{"id":2452,"date":"2026-10-08T08:50:18","date_gmt":"2026-10-08T07:50:18","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-lognormalnego\/"},"modified":"2026-10-08T08:50:18","modified_gmt":"2026-10-08T07:50:18","slug":"kalkulator-rozkladu-lognormalnego","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-lognormalnego\/","title":{"rendered":"Kalkulator rozk\u0142adu lognormalnego"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Prawdopodobie\u0144stwa dla zmiennej lognormalnej<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"2452\" data-favorite-title=\"Rozk\u0142ad lognormalny\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-lognormalnego\/\" data-favorite-excerpt=\"Wpisz \u015bredni\u0105 i odchylenie standardowe ln(X), aby obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwa rozk\u0142adu lognormalnego: g\u0119sto\u015b\u0107 i dystrybuant\u0119 w punkcie albo prawdopodobie\u0144stwo w przedziale, a tak\u017ce \u015bredni\u0105 i median\u0119 X.\" aria-label=\"Dodaj do ulubionych\" data-favorite-icon=\"icon icon-wpcalc-distribution-histogram\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-lognormalnego\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-2452\" data-post=\"2452\"><fieldset class=\"fieldset-input is-1\"><legend class=\"sr-only\">Pola danych<\/legend><div class=\"is-single field\" id=\"input-1\"><span class=\"font-semibold\">Bazowa zmienna normalna ln(X)<\/span><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">\u015arednia ln(X)<\/label><div class=\"term\">\u03bc<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"rednia_lnx\" id=\"field-2\" aria-describedby=\"calc-info-2\" placeholder=\"e.g. 0\" step=\"any\" value=\"0\"\/><small id=\"calc-info-2\">\u015arednia \u03bc rozk\u0142adu normalnego ln(X) \u2014 a nie \u015brednia samej zmiennej X. Mediana X jest r\u00f3wna e^\u03bc.<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">Odchylenie standardowe ln(X)<\/label><div class=\"term\">\u03c3<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"odchylenie_standardowe_lnx\" id=\"field-3\" aria-describedby=\"calc-info-3\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 0.5\" min=\"1.0E-6\" value=\"0.5\"\/><small id=\"calc-info-3\">Odchylenie standardowe \u03c3 ln(X); wi\u0119ksze warto\u015bci oznaczaj\u0105 ci\u0119\u017cszy prawy ogon X.<\/small><\/div><div class=\"field is-single\" id=\"input-4\"><label for=\"field-4\">Co obliczy\u0107<\/label><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-4\" name=\"co_obliczy\"><option value=\"point\" selected>Prawdopodobie\u0144stwo dla pojedynczej warto\u015bci x<\/option><option value=\"interval\">Prawdopodobie\u0144stwo na przedziale [a, b]<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-5\" hidden><label for=\"field-5\">Warto\u015b\u0107 X<\/label><div class=\"term\">x<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"warto_x\" id=\"field-5\" aria-describedby=\"calc-info-5\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 2\" min=\"1.0E-6\" value=\"2\"\/><small id=\"calc-info-5\">Dodatnia warto\u015b\u0107 zmiennej lognormalnej.<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-6\" hidden><label for=\"field-6\">Dolna granica<\/label><div class=\"term\">a<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"dolna_granica\" id=\"field-6\" aria-describedby=\"calc-info-6\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 1.5\" min=\"1.0E-6\" value=\"1.5\"\/><small id=\"calc-info-6\">Pocz\u0105tek przedzia\u0142u (liczba dodatnia).<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-7\" hidden><label for=\"field-7\">G\u00f3rna granica<\/label><div class=\"term\">b<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"grna_granica\" id=\"field-7\" aria-describedby=\"calc-info-7\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 3\" min=\"1.0E-6\" value=\"3\"\/><small id=\"calc-info-7\">Koniec przedzia\u0142u; musi by\u0107 wi\u0119kszy od dolnej granicy.<\/small><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Przelicz ponownie\" id=\"calculate-button\" data-post=\"2452\">Oblicz<\/button><button type=\"reset\">Wyczy\u015b\u0107<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Obliczaj automatycznie<\/label><small>Po w\u0142\u0105czeniu wynik aktualizuje si\u0119 automatycznie po zmianie dowolnej warto\u015bci.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Prawdopodobie\u0144stwa i parametry<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>G\u0119sto\u015b\u0107 w punkcie<\/span><span class=\"result-term\">f(x)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>Dystrybuanta P(X \u2264 warto\u015b\u0107)<\/span><span class=\"result-term\">F(x)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>Prawdopodobie\u0144stwo na przedziale P(a \u2264 X \u2264 b)<\/span><span class=\"result-term\">P(a\u2264X\u2264b)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-4\"><span class=\"field-title\"><span>\u015arednia X<\/span><span class=\"result-term\">E(X)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-4\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-5\"><span class=\"field-title\"><span>Mediana X<\/span><span class=\"result-term\">Med(X)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-5\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-6\"><span class=\"field-title\"><span>Med(X)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-6\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Kopiuj link do tego obliczenia<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Zostaw komentarz<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"2452\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Jak oceniasz ten wynik?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Lubi\u0119 to <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Pomocne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niejasne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Rozczarowanie <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niedok\u0142adne <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Wz\u00f3r na rozk\u0142ad lognormalny<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Wz\u00f3r<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ f(x) = \\frac{1}{x\\,\\sigma\\sqrt{2\\pi}}\\,\\exp\\!\\left(-\\frac{(\\ln x - \\mu)^2}{2\\sigma^2}\\right), \\quad x &gt; 0 \\\\\nF(x) = P(X \\le x) = \\Phi\\!\\left(\\frac{\\ln x - \\mu}{\\sigma}\\right) \\\\\nP(a \\le X \\le b) = \\Phi\\!\\left(\\frac{\\ln b - \\mu}{\\sigma}\\right) - \\Phi\\!\\left(\\frac{\\ln a - \\mu}{\\sigma}\\right) \\\\\nE(X) = e^{\\mu + \\sigma^2\/2}, \\quad \\mathrm{Med}(X) = e^{\\mu}\n\\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>Oznaczenia:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(\\mu\\) \u2014 \u015brednia rozk\u0142adu normalnego opisuj\u0105cego \\(\\ln(X)\\) (a nie \u015brednia samej zmiennej \\(X\\))<\/li>\n<li>\\(\\sigma\\) \u2014 odchylenie standardowe \\(\\ln(X)\\), przy czym \\(\\sigma &gt; 0\\)<\/li>\n<li>\\(x, a, b\\) \u2014 dodatnie warto\u015bci zmiennej lognormalnej \\(X\\)<\/li>\n<li>\\(\\Phi\\) \u2014 dystrybuanta standardowego <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-normalnego\/\">rozk\u0142adu normalnego<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<p>Zmienna \\(X\\) ma rozk\u0142ad lognormalny wtedy, gdy jej logarytm naturalny \\(\\ln(X)\\) ma rozk\u0142ad normalny. Ka\u017cde prawdopodobie\u0144stwo dla \\(X\\) mo\u017cna wi\u0119c wyznaczy\u0107 dok\u0142adnie, przechodz\u0105c na skal\u0119 normaln\u0105: odejmij \\(\\mu\\), podziel przez \\(\\sigma\\) i odczytaj wynik z dystrybuanty rozk\u0142adu normalnego standardowego.<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Rozk\u0142ad lognormalny \u2013 przyk\u0142ad obliczenia<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Przyk\u0142ad:<\/strong> zmienna lognormalna o parametrach \\(\\mu = 0\\) i \\(\\sigma = 0.5\\) dla \\(\\ln(X)\\). Jakie s\u0105 g\u0119sto\u015b\u0107 i dystrybuanta w punkcie \\(x = 2\\)?<\/p>\n<p>\\[ z = \\frac{\\ln x - \\mu}{\\sigma} = \\frac{\\ln 2 - 0}{0.5} = \\frac{0.6931}{0.5} \\approx 1.3863 \\]<\/p>\n<p>\\[ F(2) = \\Phi(1.3863) \\approx 0.9172, \\qquad f(2) = \\frac{e^{-(1.3863)^2\/2}}{2 \\cdot 0.5 \\cdot \\sqrt{2\\pi}} = \\frac{0.3825}{2.5066} \\approx 0.1526 \\]<\/p>\n<p><strong>Wynik:<\/strong> \\(f(2) \\approx 0.1526\\), \\(P(X \\le 2) \\approx 0.9172\\) (czyli 91,72%), a zatem \\(P(X &gt; 2) \\approx 8.28\\%\\). Parametry rozk\u0142adu wynosz\u0105 \\(E(X) = e^{0 + 0.125} \\approx 1.1331\\) oraz \\(\\mathrm{Med}(X) = e^{0} = 1\\).<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Jak korzysta\u0107 z kalkulatora<\/h2>\n<ol>\n<li>Wpisz <strong>\u015bredni\u0105 ln(X)<\/strong> (\\(\\mu\\)) \u2014 chodzi o \u015bredni\u0105 logarytm\u00f3w, a nie surowych warto\u015bci.<\/li>\n<li>Wpisz <strong>odchylenie standardowe ln(X)<\/strong> (\\(\\sigma\\)); musi by\u0107 wi\u0119ksze od 0.<\/li>\n<li>W polu <strong>Co obliczy\u0107<\/strong> wybierz opcj\u0119 <em>Prawdopodobie\u0144stwo dla pojedynczej warto\u015bci x<\/em> albo <em>Prawdopodobie\u0144stwo w przedziale [a, b]<\/em>.<\/li>\n<li>Dla pojedynczej warto\u015bci podaj <strong>warto\u015b\u0107 X<\/strong>; dla przedzia\u0142u podaj <strong>granic\u0119 doln\u0105<\/strong> i <strong>granic\u0119 g\u00f3rn\u0105<\/strong>. Wszystkie warto\u015bci \\(X\\) musz\u0105 by\u0107 dodatnie.<\/li>\n<li>Odczytaj wyniki: g\u0119sto\u015b\u0107 \\(f(x)\\), dystrybuant\u0119 \\(F(x)\\) lub prawdopodobie\u0144stwo w przedziale wraz ze \u015bredni\u0105 i median\u0105 \\(X\\). W bloku interpretacji zobaczysz tak\u017ce prawdopodobie\u0144stwo dope\u0142niaj\u0105ce i mod\u0119.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Czym jest rozk\u0142ad lognormalny?<\/h2>\n<p>Rozk\u0142ad lognormalny opisuje dodatni\u0105 wielko\u015b\u0107 rosn\u0105c\u0105 multiplikatywnie \u2014 czyli skumulowany efekt wielu niezale\u017cnych zmian procentowych. Poniewa\u017c steruj\u0105ca ni\u0105 wielko\u015b\u0107 \\(\\ln(X)\\) ma rozk\u0142ad normalny, sama zmienna \\(X\\) nigdy nie przyjmuje zera ani warto\u015bci ujemnych, a jej rozk\u0142ad ma d\u0142ugi prawy ogon. Typowe przyk\u0142ady to ceny akcji i stopy zwrotu w czasie, dochody gospodarstw domowych, wielko\u015bci miast, sumy opad\u00f3w, czasy pracy do uszkodzenia w badaniach niezawodno\u015bci oraz rozmiary cz\u0105stek czy kropel w in\u017cynierii.<\/p>\n<p>O kszta\u0142cie rozk\u0142adu na skali logarytmicznej decyduj\u0105 dwa parametry: \\(\\mu\\) przesuwa ca\u0142y rozk\u0142ad (mediana \\(X\\) to dok\u0142adnie \\(e^{\\mu}\\)), a \\(\\sigma\\) okre\u015bla rozrzut. Im wi\u0119ksze \\(\\sigma\\), tym ci\u0119\u017cszy prawy ogon i silniejsza asymetria, dzi\u0119ki czemu kilka bardzo du\u017cych obserwacji potrafi znacznie podnie\u015b\u0107 \u015bredni\u0105 ponad median\u0119.<\/p>\n<p>Przydatnym sposobem interpretacji wynik\u00f3w jest kolejno\u015b\u0107 \u015brednia &gt; mediana &gt; moda \u2014 to znak rozk\u0142adu prawostronnie sko\u015bnego. W powy\u017cszym przyk\u0142adzie mediana wynosi 1, a \u015brednia oko\u0142o 1,1331 \u2014 r\u00f3\u017cnic\u0119 powoduje wy\u0142\u0105cznie ogon po prawej stronie. Je\u015bli Twoje dane wykazuj\u0105 taki wzorzec (sprawd\u017a to <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/skosnosc-i-kurtoza\/\">kalkulatorem sko\u015bno\u015bci i kurtozy<\/a>), model lognormalny cz\u0119sto okazuje si\u0119 naturalnym wyborem. Aby szybko przypomnie\u0107 sobie, jak prawdopodobie\u0144stwa skumulowane przek\u0142adaj\u0105 si\u0119 na szanse zdarze\u0144, zajrzyj do <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-prawdopodobienstwa\/\">kalkulatora prawdopodobie\u0144stwa<\/a>.<\/p>\n<h2>Za\u0142o\u017cenia, ograniczenia i praktyczne wskaz\u00f3wki<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Parametry dotycz\u0105 skali logarytmicznej.<\/strong> Najcz\u0119stszy b\u0142\u0105d to wpisanie \u015bredniej lub odchylenia standardowego surowych danych \\(X\\). Je\u015bli znasz tylko \\(E(X)\\) i \\(\\mathrm{Med}(X)\\), odwr\u00f3\u0107 zale\u017cno\u015bci: \\(\\mu = \\ln(\\mathrm{Med})\\) oraz \\(\\sigma^2 = 2\\ln\\!\\left(E(X)\/\\mathrm{Med}(X)\\right)\\).<\/li>\n<li><strong>X musi by\u0107 dodatnie.<\/strong> Rozk\u0142ad lognormalny przypisuje warto\u015bciom niedodatnim prawdopodobie\u0144stwo zerowe; kalkulator odrzuca granice r\u00f3wne 0 lub mniejsze.<\/li>\n<li><strong>Prawdopodobie\u0144stwa s\u0105 dok\u0142adne, a nie symulowane.<\/strong> Pochodz\u0105 z dystrybuanty rozk\u0142adu normalnego zastosowanej do \\((\\ln x - \\mu)\/\\sigma\\), wi\u0119c s\u0105 tak dok\u0142adne, jak podane przez Ciebie parametry.<\/li>\n<li><strong>Warto\u015bci z ogona bywaj\u0105 myl\u0105ce.<\/strong> Przy du\u017cym \\(\\sigma\\) \u015brednia le\u017cy daleko w ogonie; mediana zwykle lepiej opisuje \u201etypow\u0105\u201d warto\u015b\u0107.<\/li>\n<li><strong>Pokrewne modele.<\/strong> Je\u015bli modelujesz liczby zdarze\u0144, czasy mi\u0119dzy rzadkimi zdarzeniami lub czasy \u017cycia przy sta\u0142ej intensywno\u015bci uszkodze\u0144, rozwa\u017c zamiast tego kalkulatory <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-poissona\/\">rozk\u0142adu Poissona<\/a> lub <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-wykladniczego\/\">rozk\u0142adu wyk\u0142adniczego<\/a>.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Wpisz \u015bredni\u0105 i odchylenie standardowe ln(X), aby obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwa rozk\u0142adu lognormalnego: g\u0119sto\u015b\u0107 i dystrybuant\u0119 w punkcie albo prawdopodobie\u0144stwo w przedziale, a tak\u017ce \u015bredni\u0105 i median\u0119 X.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[11],"tags":[34],"class_list":["post-2452","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-statystyka","tag-rozklady"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2452","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2452"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2452\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2799,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2452\/revisions\/2799"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2452"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2452"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2452"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}