{"id":246,"date":"2026-10-04T09:19:32","date_gmt":"2026-10-04T08:19:32","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/rownanie-trzeciego-stopnia\/"},"modified":"2026-10-04T09:19:32","modified_gmt":"2026-10-04T08:19:32","slug":"rownanie-trzeciego-stopnia","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/rownanie-trzeciego-stopnia\/","title":{"rendered":"Kalkulator r\u00f3wna\u0144 trzeciego stopnia"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">R\u00f3wnanie sze\u015bcienne<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"246\" data-favorite-title=\"R\u00f3wnanie trzeciego stopnia\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/rownanie-trzeciego-stopnia\/\" data-favorite-excerpt=\"Wpisz wsp\u00f3\u0142czynniki a, b, c i d, aby rozwi\u0105za\u0107 dowolne r\u00f3wnanie trzeciego stopnia postaci ax\u00b3 + bx\u00b2 + cx + d = 0. Kalkulator znajduje wszystkie pierwiastki rzeczywiste metod\u0105 Cardano i wskazuje, gdy pozosta\u0142e pierwiastki s\u0105 zespolone.\" aria-label=\"Dodaj do ulubionych\" data-favorite-icon=\"icon icon-algebra\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/rownanie-trzeciego-stopnia\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-246\" data-post=\"246\"><fieldset class=\"fieldset-input\"><legend class=\"sr-only\">Pola danych<\/legend><div class=\"field has-term\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Wsp\u00f3\u0142czynnik a<\/label><div class=\"term\">a<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"wspczynnik_a\" id=\"field-1\" step=\"any\" value=\"1\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">Wsp\u00f3\u0142czynnik b<\/label><div class=\"term\">b<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"wspczynnik_b\" id=\"field-2\" step=\"any\" value=\"8\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">Wsp\u00f3\u0142czynnik c<\/label><div class=\"term\">c<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"wspczynnik_c\" id=\"field-3\" step=\"any\" value=\"16\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-4\"><label for=\"field-4\">Wsp\u00f3\u0142czynnik d<\/label><div class=\"term\">d<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"wspczynnik_d\" id=\"field-4\" step=\"any\" value=\"0\"\/><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Przelicz ponownie\" id=\"calculate-button\" data-post=\"246\">Oblicz<\/button><button type=\"reset\">Wyczy\u015b\u0107<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Obliczaj automatycznie<\/label><small>Po w\u0142\u0105czeniu wynik aktualizuje si\u0119 automatycznie po zmianie dowolnej warto\u015bci.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Twoje wyniki<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Pierwiastek x\u2081<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>Pierwiastek x\u2082<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>Pierwiastek x\u2083<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Kopiuj link do tego obliczenia<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Zostaw komentarz<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"246\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Jak oceniasz ten wynik?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Lubi\u0119 to <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Pomocne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niejasne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Rozczarowanie <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niedok\u0142adne <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Wz\u00f3r r\u00f3wnania trzeciego stopnia<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Wz\u00f3r<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \\quad (a \\neq 0) \\]\n\\[ \\text{Podstaw } x = t - \\frac{b}{3a} \\text{, aby otrzyma\u0107 r\u00f3wnanie zredukowane } t^3 + pt + q = 0 \\]\n\\[ p = \\frac{3ac - b^2}{3a^2}, \\qquad q = \\frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3} \\]\n\\[ t = \\sqrt[3]{-\\frac{q}{2} + \\sqrt{\\Delta}} + \\sqrt[3]{-\\frac{q}{2} - \\sqrt{\\Delta}}, \\qquad \\Delta = \\left(\\frac{q}{2}\\right)^2 + \\left(\\frac{p}{3}\\right)^3 \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>Gdzie:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(a, b, c, d\\) \u2014 wsp\u00f3\u0142czynniki r\u00f3wnania trzeciego stopnia<\/li>\n<li>\\(x\\) \u2014 niewiadoma; ka\u017cdy pierwiastek \\(x_i\\) odzyskujemy ze wzoru \\(x_i = t_i - \\frac{b}{3a}\\)<\/li>\n<li>\\(\\Delta\\) \u2014 wyr\u00f3\u017cnik r\u00f3wnania zredukowanego: je\u015bli \\(\\Delta &gt; 0\\), istnieje jeden pierwiastek rzeczywisty i dwa zespolone; je\u015bli \\(\\Delta = 0\\), wszystkie pierwiastki s\u0105 rzeczywiste i co najmniej dwa s\u0105 r\u00f3wne; je\u015bli \\(\\Delta &lt; 0\\), istniej\u0105 trzy r\u00f3\u017cne pierwiastki rzeczywiste, wyznaczane trygonometryczn\u0105 postaci\u0105 wzoru Cardano.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Podstawienie \\(x = t - \\frac{b}{3a}\\) eliminuje wyraz kwadratowy, a wz\u00f3r Cardano pozwala nast\u0119pnie wyznaczy\u0107 pierwiastki prostszego r\u00f3wnania zredukowanego.<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>R\u00f3wnanie trzeciego stopnia \u2013 przyk\u0142ad obliczenia<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Przyk\u0142ad:<\/strong> rozwi\u0105\u017c \\(x^3 + 8x^2 + 16x = 0\\), czyli \\(a = 1\\), \\(b = 8\\), \\(c = 16\\), \\(d = 0\\) (domy\u015blne warto\u015bci w kalkulatorze).<\/p>\n<p>\\[ p = \\frac{3 \\cdot 1 \\cdot 16 - 8^2}{3 \\cdot 1^2} = \\frac{48 - 64}{3} = -\\frac{16}{9} \\]<\/p>\n<p>\\[ q = \\frac{2 \\cdot 8^3 - 9 \\cdot 1 \\cdot 8 \\cdot 16 + 27 \\cdot 1^2 \\cdot 0}{27 \\cdot 1^3} = \\frac{1024 - 1152}{27} = \\frac{64}{27} \\]<\/p>\n<p>\\[ \\Delta = \\left(\\frac{64}{54}\\right)^2 + \\left(-\\frac{16}{27}\\right)^3 = \\frac{4096}{729} - \\frac{4096}{729} = 0 \\]<\/p>\n<p>Poniewa\u017c \\(\\Delta = 0\\), wszystkie pierwiastki s\u0105 rzeczywiste i co najmniej dwa s\u0105 r\u00f3wne. Maj\u0105c \\(\\sqrt[3]{q\/2 + 0}\\;=\\;\\sqrt[3]{64\/27} = \\frac{4}{3}\\) oraz \\(\\frac{b}{3a} = \\frac{8}{3}\\):<\/p>\n<p>\\[ x_1 = -\\frac{8}{3} + 2 \\cdot \\frac{4}{3} = 0, \\qquad x_2 = x_3 = -\\left(\\frac{4}{3} + \\frac{8}{3}\\right) = -4 \\]<\/p>\n<p><strong>Wynik:<\/strong> \\(x_1 = 0\\), \\(x_2 = x_3 = -4\\). Rzeczywi\u015bcie, \\(x^3 + 8x^2 + 16x = x(x + 4)^2 = 0\\).<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Jak korzysta\u0107 z kalkulatora r\u00f3wna\u0144 trzeciego stopnia<\/h2>\n<ol>\n<li>Wpisz wsp\u00f3\u0142czynnik <strong>a<\/strong> przy wyrazie \\(x^3\\). Nie mo\u017ce by\u0107 on zerem \u2014 w przeciwnym razie r\u00f3wnanie nie jest trzeciego stopnia (po wpisaniu 0 pojawi si\u0119 pomocny komunikat o b\u0142\u0119dzie).<\/li>\n<li>Wpisz wsp\u00f3\u0142czynnik <strong>b<\/strong> przy wyrazie \\(x^2\\), wsp\u00f3\u0142czynnik <strong>c<\/strong> przy wyrazie \\(x\\) oraz wyraz wolny <strong>d<\/strong>. Dla brakuj\u0105cego wyrazu wpisz 0.<\/li>\n<li>Trzy pierwiastki \\(x_1\\), \\(x_2\\) i \\(x_3\\) obliczane s\u0105 natychmiast w trakcie wpisywania.<\/li>\n<li>Sprawd\u017a wyniki: je\u015bli dwa pierwiastki s\u0105 r\u00f3wne, r\u00f3wnanie ma pierwiastek podw\u00f3jny (dwukrotny); je\u015bli wynik pokazuje \u201ePierwiastek zespolony\u201d, ta para pierwiastk\u00f3w jest zespolona i liczbowo wy\u015bwietlany jest tylko pierwiastek rzeczywisty.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Czym jest r\u00f3wnanie trzeciego stopnia?<\/h2>\n<p>R\u00f3wnanie trzeciego stopnia (sze\u015bcienne) to ka\u017cde r\u00f3wnanie, kt\u00f3re mo\u017cna zapisa\u0107 w postaci \\(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\\), gdzie \\(a \\neq 0\\). To kolejny stopie\u0144 trudno\u015bci po <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/rownanie-kwadratowe\/\">r\u00f3wnaniu kwadratowym<\/a> i, w przeciwie\u0144stwie do r\u00f3wna\u0144 kwadratowych, ma ono gwarantowany co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty \u2014 wynika to z faktu, \u017ce wielomian trzeciego stopnia zawsze gdzie\u015b przecina o\u015b x.<\/p>\n<p>Z twierdzenia podstawowego algebry wynika, \u017ce r\u00f3wnanie trzeciego stopnia ma dok\u0142adnie trzy pierwiastki, licz\u0105c pierwiastki zespolone. S\u0105 trzy mo\u017cliwo\u015bci: trzy r\u00f3\u017cne pierwiastki rzeczywiste; jeden pierwiastek rzeczywisty oraz para sprz\u0119\u017conych pierwiastk\u00f3w zespolonych; albo pierwiastki rzeczywiste z jednym z nich powt\u00f3rzonym (pierwiastek podw\u00f3jny), jak w przyk\u0142adzie obliczeniowym powy\u017cej. O tym, kt\u00f3ry przypadek zachodzi, decyduje znak wyr\u00f3\u017cnika \\(\\Delta\\) r\u00f3wnania zredukowanego.<\/p>\n<p>Zastosowana tutaj metoda rozwi\u0105zywania si\u0119ga dzie\u0142a Gerolama Cardana <em>Ars Magna<\/em> (1545). Kluczowa jest sztuczka z podstawieniem \\(x = t - \\frac{b}{3a}\\), kt\u00f3re eliminuje wyraz \\(x^2\\) i sprowadza zadanie do r\u00f3wnania zredukowanego \\(t^3 + pt + q = 0\\). Gdy \\(\\Delta &lt; 0\\), pierwiastki kwadratowe we wzorze Cardano staj\u0105 si\u0119 urojone, cho\u0107 ko\u0144cowe pierwiastki s\u0105 rzeczywiste \u2014 historycznie nazywano to <em>casus irreducibilis<\/em> \u2014 dlatego kalkulator przechodzi w\u00f3wczas na wariant trygonometryczny z u\u017cyciem \\(\\cos\\) i \\(\\arccos\\), wyznaczaj\u0105cy bezpo\u015brednio trzy pierwiastki rzeczywiste.<\/p>\n<p>R\u00f3wnania trzeciego stopnia pojawiaj\u0105 si\u0119 wsz\u0119dzie tam, gdzie wielko\u015b\u0107 zale\u017cy od obj\u0119to\u015bci lub od trzeciej pot\u0119gi: wyznaczanie wymiar\u00f3w pude\u0142ka o danej obj\u0119to\u015bci, obliczanie punkt\u00f3w przeci\u0119cia prostej z krzyw\u0105 trzeciego stopnia, zagadnienia warto\u015bci w\u0142asnych w in\u017cynierii oraz obliczenia w\u0142asno\u015bci termodynamicznych.<\/p>\n<h2>Interpretacja wynik\u00f3w<\/h2>\n<p>Ka\u017cdy pierwiastek \\(x_i\\) to warto\u015b\u0107 \\(x\\), przy kt\u00f3rej wielomian przyjmuje warto\u015b\u0107 zero \u2014 geometrycznie jest to punkt przeci\u0119cia osi x przez krzyw\u0105 \\(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\\). Pierwiastek podw\u00f3jny (dwie r\u00f3wne warto\u015bci w wynikach) oznacza, \u017ce krzywa dotyka osi w tym punkcie, nie przecinaj\u0105c jej. Gdy wynik pokazuje \u201ePierwiastek zespolony\u201d, dwa pierwiastki nieb\u0119d\u0105ce liczbami rzeczywistymi tworz\u0105 <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/liczba-sprzezona\/\">par\u0119 sprz\u0119\u017conych liczb zespolonych<\/a>, wi\u0119c liczbowo podawany jest tylko jeden pierwiastek rzeczywisty. Wyniki s\u0105 zaokr\u0105glane do 5 miejsc po przecinku, co wystarcza do wi\u0119kszo\u015bci praktycznych zastosowa\u0144.<\/p>\n<h2>Wskaz\u00f3wki, za\u0142o\u017cenia i ograniczenia<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Wsp\u00f3\u0142czynnik a musi by\u0107 r\u00f3\u017cny od zera.<\/strong> Je\u015bli \\(a = 0\\), r\u00f3wnanie jest w rzeczywisto\u015bci kwadratowe (lub liniowe) i nale\u017cy wtedy u\u017cy\u0107 <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/rownanie-kwadratowe\/\">kalkulatora r\u00f3wna\u0144 kwadratowych<\/a>.<\/li>\n<li><strong>Pierwiastki zespolone nie s\u0105 podawane liczbowo.<\/strong> Je\u015bli Twoje r\u00f3wnanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty i dwa zespolone, pokazywany jest tylko pierwiastek rzeczywisty; par\u0119 zespolon\u0105 mo\u017cna wyznaczy\u0107 ze wzor\u00f3w \\(x_2 + x_3 = -\\frac{b}{a} - x_1\\) oraz \\(x_2 x_3 = \\frac{d\/a}{x_1}\\). <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/pierwiastek-liczby-zespolonej\/\">Kalkulator pierwiastk\u00f3w zespolonych<\/a> omawia rozwi\u0105zania zespolone bardziej szczeg\u00f3\u0142owo.<\/li>\n<li><strong>Zaokr\u0105glanie.<\/strong> Pierwiastki s\u0105 zaokr\u0105glane do 5 miejsc po przecinku. Warto\u015bci pokazane np. jako 3,99999 czy \u22120,00001 dla \u201e\u0142adnego\u201d r\u00f3wnania to jedynie efekty zaokr\u0105glenia.<\/li>\n<li><strong>Sprawd\u017a przez rozk\u0142ad na czynniki, gdy to mo\u017cliwe.<\/strong> Je\u015bli znaleziono pierwiastek \\(r\\), to \\((x - r)\\) dzieli wielomian, a pozosta\u0142e pierwiastki wynikaj\u0105 z r\u00f3wnania kwadratowego. Narz\u0119dzia takie jak <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/regula-znakow-kartezjusza\/\">regu\u0142a znak\u00f3w Kartezjusza<\/a> pomagaj\u0105 przewidzie\u0107, ilu pierwiastk\u00f3w dodatnich lub ujemnych mo\u017cna si\u0119 spodziewa\u0107 przed rozwi\u0105zaniem.<\/li>\n<li><strong>Wy\u017csze stopnie.<\/strong> Dla r\u00f3wna\u0144 czwartego stopnia u\u017cyj <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/rownanie-czwartego-stopnia\/\">kalkulatora r\u00f3wna\u0144 czwartego stopnia<\/a>; dla wielomian\u00f3w og\u00f3lnych stopnia pi\u0105tego i wy\u017cszych nie istnieje w og\u00f3le wz\u00f3r zapisany za pomoc\u0105 pierwiastnik\u00f3w.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Wpisz wsp\u00f3\u0142czynniki a, b, c i d, aby rozwi\u0105za\u0107 dowolne r\u00f3wnanie trzeciego stopnia postaci ax\u00b3 + bx\u00b2 + cx + d = 0. Kalkulator znajduje wszystkie pierwiastki rzeczywiste metod\u0105 Cardano i wskazuje, gdy pozosta\u0142e pierwiastki s\u0105 zespolone.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[16],"class_list":["post-246","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematyka","tag-algebra"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/246","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=246"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/246\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1950,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/246\/revisions\/1950"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=246"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=246"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=246"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}