\\\ x \\equiv a_k \\pmod{n_k} \\\\[1.5em] N = n_1 \\cdot n_2 \\cdots n_k, \\quad N_i = \\frac{N}{n_i}, \\quad y_i \\equiv N_i^{-1} \\pmod{n_i} \\\\[1.5em] x \\equiv \\sum_{i=1}^{k} a_i \\, N_i \\, y_i \\pmod{N} \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>Gdzie:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(a_i\\) \u2014 reszty (warto\u015bci, kt\u00f3rym \\(x\\) ma by\u0107 kongruentne)<\/li>\n<li>\\(n_i\\) \u2014 modu\u0142y, kt\u00f3re musz\u0105 by\u0107 parami wzgl\u0119dnie pierwsze (najwi\u0119kszy wsp\u00f3lny dzielnik ka\u017cdej pary z nich r\u00f3wna si\u0119 1)<\/li>\n<li>\\(N\\) \u2014 iloczyn wszystkich modu\u0142\u00f3w, kt\u00f3ry przy zachowaniu wzgl\u0119dnej pierwszo\u015bci jest r\u00f3wny ich najmniejszej wsp\u00f3lnej wielokrotno\u015bci<\/li>\n<li>\\(N_i\\) \u2014 iloczyn wszystkich modu\u0142\u00f3w z wyj\u0105tkiem \\(n_i\\)<\/li>\n<li>\\(y_i\\) \u2014 odwrotno\u015b\u0107 \\(N_i\\) modulo \\(n_i\\), czyli liczba spe\u0142niaj\u0105ca \\(N_i y_i \\equiv 1 \\pmod{n_i}\\)<\/li>\n<li>\\(x\\) \u2014 jedyne rozwi\u0105zanie modulo \\(N\\)<\/li>\n<\/ul>\n<p>Twierdzenie m\u00f3wi, \u017ce gdy modu\u0142y s\u0105 parami wzgl\u0119dnie pierwsze, uk\u0142ad ma dok\u0142adnie jedno rozwi\u0105zanie w zakresie \\(0 \\le x &lt; N\\). Wz\u00f3r buduje to rozwi\u0105zanie, \u0142\u0105cz\u0105c ka\u017cd\u0105 reszt\u0119 z odwrotno\u015bci\u0105 odpowiedniego iloczynu cz\u0119\u015bciowego.<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Chi\u0144skie twierdzenie o resztach \u2014 przyk\u0142ad obliczenia<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Przyk\u0142ad:<\/strong> znajd\u017a \\(x\\) takie, \u017ce \\(x \\equiv 2 \\pmod{3}\\) oraz \\(x \\equiv 3 \\pmod{5}\\) \u2014 s\u0105 to domy\u015blne warto\u015bci kalkulatora.<\/p>\n<p>\\[ N = 3 \\times 5 = 15 \\]<\/p>\n<p>\\[ N_1 = \\frac{15}{3} = 5, \\quad y_1 = 2 \\; (\\text{poniewa\u017c } 5 \\cdot 2 = 10 \\equiv 1 \\pmod{3}) \\]<\/p>\n<p>\\[ N_2 = \\frac{15}{5} = 3, \\quad y_2 = 2 \\; (\\text{poniewa\u017c } 3 \\cdot 2 = 6 \\equiv 1 \\pmod{5}) \\]<\/p>\n<p>\\[ x \\equiv (2 \\cdot 5 \\cdot 2) + (3 \\cdot 3 \\cdot 2) \\pmod{15} \\equiv 20 + 18 = 38 \\equiv 8 \\pmod{15} \\]<\/p>\n<p><strong>Wynik:<\/strong> \\(x = 8\\) modulo \\(15\\). Rzeczywi\u015bcie, \\(8 \\div 3 = 2\\) z reszt\u0105 \\(2\\) oraz \\(8 \\div 5 = 1\\) z reszt\u0105 \\(3\\), wi\u0119c obie kongruencje s\u0105 spe\u0142nione. Kolejne rozwi\u0105zanie to \\(8 + 15 = 23\\), potem \\(38\\) itd.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Jak korzysta\u0107 z kalkulatora<\/h2>\n<ol>\n<li>Wprowad\u017a <strong>Liczba kongruencji<\/strong> (co najmniej 2). Kolejne pary reszta\/modu\u0142 pojawi\u0105 si\u0119 automatycznie.<\/li>\n<li>Dla pierwszej kongruencji wpisz reszt\u0119 w pole <strong>reszta 1<\/strong> (\\(a_1\\)) i modu\u0142 w pole <strong>modu\u0142 1<\/strong> (\\(n_1\\)).<\/li>\n<li>Powt\u00f3rz dla <strong>reszty 2<\/strong> \/ <strong>modu\u0142u 2<\/strong> oraz ewentualnych kolejnych par.<\/li>\n<li>Odczytaj <strong>Najmniejsze nieujemne rozwi\u0105zanie<\/strong> \\(x\\) oraz <strong>Modulo (NWW modu\u0142\u00f3w)<\/strong> \\(N\\). Ka\u017cda liczba postaci \\(x + kN\\) (\\(k = 0, 1, 2, \\dots\\)) r\u00f3wnie\u017c spe\u0142nia uk\u0142ad.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Czym jest chi\u0144skie twierdzenie o resztach?<\/h2>\n<p>Chi\u0144skie twierdzenie o resztach (CRT, z ang. Chinese Remainder Theorem) to klasyczny wynik teorii liczb, po raz pierwszy opisany przez chi\u0144skiego matematyka Sunzi oko\u0142o III\u2013V w. n.e. Odpowiada ono na pytanie: maj\u0105c kilka dzielnik\u00f3w oraz reszty pozosta\u0142e po dzieleniu nieznanej liczby przez ka\u017cdy z nich, czy mo\u017cna t\u0119 liczb\u0119 odtworzy\u0107? Twierdzenie m\u00f3wi, \u017ce tak \u2014 pod warunkiem, \u017ce modu\u0142y s\u0105 parami wzgl\u0119dnie pierwsze \u2014 i \u017ce odpowied\u017a jest jednoznaczna w zakresie o d\u0142ugo\u015bci r\u00f3wnej iloczynowi wszystkich modu\u0142\u00f3w.<\/p>\n<p>Ilustruje to przyk\u0142ad: je\u015bli koszyk zawiera \\(x\\) jajek, liczenie ich po 3 zostawia reszt\u0119 2, a liczenie po 5 \u2014 reszt\u0119 3, to \\(x \\equiv 2 \\pmod{3}\\) oraz \\(x \\equiv 3 \\pmod{5}\\). Twierdzenie jednoznacznie wyznacza \\(x\\) modulo 15 \u2014 w tym przypadku \\(x = 8, 23,! 38, \\dots\\)<\/p>\n<p>Twierdzenie jest wa\u017cne, poniewa\u017c pokazuje, \u017ce uk\u0142ad wielu ma\u0142ych kongruencji jest r\u00f3wnowa\u017cny jednej kongruencji o du\u017cym module. Dzi\u0119ki temu arytmetyk\u0119 z ogromnym modu\u0142em mo\u017cna zast\u0105pi\u0107 r\u00f3wnoleg\u0142\u0105 arytmetyk\u0105 na kilku ma\u0142ych, wygodnych modu\u0142ach, a nast\u0119pnie po\u0142\u0105czy\u0107 wyniki. Krok \u0142\u0105czenia wykorzystuje odwrotno\u015bci modulo, kt\u00f3re mo\u017cna obliczy\u0107 osobno <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/odwrotnosc-modulo\/\">kalkulatorem odwrotno\u015bci modulo<\/a>; odwrotno\u015bci tego rodzaju \u0142\u0105cz\u0105 si\u0119 tak\u017ce z <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/male-twierdzenie-fermata\/\">ma\u0142ym twierdzeniem Fermata<\/a> i <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/twierdzenie-eulera\/\">twierdzeniem Eulera<\/a>.<\/p>\n<h2>Interpretacja wyniku<\/h2>\n<p>Kalkulator zwraca najmniejsze nieujemne rozwi\u0105zanie \\(x\\) oraz \u0142\u0105czny modu\u0142 \\(N\\). Pe\u0142ny zbi\u00f3r rozwi\u0105za\u0144 to \\(x, x + N, x + 2N, \\dots\\), a je\u015bli w twoim zadaniu sensowne s\u0105 odpowiedzi ujemne, \\(x - N\\) i mniejsze warto\u015bci r\u00f3wnie\u017c s\u0105 poprawne. Poniewa\u017c rozwi\u0105zanie jest jednoznaczne modulo \\(N\\), dwa r\u00f3\u017cne zestawy danych daj\u0105ce t\u0119 sam\u0105 warto\u015b\u0107 \\(x \\pmod{N}\\) opisuj\u0105 dok\u0142adnie ten sam uk\u0142ad.<\/p>\n<h2>Za\u0142o\u017cenia i ograniczenia<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Modu\u0142y musz\u0105 by\u0107 parami wzgl\u0119dnie pierwsze.<\/strong> Ka\u017cda para modu\u0142\u00f3w nie mo\u017ce mie\u0107 wsp\u00f3lnego dzielnika wi\u0119kszego ni\u017c 1; w przeciwnym razie kalkulator zg\u0142osi b\u0142\u0105d. Je\u015bli dwa modu\u0142y to np. 4 i 6 (oba podzielne przez 2), uk\u0142ad mo\u017ce w og\u00f3le nie mie\u0107 rozwi\u0105zania albo mie\u0107 kilka rozwi\u0105za\u0144 modulo ich NWW.<\/li>\n<li><strong>Zgodno\u015b\u0107 uk\u0142adu.<\/strong> Przy modu\u0142ach wzgl\u0119dnie pierwszych twierdzenie zawsze daje rozwi\u0105zanie \u2014 to jest w\u0142a\u015bnie si\u0142a CRT. Sprzeczno\u015bci mi\u0119dzy kongruencjami mog\u0105 powsta\u0107 wy\u0142\u0105cznie wtedy, gdy warunek wzgl\u0119dnej pierwszo\u015bci jest naruszony.<\/li>\n<li><strong>Reszty mog\u0105 przekracza\u0107 modu\u0142.<\/strong> Dane typu \\(a = 7, n = 5\\) s\u0105 traktowane jako \\(7 \\equiv 2 \\pmod 5\\); kalkulator automatycznie redukuje ostateczn\u0105 odpowied\u017a modulo \\(N\\).<\/li>\n<li><strong>Modu\u0142y musz\u0105 by\u0107 dodatnimi liczbami ca\u0142kowitymi.<\/strong> Warto\u015bci 0 oraz ujemne s\u0105 odrzucane.<\/li>\n<li><strong>Du\u017ce uk\u0142ady.<\/strong> Poniewa\u017c \\(N\\) jest iloczynem wszystkich modu\u0142\u00f3w, ro\u015bnie bardzo szybko. Przy wielu modu\u0142ach wyst\u0119puj\u0105ce liczby mog\u0105 przekroczy\u0107 zakres, w kt\u00f3rym standardowa arytmetyka zmiennoprzecinkowa jest dok\u0142adna.<\/li>\n<\/ul>\n<h2>Zastosowania chi\u0144skiego twierdzenia o resztach<\/h2>\n<p>Poza czyst\u0105 teori\u0105 liczb CRT jest praktycznym narz\u0119dziem w wielu dziedzinach. W kryptografii przyspiesza deszyfrowanie RSA, obliczaj\u0105c wyniki modulo ka\u017cdy czynnik pierwszy osobno i \u0142\u0105cz\u0105c je ponownie; stanowi te\u017c podstaw\u0119 schemat\u00f3w progowych, takich jak dzielenie sekretu Shamira. W informatyce umo\u017cliwia systemy liczbowe rezydualne, wykonuj\u0105ce dodawania i mno\u017cenia r\u00f3wnolegle na ma\u0142ych modu\u0142ach, a pojawia si\u0119 tak\u017ce w hashowaniu, planowaniu i obliczeniach kalendarzowych \u2014 w klasycznych zadaniach typu \u201eliczenie \u017co\u0142nierzy w rz\u0119dach\u201d, kt\u00f3re pierwotnie zainspirowa\u0142y prac\u0119 Sunzi.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Rozwi\u0105zuje uk\u0142ad kongruencji przy u\u017cyciu chi\u0144skiego twierdzenia o resztach. Wprowad\u017a reszty i parami wzgl\u0119dnie pierwsze modu\u0142y, aby otrzyma\u0107 najmniejsze nieujemne rozwi\u0105zanie.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[17],"class_list":["post-194","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematyka","tag-kalkulatory-arytmetyczne"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/194","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=194"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/194\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1579,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/194\/revisions\/1579"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=194"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=194"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=194"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}