{"id":2459,"date":"2026-10-08T12:54:09","date_gmt":"2026-10-08T11:54:09","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-beta\/"},"modified":"2026-10-08T12:54:09","modified_gmt":"2026-10-08T11:54:09","slug":"kalkulator-rozkladu-beta","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-beta\/","title":{"rendered":"Kalkulator rozk\u0142adu beta"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Obliczanie prawdopodobie\u0144stw, g\u0119sto\u015bci i moment\u00f3w rozk\u0142adu beta<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"2459\" data-favorite-title=\"Rozk\u0142ad beta\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-beta\/\" data-favorite-excerpt=\"Wpisz parametry kszta\u0142tu \u03b1 i \u03b2, aby obliczy\u0107 g\u0119sto\u015b\u0107 rozk\u0142adu beta, prawdopodobie\u0144stwa skumulowane i z prawego ogona, prawdopodobie\u0144stwa przedzia\u0142owe, \u015bredni\u0105, wariancj\u0119 i mod\u0119 dla dowolnego udzia\u0142u z przedzia\u0142u od 0 do 1.\" aria-label=\"Dodaj do ulubionych\" data-favorite-icon=\"icon icon-wpcalc-distribution-histogram\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-beta\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-2459\" data-post=\"2459\"><fieldset class=\"fieldset-input is-1\"><legend class=\"sr-only\">Pola danych<\/legend><div class=\"field has-term\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Parametr kszta\u0142tu \u03b1<\/label><div class=\"term\">\u03b1<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"parametr_ksztatu_\" id=\"field-1\" aria-describedby=\"calc-info-1\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 2\" min=\"0.01\" value=\"2\"\/><small id=\"calc-info-1\">Kszta\u0142t \u03b1 &gt; 0: decyduje o koncentracji warto\u015bci blisko 1. Dla \u03b1 = \u03b2 = 1 otrzymujemy rozk\u0142ad jednostajny na [0, 1].<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">Parametr kszta\u0142tu \u03b2<\/label><div class=\"term\">\u03b2<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"parametr_ksztatu_\" id=\"field-2\" aria-describedby=\"calc-info-2\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 5\" min=\"0.01\" value=\"5\"\/><small id=\"calc-info-2\">Kszta\u0142t \u03b2 &gt; 0: decyduje o koncentracji warto\u015bci blisko 0.<\/small><\/div><div class=\"field\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">Co obliczy\u0107<\/label><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-3\" name=\"co_obliczy\"><option value=\"point\" selected>Dla pojedynczej proporcji x<\/option><option value=\"interval\">Na przedziale [a, b]<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-4\" hidden><label for=\"field-4\">Proporcja<\/label><div class=\"term\">x<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"proporcja\" id=\"field-4\" aria-describedby=\"calc-info-4\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 0.3\" min=\"0\" max=\"1\" value=\"0.3\"\/><small id=\"calc-info-4\">Warto\u015b\u0107 x (od 0 do 1), dla kt\u00f3rej wykonujemy obliczenia, np. proporcja, udzia\u0142 albo prawdopodobie\u0144stwo.<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-5\" hidden><label for=\"field-5\">Granica dolna<\/label><div class=\"term\">a<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"granica_dolna\" id=\"field-5\" aria-describedby=\"calc-info-5\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 0.2\" min=\"0\" max=\"1\" value=\"0.2\"\/><small id=\"calc-info-5\">Pocz\u0105tek przedzia\u0142u (od 0 do 1).<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-6\" hidden><label for=\"field-6\">Granica g\u00f3rna<\/label><div class=\"term\">b<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"granica_grna\" id=\"field-6\" aria-describedby=\"calc-info-6\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 0.5\" min=\"0\" max=\"1\" value=\"0.5\"\/><small id=\"calc-info-6\">Koniec przedzia\u0142u; musi by\u0107 wi\u0119ksza od granicy dolnej.<\/small><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Przelicz ponownie\" id=\"calculate-button\" data-post=\"2459\">Oblicz<\/button><button type=\"reset\">Wyczy\u015b\u0107<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Obliczaj automatycznie<\/label><small>Po w\u0142\u0105czeniu wynik aktualizuje si\u0119 automatycznie po zmianie dowolnej warto\u015bci.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Wyniki rozk\u0142adu beta<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>G\u0119sto\u015b\u0107 w podanej proporcji<\/span><span class=\"result-term\">f(x)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>Prawdopodobie\u0144stwo skumulowane P(X \u2264 x)<\/span><span class=\"result-term\">F(x)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>Prawdopodobie\u0144stwo w ogonie prawym P(X &gt; x)<\/span><span class=\"result-term\">S(x)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-4\"><span class=\"field-title\"><span>Prawdopodobie\u0144stwo w przedziale P(a \u2264 X \u2264 b)<\/span><span class=\"result-term\">P(a\u2264X\u2264b)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-4\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-5\"><span class=\"field-title\"><span>Warto\u015b\u0107 oczekiwana<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-5\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-6\"><span class=\"field-title\"><span>Wariancja<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-6\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-7\"><span class=\"field-title\"><span>Moda (najbardziej prawdopodobna warto\u015b\u0107)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-7\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-8\"><span class=\"field-title\"><span>Jak to dzia\u0142a i jak interpretowa\u0107 wyniki<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-8\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Kopiuj link do tego obliczenia<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Zostaw komentarz<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"2459\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Jak oceniasz ten wynik?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Lubi\u0119 to <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Pomocne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niejasne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Rozczarowanie <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niedok\u0142adne <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Wz\u00f3r rozk\u0142adu beta<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Wz\u00f3r<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\\[ f(x) = \\frac{x^{\u03b1-1}(1-x)^{\u03b2-1}}{B(\u03b1, \u03b2)}, \\quad F(x) = I_x(\u03b1, \u03b2), \\quad \\text{\u015arednia} = \\frac{\u03b1}{\u03b1+\u03b2}, \\quad \u03c3^2 = \\frac{\u03b1\u03b2}{(\u03b1+\u03b2)^2(\u03b1+\u03b2+1)}, \\quad \\text{Moda} = \\frac{\u03b1-1}{\u03b1+\u03b2-2} \\]<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>gdzie:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\u03b1, \u03b2 \u2014 parametry kszta\u0142tu, oba wi\u0119ksze od zera<\/li>\n<li>\u03b1 steruje ci\u0119\u017carem warto\u015bci blisko 1, \u03b2 \u2014 blisko 0<\/li>\n<li>\u03b1 = \u03b2 = 1 daje rozk\u0142ad jednostajny na [0, 1]<\/li>\n<li>\u03b1 = \u03b2 daje symetryczny, dzwonowy rozk\u0142ad wy\u015brodkowany w 0,5<\/li>\n<li>\u03b1, \u03b2 &lt; 1 daje rozk\u0142ad w kszta\u0142cie litery U, z mas\u0105 prawdopodobie\u0144stwa przy obu ko\u0144cach<\/li>\n<li>Moda istnieje tylko wtedy, gdy \u03b1 &gt; 1 i \u03b2 &gt; 1<\/li>\n<\/ul>\n<p>G\u0119sto\u015b\u0107 opisuje, jak prawdopodobny jest poszczeg\u00f3lny udzia\u0142 x z przedzia\u0142u [0, 1] przy rozk\u0142adzie Beta(\u03b1, \u03b2). Dystrybuanta F(x) to nieznormalizowana \u2014 dok\u0142adniej: znormalizowana \u2014 niepe\u0142na funkcja beta \\(I_x(\u03b1, \u03b2)\\), a prawdopodobie\u0144stwa przedzia\u0142owe wynikaj\u0105 z zale\u017cno\u015bci \\(P(a \\le X \\le b) = F(b) - F(a)\\).<\/p>\n<p>Rozk\u0142ad beta to standardowy model dla wielko\u015bci ograniczonych do przedzia\u0142u [0, 1]: udzia\u0142\u00f3w, udzia\u0142\u00f3w w rynku, st\u00f3p i prawdopodobie\u0144stw. Jest te\u017c naturalnym rozk\u0142adem a priori i a posteriori dla prawdopodobie\u0144stwa sukcesu w schemacie dwumianowym w analizie bayesowskiej.<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Rozk\u0142ad beta \u2013 przyk\u0142ad obliczenia<\/h2><\/div>\r\n\r\n<p>{wp_code}<\/p>\n<p><strong>Przyk\u0142ad:<\/strong> rozk\u0142ad a posteriori Beta(2, 5) dla wsp\u00f3\u0142czynnika konwersji. Obliczamy warto\u015bci rozk\u0142adu dla x = 0,3.<\/p>\n<p>\\[ B(2, 5) = \\frac{\u0393(2)\u0393(5)}{\u0393(7)} = \\frac{1 \\cdot 24}{720} = \\frac{1}{30} \\]<\/p>\n<p>\\[ f(0.3) = 30 \\cdot 0.3^1 \\cdot 0.7^4 = 30 \\cdot 0.3 \\cdot 0.2401 = 2.1609 \\]<\/p>\n<p>\\[ F(0.3) = 1 - (1-0.3)^5(1 + 5 \\cdot 0.3) = 1 - 0.16807 \\cdot 2.5 = 0.57983 \\]<\/p>\n<p>\\[ \\text{\u015arednia} = \\frac{2}{7} = 0.28571, \\quad \u03c3^2 = \\frac{10}{392} = 0.02551, \\quad \\text{Moda} = \\frac{1}{5} = 0.2 \\]<\/p>\n<p><strong>Wynik:<\/strong> f(0.3) \u2248 2,1609, P(X \u2264 0.3) \u2248 0,57983 (57,98%), P(X &gt; 0.3) \u2248 0,42018, \u015brednia 0,28571, wariancja 0,02551, moda 0,2. Po prze\u0142\u0105czeniu na tryb przedzia\u0142owy z a = 0,2 i b = 0,5 otrzymujemy P(0.2 \u2264 X \u2264 0.5) = F(0.5) \u2212 F(0.2) = 0.89063 \u2212 0.34464 = 0.54599, czyli oko\u0142o 54,6%.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Jak korzysta\u0107 z kalkulatora<\/h2>\n<ol>\n<li>Wpisz <strong>Parametr kszta\u0142tu alfa<\/strong> (\u03b1) i <strong>Parametr kszta\u0142tu beta<\/strong> (\u03b2). Oba musz\u0105 by\u0107 dodatnie.<\/li>\n<li>Wybierz, co chcesz obliczy\u0107: <strong>Dla pojedynczego udzia\u0142u x<\/strong> \u2014 g\u0119sto\u015b\u0107 i prawdopodobie\u0144stwa z ogona w jednym punkcie, albo <strong>W przedziale [a, b]<\/strong> \u2014 prawdopodobie\u0144stwo trafienia mi\u0119dzy dwa udzia\u0142y.<\/li>\n<li>Wpisz <strong>Udzia\u0142<\/strong> x (od 0 do 1) albo <strong>Doln\u0105<\/strong> i <strong>g\u00f3rn\u0105 granic\u0119<\/strong> przedzia\u0142u.<\/li>\n<li>Odczytaj wyniki: g\u0119sto\u015b\u0107, prawdopodobie\u0144stwo skumulowane P(X \u2264 x), prawdopodobie\u0144stwo z prawego ogona P(X &gt; x), prawdopodobie\u0144stwo przedzia\u0142owe, \u015bredni\u0105, wariancj\u0119, mod\u0119, a tak\u017ce kr\u00f3tk\u0105 interpretacj\u0119 s\u0142own\u0105.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Czym jest rozk\u0142ad beta?<\/h2>\n<p>Rozk\u0142ad beta to rodzina ci\u0105g\u0142ych rozk\u0142ad\u00f3w prawdopodobie\u0144stwa okre\u015blonych na przedziale [0, 1]. Dzi\u0119ki takiemu ograniczeniu zakresu jest to naturalny model dla ka\u017cdej wielko\u015bci wyra\u017conej jako u\u0142amek lub procent: wsp\u00f3\u0142czynnik\u00f3w konwersji, udzia\u0142\u00f3w w rynku, trafno\u015bci test\u00f3w, odsetka wadliwych wyrob\u00f3w czy samej warto\u015bci nieznanego prawdopodobie\u0144stwa.<\/p>\n<p>Dwa parametry kszta\u0142tu daj\u0105 tej rodzinie niezwyk\u0142\u0105 elastyczno\u015b\u0107. Dla \u03b1 = \u03b2 = 1 otrzymujemy p\u0142aski rozk\u0142ad jednostajny. Dla \u03b1 = \u03b2 &gt; 1 \u2014 symetryczn\u0105 krzyw\u0105 dzwonow\u0105 wy\u015brodkowan\u0105 w 0,5. Nier\u00f3wne parametry pochylaj\u0105 rozk\u0142ad w stron\u0119 0 lub 1, a warto\u015bci poni\u017cej 1 daj\u0105 kszta\u0142t litery U, kt\u00f3ry nagromadza prawdopodobie\u0144stwo przy obu ko\u0144cach. Dzi\u0119ki tej elastyczno\u015bci rozk\u0142ad beta pojawia si\u0119 wsz\u0119dzie \u2014 od statystyki bayesowskiej, przez zarz\u0105dzanie projektami (PERT), po bayesowskie testy A\/B.<\/p>\n<p>Najwa\u017cniejsz\u0105 rol\u0119 odgrywa w wnioskowaniu bayesowskim. Rozk\u0142ad beta jest <em>sprz\u0119\u017conym rozk\u0142adem a priori<\/em> dla rozk\u0142adu dwumianowego: je\u015bli wyst\u0105pisz z rozk\u0142adem a priori Beta(\u03b1\u2080, \u03b2\u2080) na prawdopodobie\u0144stwo sukcesu i zaobserwujesz s sukces\u00f3w oraz n \u2212 s pora\u017cek, rozk\u0142ad a posteriori to dok\u0142adnie Beta(\u03b1\u2080 + s, \u03b2\u2080 + n \u2212 s). P\u0142aski rozk\u0142ad a priori Beta(1, 1) przy 20 pr\u00f3bach i 5 sukcesach daje na przyk\u0142ad rozk\u0142ad a posteriori Beta(6, 16), kt\u00f3rego prawdopodobie\u0144stwa z ogona odczytasz bezpo\u015brednio z tego kalkulatora \u2014 95-procentowy przedzia\u0142 wiarygodno\u015bci to \u015brodkowe 95% masy prawdopodobie\u0144stwa. Logik\u0119 samej aktualizacji opisuje <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-twierdzenia-bayesa\/\">kalkulator twierdzenia Bayesa<\/a>.<\/p>\n<h2>Interpretacja wynik\u00f3w<\/h2>\n<p><strong>G\u0119sto\u015b\u0107<\/strong> f(x) to wysoko\u015b\u0107 krzywej w punkcie x; sama w sobie nie jest prawdopodobie\u0144stwem, ale wi\u0119ksza warto\u015b\u0107 oznacza, \u017ce wielko\u015bci bliskie x s\u0105 bardziej prawdopodobne. <strong>Prawdopodobie\u0144stwo skumulowane<\/strong> F(x) to prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce badana wielko\u015b\u0107 wynosi najwy\u017cej x, a <strong>prawdopodobie\u0144stwo z prawego ogona<\/strong> to jego dope\u0142nienie, 1 \u2212 F(x). Razem pozwalaj\u0105 odpowiedzie\u0107 na pytania w rodzaju: \u201ejakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce wsp\u00f3\u0142czynnik konwersji jest ni\u017cszy ni\u017c 20%?\u201d albo \u201ejakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce przekroczy 30%?\u201d<\/p>\n<p><strong>\u015arednia<\/strong> \u03b1\/(\u03b1+\u03b2) to punkt r\u00f3wnowagi rozk\u0142adu, a w uj\u0119ciu bayesowskim \u2014 a posteriori oszacowanie udzia\u0142u. <strong>Wariancja<\/strong> maleje wraz ze wzrostem \u03b1 + \u03b2, dlatego wi\u0119cej danych (wi\u0119ksze parametry a posteriori) daje ostrzejsze wnioski. <strong>Moda<\/strong> to pojedyncza najbardziej prawdopodobna warto\u015b\u0107; istnieje tylko wtedy, gdy oba parametry przekraczaj\u0105 1. Por\u00f3wnaj wyniki z <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-jednostajnego\/\">kalkulatorem rozk\u0142adu jednostajnego<\/a>, aby zobaczy\u0107 szczeg\u00f3lny przypadek \u03b1 = \u03b2 = 1, oraz z <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-gamma\/\">kalkulatorem rozk\u0142adu gamma<\/a> \u2014 jego nieograniczonego odpowiednika.<\/p>\n<h2>Wskaz\u00f3wki, za\u0142o\u017cenia i ograniczenia<\/h2>\n<ul>\n<li>Rozk\u0142ad jest okre\u015blony tylko na [0, 1]. Je\u015bli Twoja wielko\u015b\u0107 przyjmuje warto\u015bci z szerszego zakresu, najpierw przeskaluj j\u0105 albo wybierz inn\u0105 rodzin\u0119 rozk\u0142ad\u00f3w.<\/li>\n<li>Parametry kszta\u0142tu musz\u0105 by\u0107 \u015bci\u015ble dodatnie; kalkulator przyjmuje dowoln\u0105 warto\u015b\u0107 dodatni\u0105, w tym u\u0142amki \u2014 jest to cz\u0119ste w rozk\u0142adach a priori (np. Beta(0.5, 0.5), rozk\u0142ad a priori Jeffreysa).<\/li>\n<li>Gdy \u03b1 &lt; 1 lub \u03b2 &lt; 1, g\u0119sto\u015b\u0107 jest nieograniczona (niesko\u0144czona) w odpowiednim punkcie ko\u0144cowym; kalkulator to sygnalizuje i jest to matematycznie normalne.<\/li>\n<li>W trybie przedzia\u0142owym g\u00f3rna granica musi by\u0107 wi\u0119ksza od dolnej; obie musz\u0105 mie\u015bci\u0107 si\u0119 w [0, 1].<\/li>\n<li>W zastosowaniach bayesowskich wyb\u00f3r parametr\u00f3w a priori ma znaczenie przy sk\u0105pych danych. Jednolity rozk\u0142ad Beta(1, 1) i rozk\u0142ad Jeffreysa Beta(0.5, 0.5) mog\u0105 prowadzi\u0107 do wyra\u017anie r\u00f3\u017cnych wniosk\u00f3w ju\u017c po kilku obserwacjach.<\/li>\n<li>Dope\u0142niona warto\u015b\u0107 dystrybuanty S(x) = P(X &gt; x) przydaje si\u0119 przy pytaniach jednostronnych; tryb przedzia\u0142owy obs\u0142uguje bezpo\u015brednio pytania dwustronne.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Wpisz parametry kszta\u0142tu \u03b1 i \u03b2, aby obliczy\u0107 g\u0119sto\u015b\u0107 rozk\u0142adu beta, prawdopodobie\u0144stwa skumulowane i z prawego ogona, prawdopodobie\u0144stwa przedzia\u0142owe, \u015bredni\u0105, wariancj\u0119 i mod\u0119 dla dowolnego udzia\u0142u z przedzia\u0142u od 0 do 1.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[11],"tags":[34],"class_list":["post-2459","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-statystyka","tag-rozklady"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2459","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2459"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2459\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2459"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2459"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2459"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}