{"id":2460,"date":"2026-10-08T13:15:30","date_gmt":"2026-10-08T12:15:30","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-geometrycznego\/"},"modified":"2026-10-08T13:15:30","modified_gmt":"2026-10-08T12:15:30","slug":"kalkulator-rozkladu-geometrycznego","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-geometrycznego\/","title":{"rendered":"Kalkulator rozk\u0142adu geometrycznego"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Prawdopodobie\u0144stwo pierwszego sukcesu w danej pr\u00f3bie<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"2460\" data-favorite-title=\"Rozk\u0142ad geometryczny\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-geometrycznego\/\" data-favorite-excerpt=\"Wpisz prawdopodobie\u0144stwo sukcesu p oraz numer pr\u00f3by k, aby otrzyma\u0107 P(X = k), prawdopodobie\u0144stwo skumulowane, prawdopodobie\u0144stwo ogona, \u015bredni\u0105 i wariancj\u0119 rozk\u0142adu geometrycznego \u2014 czasu oczekiwania do pierwszego sukcesu.\" aria-label=\"Dodaj do ulubionych\" data-favorite-icon=\"icon icon-wpcalc-distribution-histogram\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-geometrycznego\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-2460\" data-post=\"2460\"><fieldset class=\"fieldset-input is-1\"><legend class=\"sr-only\">Pola danych<\/legend><div class=\"field has-term\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Prawdopodobie\u0144stwo sukcesu<\/label><div class=\"term\">p<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"prawdopodobiestwo_sukcesu\" id=\"field-1\" aria-describedby=\"calc-info-1\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 0.2\" min=\"0\" max=\"1\" value=\"0.2\"\/><small id=\"calc-info-1\">Szansa sukcesu w pojedynczej pr\u00f3bie, warto\u015b\u0107 od 0 do 1 (np. 0,2 oznacza 20%).<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">Numer pr\u00f3by<\/label><div class=\"term\">k<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"numer_prby\" id=\"field-2\" aria-describedby=\"calc-info-2\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 5\" min=\"1\" value=\"5\"\/><small id=\"calc-info-2\">Pr\u00f3ba, w kt\u00f3rej ma nast\u0105pi\u0107 pierwszy sukces.<\/small><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Przelicz ponownie\" id=\"calculate-button\" data-post=\"2460\">Oblicz<\/button><button type=\"reset\">Wyczy\u015b\u0107<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Obliczaj automatycznie<\/label><small>Po w\u0142\u0105czeniu wynik aktualizuje si\u0119 automatycznie po zmianie dowolnej warto\u015bci.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Twoje wyniki<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>P(pierwszy sukces w pr\u00f3bie k)<\/span><span class=\"result-term\">P(X = k)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>P(pierwszy sukces w pr\u00f3bie k lub wcze\u015bniej)<\/span><span class=\"result-term\">P(X \u2264 k)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>P(pierwszy sukces dopiero po pr\u00f3bie k)<\/span><span class=\"result-term\">P(X > k)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-4\"><span class=\"field-title\"><span>Warto\u015b\u0107 oczekiwana (oczekiwana liczba pr\u00f3b do pierwszego sukcesu)<\/span><span class=\"result-term\">E(X)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-4\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-5\"><span class=\"field-title\"><span>Wariancja<\/span><span class=\"result-term\">Var(X)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-5\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-6\"><span class=\"field-title\"><span>Jak to dzia\u0142a i jak interpretowa\u0107 wyniki<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-6\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Kopiuj link do tego obliczenia<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Zostaw komentarz<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"2460\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Jak oceniasz ten wynik?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Lubi\u0119 to <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Pomocne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niejasne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Rozczarowanie <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niedok\u0142adne <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Wz\u00f3r rozk\u0142adu geometrycznego<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Wz\u00f3r<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ P(X = k) = (1 - p)^{k - 1}\\, p \\]\n\\[ P(X \\le k) = 1 - (1 - p)^{k}, \\qquad P(X &gt; k) = (1 - p)^{k} \\]\n\\[ E(X) = \\frac{1}{p}, \\qquad \\mathrm{Var}(X) = \\frac{1 - p}{p^{2}} \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>Obja\u015bnienie symboli:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(p\\) \u2014 prawdopodobie\u0144stwo sukcesu w pojedynczej pr\u00f3bie (mi\u0119dzy 0 a 1)<\/li>\n<li>\\(k\\) \u2014 numer pr\u00f3by, w kt\u00f3rej nast\u0119puje pierwszy sukces (\\(k = 1, 2, 3, \\ldots\\))<\/li>\n<li>\\(P(X = k)\\) \u2014 prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce pierwszy sukces wypadnie dok\u0142adnie w pr\u00f3bie \\(k\\)<\/li>\n<li>\\(E(X)\\), \\(\\mathrm{Var}(X)\\) \u2014 \u015brednia i wariancja liczby potrzebnych pr\u00f3b<\/li>\n<\/ul>\n<p>Rozk\u0142ad geometryczny opisuje, ile niezale\u017cnych, identycznych pr\u00f3b trzeba przeprowadzi\u0107 do pierwszego sukcesu: najpierw \\(k-1\\) razy ponosisz pora\u017ck\u0119, a potem odnosisz jeden sukces.<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Rozk\u0142ad geometryczny \u2013 przyk\u0142ad obliczenia<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Przyk\u0142ad:<\/strong> handlowiec dzwoni do potencjalnych klient\u00f3w, a ka\u017cde po\u0142\u0105czenie ma 20% szans\u0119 zako\u0144czy\u0107 si\u0119 sprzeda\u017c\u0105. Jakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce pierwsza sprzeda\u017c nast\u0105pi dok\u0142adnie przy pi\u0105tym po\u0142\u0105czeniu \u2014 i jakie s\u0105 szanse, \u017ce sukces przyjdzie do tego momentu albo wcale?<\/p>\n<p>\\[ P(X = 5) = (1 - 0.2)^{5-1} \\cdot 0.2 = 0.8^{4} \\cdot 0.2 = 0.4096 \\cdot 0.2 = 0.08192 \\]<\/p>\n<p>\\[ P(X \\le 5) = 1 - 0.8^{5} = 1 - 0.32768 = 0.67232 \\]<\/p>\n<p>\\[ P(X &gt; 5) = 0.8^{5} = 0.32768, \\qquad E(X) = \\frac{1}{0.2} = 5, \\qquad \\mathrm{Var}(X) = \\frac{0.8}{0.2^{2}} = 20 \\]<\/p>\n<p><strong>Wynik:<\/strong> prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce pierwsza sprzeda\u017c wypadnie dok\u0142adnie przy pi\u0105tym po\u0142\u0105czeniu, wynosi oko\u0142o 0,0819 (8,19%). Szansa na co najmniej jedn\u0105 sprzeda\u017c w ci\u0105gu pierwszych 5 po\u0142\u0105cze\u0144 to 0,6723 (67,23%), a czas oczekiwania przekroczy pi\u0105te po\u0142\u0105czenie z prawdopodobie\u0144stwem 0,3277 (32,77%). \u015arednio potrzeba 5 po\u0142\u0105cze\u0144, a wariancja wynosi 20.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Jak korzysta\u0107 z kalkulatora<\/h2>\n<ol>\n<li>Wpisz <strong>Prawdopodobie\u0144stwo sukcesu<\/strong> \u2014 szans\u0119 na sukces w pojedynczej pr\u00f3bie, jako liczb\u0119 z przedzia\u0142u od 0 do 1 (np. 0,2 dla 20%).<\/li>\n<li>Wpisz <strong>Numer pr\u00f3by<\/strong> \u2014 pr\u00f3b\u0119 \\(k\\), w kt\u00f3rej ma nast\u0105pi\u0107 pierwszy sukces; musi to by\u0107 liczba ca\u0142kowita r\u00f3wna co najmniej 1.<\/li>\n<li>Odczytaj wyniki: \\(P(X = k)\\) (pierwszy sukces dok\u0142adnie w pr\u00f3bie \\(k\\)), \\(P(X \\le k)\\) (sukces w pr\u00f3bie \\(k\\) lub wcze\u015bniej), \\(P(X &gt; k)\\) (nadal czekasz po pr\u00f3bie \\(k\\)), a tak\u017ce \u015bredni\u0105 \\(E(X)\\) i wariancj\u0119 \\(\\mathrm{Var}(X)\\).<\/li>\n<li>Zajrzyj do bloku z interpretacj\u0105 \u2014 znajdziesz tam podsumowanie w przyst\u0119pnym j\u0119zyku, \u0142\u0105cznie z median\u0105 czasu oczekiwania i w\u0142asno\u015bci\u0105 braku pami\u0119ci.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Czym jest rozk\u0142ad geometryczny?<\/h2>\n<p>Rozk\u0142ad geometryczny opisuje, ile niezale\u017cnych pr\u00f3b trzeba wykona\u0107, aby uzyska\u0107 pierwszy sukces, gdy ka\u017cda pr\u00f3ba ma to samo prawdopodobie\u0144stwo sukcesu \\(p\\). Odpowiada na pytania takie jak: ile rzut\u00f3w monet\u0105 do pierwszego or\u0142a, ile po\u0142\u0105cze\u0144 do pierwszej sprzeda\u017cy albo ile cz\u0119\u015bci trzeba sprawdzi\u0107, zanim trafimy na pierwsz\u0105 wadliw\u0105? Zmienna losowa \\(X\\) liczy pr\u00f3b\u0119, w kt\u00f3rej nast\u0119puje pierwszy sukces, wi\u0119c jej no\u015bnik to \\(k = 1, 2, 3, \\ldots\\).<\/p>\n<p>Prawdopodobie\u0144stwa malej\u0105 geometrycznie \u2014 st\u0105d nazwa. Najbardziej prawdopodobnym wynikiem jest zawsze \\(k = 1\\) z prawdopodobie\u0144stwem \\(p\\), a ka\u017cda kolejna pr\u00f3ba jest \\(1 - p\\) razy mniej prawdopodobna od poprzedniej. Nie znaczy to, \u017ce p\u00f3\u017aniejsze pr\u00f3by staj\u0105 si\u0119 \u201egorsze\u201d \u2014 odzwierciedla to jedynie malej\u0105c\u0105 szans\u0119 na przetrwanie tak wielu pora\u017cek pod rz\u0105d.<\/p>\n<p>\u015arednia \\(E(X) = 1\/p\\) daje oczekiwany czas: 20-procentowa szansa na sukces oznacza \u015brednio oko\u0142o 5 pr\u00f3b. Wariancja \\((1-p)\/p^2\\) szybko ro\u015bnie, gdy \\(p\\) maleje, wi\u0119c zdarzenia o ma\u0142ym prawdopodobie\u0144stwie mog\u0105 oznacza\u0107 d\u0142ugie i bardzo zmienne oczekiwanie. Najbardziej praktyczn\u0105 wielko\u015bci\u0105 bywa warto\u015b\u0107 skumulowana \\(P(X \\le k)\\) \u2014 na przyk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwo dostania co najmniej jednego zaproszenia na rozmow\u0119 o prac\u0119 po \\(k\\) wys\u0142anych aplikacjach.<\/p>\n<p>S\u0142ynn\u0105 w\u0142asno\u015bci\u0105 tego rozk\u0142adu jest <em>brak pami\u0119ci<\/em>: niezale\u017cnie od tego, ile pora\u017cek ju\u017c znios\u0142e\u015b, prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce kolejna pr\u00f3ba zako\u0144czy si\u0119 sukcesem, nadal wynosi dok\u0142adnie \\(p\\). Przesz\u0142e pora\u017cki nie nios\u0105 \u017cadnej informacji o przysz\u0142o\u015bci \u2014 fakt przydatny, ale czasem sprzeczny z intuicj\u0105 przy interpretowaniu serii wynik\u00f3w.<\/p>\n<h2>Za\u0142o\u017cenia, ograniczenia i wskaz\u00f3wki<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Niezale\u017cno\u015b\u0107:<\/strong> wynik jednej pr\u00f3by nie mo\u017ce wp\u0142ywa\u0107 na pozosta\u0142e. Karty wyci\u0105gane <em>bez<\/em> zwracania \u0142ami\u0105 ten warunek \u2014 u\u017cyj wtedy <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-hipergeometrycznego\/\">kalkulatora rozk\u0142adu hipergeometrycznego<\/a>.<\/li>\n<li><strong>Sta\u0142e p:<\/strong> prawdopodobie\u0144stwo sukcesu musi by\u0107 takie samo w ka\u017cdej pr\u00f3bie. Je\u015bli zmienia si\u0119 w czasie, model geometryczny przestaje obowi\u0105zywa\u0107.<\/li>\n<li><strong>Tylko pierwszy sukces:<\/strong> ten kalkulator modeluje czas oczekiwania na <em>pierwszy<\/em> sukces. Je\u015bli chodzi o prawdopodobie\u0144stwo ustalonej liczby sukces\u00f3w w ustalonej liczbie pr\u00f3b, skorzystaj z <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozklad-dwumianowy\/\">kalkulatora rozk\u0142adu dwumianowego<\/a>; dla czasu oczekiwania do \\(r\\)-tego sukcesu u\u017cyj <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-dwumianowego-ujemnego\/\">kalkulatora rozk\u0142adu ujemnego dwumianowego<\/a>.<\/li>\n<li><strong>Konwencja liczenia:<\/strong> ta strona stosuje standardow\u0105 konwencj\u0119, w kt\u00f3rej \\(X\\) liczy pr\u00f3b\u0119 pierwszego sukcesu (\\(k = 1, 2, \\ldots\\)). Niekt\u00f3re podr\u0119czniki zamiast tego licz\u0105 liczb\u0119 <em>pora\u017cek<\/em> przed pierwszym sukcesem (\\(k = 0, 1, 2, \\ldots\\)), co przesuwa wszystkie wyniki o jeden.<\/li>\n<li><strong>Odpowiednik ci\u0105g\u0142y:<\/strong> je\u015bli mierzysz czas oczekiwania w spos\u00f3b ci\u0105g\u0142y (np. minuty do zdarzenia), a nie liczysz pr\u00f3b, w\u0142a\u015bciwym narz\u0119dziem jest <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-wykladniczego\/\">kalkulator rozk\u0142adu wyk\u0142adniczego<\/a>.<\/li>\n<\/ul>\n<h2>\u015aci\u0105gawka \u2014 najwa\u017cniejsze warto\u015bci<\/h2>\n<p>Dla prawdopodobie\u0144stwa sukcesu \\(p\\) warto zna\u0107 kilka przydatnych fakt\u00f3w:<\/p>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>Wielko\u015b\u0107<\/th>\n<th>Wz\u00f3r<\/th>\n<th>Przyk\u0142ad (p = 0,2)<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>Najbardziej prawdopodobna pr\u00f3ba (dominanta)<\/td>\n<td>zawsze 1<\/td>\n<td>1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u015arednia liczba pr\u00f3b \\(E(X)\\)<\/td>\n<td>\\(1\/p\\)<\/td>\n<td>5 pr\u00f3b<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Mediana liczby pr\u00f3b<\/td>\n<td>\\(\\lceil \\ln(0.5)\/\\ln(1-p) \\rceil\\)<\/td>\n<td>4 pr\u00f3by<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Prawdopodobie\u0144stwo oczekiwania d\u0142u\u017cszego ni\u017c \\(k\\) pr\u00f3b<\/td>\n<td>\\((1-p)^k\\)<\/td>\n<td>\\(0.8^5 \\approx 32.8\\%\\)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Dzi\u0119ki brakowi pami\u0119ci \\(P(X &gt; k + j \\mid X &gt; j) = P(X &gt; k)\\): po dowolnej serii pora\u017cek pozosta\u0142y czas oczekiwania zachowuje si\u0119 dok\u0142adnie tak, jakby zaczyna\u0142o si\u0119 od zera.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Wpisz prawdopodobie\u0144stwo sukcesu p oraz numer pr\u00f3by k, aby otrzyma\u0107 P(X = k), prawdopodobie\u0144stwo skumulowane, prawdopodobie\u0144stwo ogona, \u015bredni\u0105 i wariancj\u0119 rozk\u0142adu geometrycznego \u2014 czasu oczekiwania do pierwszego sukcesu.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[11],"tags":[34],"class_list":["post-2460","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-statystyka","tag-rozklady"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2460","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2460"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2460\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2798,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2460\/revisions\/2798"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2460"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2460"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2460"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}