{"id":2455,"date":"2026-10-08T09:07:23","date_gmt":"2026-10-08T08:07:23","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-gamma\/"},"modified":"2026-10-08T09:07:23","modified_gmt":"2026-10-08T08:07:23","slug":"kalkulator-rozkladu-gamma","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-gamma\/","title":{"rendered":"Kalkulator rozk\u0142adu gamma"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Obliczanie prawdopodobie\u0144stw, g\u0119sto\u015bci i moment\u00f3w rozk\u0142adu gamma<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"2455\" data-favorite-title=\"Rozk\u0142ad gamma\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-gamma\/\" data-favorite-excerpt=\"Oblicz g\u0119sto\u015b\u0107, dystrybuant\u0119 i prawdopodobie\u0144stwa ogonowe rozk\u0142adu gamma, prawdopodobie\u0144stwa przedzia\u0142owe, \u015bredni\u0105, wariancj\u0119 i dominant\u0119. Wpisz parametr kszta\u0142tu k, skal\u0119 \u03b8 oraz warto\u015b\u0107 lub przedzia\u0142.\" aria-label=\"Dodaj do ulubionych\" data-favorite-icon=\"icon icon-wpcalc-distribution-histogram\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-gamma\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-2455\" data-post=\"2455\"><fieldset class=\"fieldset-input is-1\"><legend class=\"sr-only\">Pola danych<\/legend><div class=\"field has-term\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Parametr kszta\u0142tu<\/label><div class=\"term\">k<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"parametr_ksztatu\" id=\"field-1\" aria-describedby=\"calc-info-1\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 2\" min=\"0.01\" value=\"2\"\/><small id=\"calc-info-1\">Parametr kszta\u0142tu k decyduje o formie krzywej. Dla k = 1 otrzymujemy rozk\u0142ad wyk\u0142adniczy, a dla k ca\u0142kowitego \u2014 rozk\u0142ad Erlanga (czas oczekiwania do k-tego zdarzenia).<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">Parametr skali<\/label><div class=\"term\">\u03b8<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"parametr_skali\" id=\"field-2\" aria-describedby=\"calc-info-2\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 3\" min=\"1.0E-9\" value=\"3\"\/><small id=\"calc-info-2\">Skala \u03b8 w tej samej jednostce co x. Musi by\u0107 wi\u0119ksza od 0.<\/small><\/div><div class=\"field\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">Co obliczy\u0107<\/label><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-3\" name=\"co_obliczy\"><option value=\"point\" selected>Dla pojedynczej warto\u015bci x<\/option><option value=\"interval\">W przedziale [a, b]<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-4\" hidden><label for=\"field-4\">Warto\u015b\u0107<\/label><div class=\"term\">x<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"warto\" id=\"field-4\" aria-describedby=\"calc-info-4\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 4\" min=\"0\" value=\"4\"\/><small id=\"calc-info-4\">Warto\u015b\u0107 x, dla kt\u00f3rej wykonujemy obliczenia (w tej samej jednostce co \u03b8).<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-5\" hidden><label for=\"field-5\">Granica dolna<\/label><div class=\"term\">a<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"granica_dolna\" id=\"field-5\" aria-describedby=\"calc-info-5\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 3\" min=\"0\" value=\"3\"\/><small id=\"calc-info-5\">Pocz\u0105tek przedzia\u0142u.<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-6\" hidden><label for=\"field-6\">Granica g\u00f3rna<\/label><div class=\"term\">b<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"granica_grna\" id=\"field-6\" aria-describedby=\"calc-info-6\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 9\" min=\"0\" value=\"9\"\/><small id=\"calc-info-6\">Koniec przedzia\u0142u; musi by\u0107 wi\u0119kszy od granicy dolnej.<\/small><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Przelicz ponownie\" id=\"calculate-button\" data-post=\"2455\">Oblicz<\/button><button type=\"reset\">Wyczy\u015b\u0107<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Obliczaj automatycznie<\/label><small>Po w\u0142\u0105czeniu wynik aktualizuje si\u0119 automatycznie po zmianie dowolnej warto\u015bci.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Wyniki rozk\u0142adu gamma<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>G\u0119sto\u015b\u0107 w podanym punkcie<\/span><span class=\"result-term\">f(x)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>Prawdopodobie\u0144stwo skumulowane P(X \u2264 x)<\/span><span class=\"result-term\">F(x)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>Prawdopodobie\u0144stwo w prawym ogonie P(X &gt; x)<\/span><span class=\"result-term\">S(x)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-4\"><span class=\"field-title\"><span>Prawdopodobie\u0144stwo przedzia\u0142owe P(a \u2264 X \u2264 b)<\/span><span class=\"result-term\">P(a\u2264X\u2264b)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-4\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-5\"><span class=\"field-title\"><span>Warto\u015b\u0107 oczekiwana<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-5\" data-unit=\"jedn. \u03b8\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-6\"><span class=\"field-title\"><span>Wariancja<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-6\" data-unit=\"jedn. \u03b8\u00b2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-7\"><span class=\"field-title\"><span>Moda (najbardziej prawdopodobna warto\u015b\u0107)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-7\" data-unit=\"jedn. \u03b8\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-8\"><span class=\"field-title\"><span>Jak to dzia\u0142a i jak interpretowa\u0107 wyniki<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-8\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Kopiuj link do tego obliczenia<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Zostaw komentarz<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"2455\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Jak oceniasz ten wynik?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Lubi\u0119 to <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Pomocne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niejasne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Rozczarowanie <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niedok\u0142adne <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Wz\u00f3r rozk\u0142adu gamma<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Wz\u00f3r<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ f(x) = \\frac{x^{k-1} e^{-x\/\\theta}}{\\Gamma(k)\\,\\theta^k}, \\qquad F(x) = P\\!\\left(k, \\frac{x}{\\theta}\\right), \\quad x \\ge 0 \\\\ \\mu = k\\theta, \\qquad \\sigma^2 = k\\theta^2, \\qquad \\text{dominanta} = (k-1)\\theta \\ \\text{dla } k \\ge 1 \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>gdzie:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(k\\) \u2014 parametr kszta\u0142tu, \\(k &gt; 0\\); decyduje o formie krzywej<\/li>\n<li>\\(\\theta\\) \u2014 parametr skali, \\(\\theta &gt; 0\\), wyra\u017cony w tej samej jednostce co \\(x\\)<\/li>\n<li>\\(\\Gamma(k)\\) \u2014 funkcja gamma, uog\u00f3lnienie silni (dla liczb ca\u0142kowitych \\(\\Gamma(n) = (n-1)!\\))<\/li>\n<li>\\(P(k, x\/\\theta)\\) \u2014 znormalizowana dolna niezupe\u0142na funkcja gamma, kt\u00f3ra wyznacza dystrybuant\u0119<\/li>\n<\/ul>\n<p>Pierwszy wiersz okre\u015bla g\u0119sto\u015b\u0107 prawdopodobie\u0144stwa i dystrybuant\u0119 rozk\u0142adu gamma w parametryzacji ze skal\u0105; drugi wiersz podaje jego warto\u015b\u0107 oczekiwan\u0105, wariancj\u0119 i dominant\u0119. Prawdopodobie\u0144stwo przedzia\u0142u oblicza si\u0119 jako \\(P(a \\le X \\le b) = F(b) - F(a)\\).<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Rozk\u0142ad gamma \u2013 przyk\u0142ad obliczenia<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Przyk\u0142ad:<\/strong> czas oczekiwania na reakcj\u0119 systemu ma rozk\u0142ad gamma o parametrze kszta\u0142tu \\(k = 2\\) i skali \\(\\theta = 3\\) godziny. Oblicz g\u0119sto\u015b\u0107, dystrybuant\u0119 i prawdopodobie\u0144stwo g\u00f3rnego ogona dla \\(x = 4\\) godzin.<\/p>\n<p>\\[ f(4) = \\frac{4^{1} e^{-4\/3}}{\\Gamma(2)\\cdot 3^2} = \\frac{4 \\cdot 0.2636}{1 \\cdot 9} \\approx 0.1172 \\]<\/p>\n<p>Poniewa\u017c \\(k\\) jest liczb\u0105 ca\u0142kowit\u0105, dystrybuant\u0119 mo\u017cna zapisa\u0107 w postaci zamkni\u0119tej \\(F(x) = 1 - e^{-x\/\\theta}\\left(1 + x\/\\theta\\right)\\):<\/p>\n<p>\\[ F(4) = 1 - e^{-4\/3}\\left(1 + \\tfrac{4}{3}\\right) = 1 - 0.2636 \\cdot 2.3333 \\approx 0.3849 \\]<\/p>\n<p>\\[ P(X &gt; 4) = 1 - F(4) \\approx 0.6151 \\]<\/p>\n<p><strong>Wynik:<\/strong> \\(f(4) \\approx 0.1172\\) na jednostk\u0119, \\(P(X \\le 4) \\approx 0.3849\\) (38,49%), \\(P(X &gt; 4) \\approx 0.6151\\) (61,51%). Warto\u015b\u0107 oczekiwana wynosi \\(k\\theta = 6\\) godzin, wariancja \\(k\\theta^2 = 18\\), a dominanta \\((k-1)\\theta = 3\\) godziny.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Jak korzysta\u0107 z kalkulatora<\/h2>\n<ol>\n<li>Wpisz <strong>parametr kszta\u0142tu<\/strong> \\(k\\). Musi by\u0107 dodatni; \\(k = 1\\) daje rozk\u0142ad wyk\u0142adniczy, a ca\u0142kowite \\(k\\) \u2014 rozk\u0142ad Erlanga.<\/li>\n<li>Wpisz <strong>parametr skali<\/strong> \\(\\theta\\), czyli liczb\u0119 dodatni\u0105 w tej samej jednostce, w jakiej wyra\u017cone s\u0105 Twoje dane.<\/li>\n<li>Wybierz <strong>co obliczy\u0107<\/strong>: \u201eDla pojedynczej warto\u015bci x\u201d albo \u201eDla przedzia\u0142u [a, b]\u201d.<\/li>\n<li>Dla pojedynczej warto\u015bci wpisz <strong>warto\u015b\u0107<\/strong> \\(x \\ge 0\\). Kalkulator zwr\u00f3ci g\u0119sto\u015b\u0107, prawdopodobie\u0144stwo skumulowane \\(P(X \\le x)\\), prawdopodobie\u0144stwo g\u00f3rnego ogona \\(P(X &gt; x)\\), a tak\u017ce warto\u015b\u0107 oczekiwan\u0105, wariancj\u0119 i dominant\u0119.<\/li>\n<li>Dla przedzia\u0142u wpisz <strong>granic\u0119 doln\u0105<\/strong> \\(a\\) i <strong>granic\u0119 g\u00f3rn\u0105<\/strong> \\(b\\) (przy czym \\(b &gt; a\\)). Otrzymasz \\(P(a \\le X \\le b)\\) wraz z g\u0119sto\u015bciami i warto\u015bciami dystrybuanty na obu kra\u0144cach.<\/li>\n<li>Zajrzyj do panelu \u201eJak to dzia\u0142a i jak interpretowa\u0107 wyniki\u201d, aby przeczyta\u0107 wyja\u015bnienie swoich liczb prostym j\u0119zykiem.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Czym jest rozk\u0142ad gamma?<\/h2>\n<p>Rozk\u0142ad gamma to ci\u0105g\u0142y rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa dla wielko\u015bci przyjmuj\u0105cych wy\u0142\u0105cznie warto\u015bci dodatnie \u2014 czas\u00f3w oczekiwania, sum odszkowa\u0144 ubezpieczeniowych, opad\u00f3w atmosferycznych, czas\u00f3w pracy urz\u0105dze\u0144 do awarii. Ma dwa parametry: kszta\u0142t \\(k\\), kt\u00f3ry okre\u015bla og\u00f3ln\u0105 form\u0119 krzywej, oraz skal\u0119 \\(\\theta\\), kt\u00f3ra rozci\u0105ga j\u0105 lub \u015bciska wzd\u0142u\u017c osi x. W efekcie powstaje niezwykle elastyczna rodzina rozk\u0142ad\u00f3w: przy ma\u0142ym \\(k\\) g\u0119sto\u015b\u0107 jest mocno prawostronnie sko\u015bna, ze szczytem blisko zera, natomiast przy du\u017cym \\(k\\) staje si\u0119 niemal symetryczna i dzwonowa.<\/p>\n<p>Ten rozk\u0142ad ma naturaln\u0105 interpretacj\u0119 jako czas oczekiwania. Je\u015bli zdarzenia zachodz\u0105 losowo ze sta\u0142\u0105 \u015bredni\u0105 intensywno\u015bci\u0105 (<a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-poissona\/\">proces Poissona<\/a>), to ca\u0142kowity czas do \\(k\\)-tego zdarzenia ma rozk\u0142ad gamma o parametrze kszta\u0142tu \\(k\\) i skali \\(\\theta\\) r\u00f3wnej \u015bredniemu czasowi mi\u0119dzy zdarzeniami. Dla \\(k = 1\\) rozk\u0142ad sprowadza si\u0119 do <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-wykladniczego\/\">rozk\u0142adu wyk\u0142adniczego<\/a> (czas oczekiwania na pojedyncze zdarzenie), a dla ca\u0142kowitego \\(k\\) nosi nazw\u0119 rozk\u0142adu Erlanga.<\/p>\n<p>Interpretacja wynik\u00f3w jest prosta. G\u0119sto\u015b\u0107 \\(f(x)\\) m\u00f3wi, jak prawdopodobne s\u0105 warto\u015bci w pobli\u017cu \\(x\\), w przeliczeniu na jednostk\u0119 miary. Dystrybuanta \\(F(x)\\) to szansa na warto\u015b\u0107 co najwy\u017cej \\(x\\), a g\u00f3rny ogon \\(S(x) = 1 - F(x)\\) to szansa przekroczenia \\(x\\) \u2014 cz\u0119sto w\u0142a\u015bnie ta wielko\u015b\u0107 interesuje nas w zagadnieniach niezawodno\u015bci i teorii kolejek. Warto\u015b\u0107 oczekiwana \\(k\\theta\\) to \u015brednia, wariancja \\(k\\theta^2\\) mierzy rozrzut, a dominanta \\((k-1)\\theta\\) to pojedyncza najbardziej prawdopodobna warto\u015b\u0107. Poniewa\u017c rozk\u0142ad jest prawostronnie sko\u015bny, dominanta le\u017cy poni\u017cej \u015bredniej.<\/p>\n<h2>Parametryzacja, za\u0142o\u017cenia i praktyczne wskaz\u00f3wki<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Skala czy intensywno\u015b\u0107:<\/strong> ten kalkulator korzysta ze skali \\(\\theta\\). Wiele podr\u0119cznik\u00f3w i program\u00f3w u\u017cywa zamiast niej intensywno\u015bci \\(\\beta = 1\/\\theta\\). Je\u015bli Twoje \u017ar\u00f3d\u0142o podaje intensywno\u015b\u0107, wpisz \\(\\theta = 1\/\\beta\\) w polu parametru skali. Przy ustalonym \\(k\\) wi\u0119ksza skala \\(\\theta\\) rozci\u0105ga rozk\u0142ad (wi\u0119ksze warto\u015bci), a wi\u0119ksza intensywno\u015b\u0107 go \u015bciska.<\/li>\n<li><strong>Dziedzina:<\/strong> rozk\u0142ad gamma jest okre\u015blony tylko dla \\(x \\ge 0\\). Warto\u015bci ujemne s\u0105 odrzucane; wpisuj zero lub liczby dodatnie.<\/li>\n<li><strong>Dominanta przy ma\u0142ym k:<\/strong> dominanta \\((k-1)\\theta\\) istnieje tylko dla \\(k \\ge 1\\). Gdy \\(k &lt; 1\\), g\u0119sto\u015b\u0107 jest nieograniczona w zerze, dlatego kalkulator podaje dominant\u0119 r\u00f3wn\u0105 0.<\/li>\n<li><strong>Przybli\u017cenie normalne:<\/strong> dla du\u017cych \\(k\\) (mniej wi\u0119cej \\(k &gt; 30\\)) rozk\u0142ad gamma dobrze przybli\u017ca rozk\u0142ad normalny o warto\u015bci oczekiwanej \\(k\\theta\\) i wariancji \\(k\\theta^2\\).<\/li>\n<li><strong>Dob\u00f3r parametr\u00f3w:<\/strong> je\u015bli znasz docelow\u0105 \u015bredni\u0105 \\(\\mu\\) i wariancj\u0119 \\(\\sigma^2\\), oszacuj \\(k = \\mu^2\/\\sigma^2\\) oraz \\(\\theta = \\sigma^2\/\\mu\\). Nast\u0119pnie mo\u017cesz je doprecyzowa\u0107, dopasowuj\u0105c do obserwowanych prawdopodobie\u0144stw skumulowanych.<\/li>\n<li><strong>Pokrewne modele:<\/strong> rozk\u0142ad gamma jest popularn\u0105 alternatyw\u0105 dla <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-weibulla\/\">rozk\u0142adu Weibulla<\/a> i <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-lognormalnego\/\">rozk\u0142adu logarytmicznie normalnego<\/a> przy modelowaniu dodatnich, prawostronnie sko\u015bnych danych, takich jak czasy pracy do awarii czy wielko\u015bci odszkowa\u0144 \u2014 te trzy rozk\u0142ady r\u00f3\u017cni\u0105 si\u0119 g\u0142\u00f3wnie kszta\u0142tem ogon\u00f3w.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Oblicz g\u0119sto\u015b\u0107, dystrybuant\u0119 i prawdopodobie\u0144stwa ogonowe rozk\u0142adu gamma, prawdopodobie\u0144stwa przedzia\u0142owe, \u015bredni\u0105, wariancj\u0119 i dominant\u0119. Wpisz parametr kszta\u0142tu k, skal\u0119 \u03b8 oraz warto\u015b\u0107 lub przedzia\u0142.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[11],"tags":[34],"class_list":["post-2455","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-statystyka","tag-rozklady"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2455","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2455"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2455\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2797,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2455\/revisions\/2797"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2455"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2455"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2455"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}