{"id":2516,"date":"2026-10-13T16:21:33","date_gmt":"2026-10-13T15:21:33","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/kalkulator-iloczynu-wektorowego\/"},"modified":"2026-10-13T16:21:33","modified_gmt":"2026-10-13T15:21:33","slug":"kalkulator-iloczynu-wektorowego","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/kalkulator-iloczynu-wektorowego\/","title":{"rendered":"Kalkulator iloczynu wektorowego 3D"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Oblicz iloczyn wektorowy dw\u00f3ch wektor\u00f3w<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"2516\" data-favorite-title=\"Iloczyn wektorowy 3D\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/kalkulator-iloczynu-wektorowego\/\" data-favorite-excerpt=\"Wpisz sk\u0142adowe X, Y i Z dw\u00f3ch wektor\u00f3w, aby b\u0142yskawicznie obliczy\u0107 ich iloczyn wektorowy. Kalkulator pokazuje wektor wynikowy, jego d\u0142ugo\u015b\u0107 oraz pe\u0142ne obliczenia krok po kroku.\" aria-label=\"Dodaj do ulubionych\" data-favorite-icon=\"icon icon-geometry\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/kalkulator-iloczynu-wektorowego\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-2516\" data-post=\"2516\"><fieldset class=\"fieldset-input is-3\"><legend class=\"sr-only\">Pola danych<\/legend><div class=\"is-single field\" id=\"input-1\"><span class=\"font-semibold\">Wektor A<\/span><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">A \u2014 sk\u0142adowa X<\/label><div class=\"term\">A\u2093<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"a_skadowa_x\" id=\"field-2\" aria-describedby=\"calc-info-2\" step=\"any\" value=\"2\"\/><small id=\"calc-info-2\">Pierwsza sk\u0142adowa wektora A.<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">A \u2014 sk\u0142adowa Y<\/label><div class=\"term\">A\u1d67<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"a_skadowa_y\" id=\"field-3\" aria-describedby=\"calc-info-3\" step=\"any\" value=\"3\"\/><small id=\"calc-info-3\">Druga sk\u0142adowa wektora A.<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-4\"><label for=\"field-4\">A \u2014 sk\u0142adowa Z<\/label><div class=\"term\">A_z<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"a_skadowa_z\" id=\"field-4\" aria-describedby=\"calc-info-4\" step=\"any\" value=\"4\"\/><small id=\"calc-info-4\">Trzecia sk\u0142adowa wektora A.<\/small><\/div><div class=\"is-single field\" id=\"input-5\"><span class=\"font-semibold\">Wektor B<\/span><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-6\"><label for=\"field-6\">B \u2014 sk\u0142adowa X<\/label><div class=\"term\">B\u2093<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"b_skadowa_x\" id=\"field-6\" aria-describedby=\"calc-info-6\" step=\"any\" value=\"5\"\/><small id=\"calc-info-6\">Pierwsza sk\u0142adowa wektora B.<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-7\"><label for=\"field-7\">B \u2014 sk\u0142adowa Y<\/label><div class=\"term\">B\u1d67<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"b_skadowa_y\" id=\"field-7\" aria-describedby=\"calc-info-7\" step=\"any\" value=\"6\"\/><small id=\"calc-info-7\">Druga sk\u0142adowa wektora B.<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-8\"><label for=\"field-8\">B \u2014 sk\u0142adowa Z<\/label><div class=\"term\">B_z<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"b_skadowa_z\" id=\"field-8\" aria-describedby=\"calc-info-8\" step=\"any\" value=\"7\"\/><small id=\"calc-info-8\">Trzecia sk\u0142adowa wektora B.<\/small><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Przelicz ponownie\" id=\"calculate-button\" data-post=\"2516\">Oblicz<\/button><button type=\"reset\">Wyczy\u015b\u0107<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Obliczaj automatycznie<\/label><small>Po w\u0142\u0105czeniu wynik aktualizuje si\u0119 automatycznie po zmianie dowolnej warto\u015bci.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Tw\u00f3j iloczyn wektorowy<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Wektor iloczynu<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>Sk\u0142adowa X<\/span><span class=\"result-term\">C\u2093<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>Sk\u0142adowa Y<\/span><span class=\"result-term\">C\u1d67<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-4\"><span class=\"field-title\"><span>Sk\u0142adowa Z<\/span><span class=\"result-term\">C_z<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-4\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-5\"><span class=\"field-title\"><span>Modu\u0142<\/span><span class=\"result-term\">|C|<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-5\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-6\"><span class=\"field-title\"><span>Kroki oblicze\u0144<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-6\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Kopiuj link do tego obliczenia<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Zostaw komentarz<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"2516\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Jak oceniasz ten wynik?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Lubi\u0119 to <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Pomocne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niejasne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Rozczarowanie <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niedok\u0142adne <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Wz\u00f3r na iloczyn wektorowy 3D<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Wz\u00f3r<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ \\mathbf{C} = \\mathbf{A} \\times \\mathbf{B} = \\begin{vmatrix} \\mathbf{i} &amp; \\mathbf{j} &amp; \\mathbf{k} \\\\ A_x &amp; A_y &amp; A_z \\\\ B_x &amp; B_y &amp; B_z \\end{vmatrix} \\]\n\\[ C_x = A_y B_z - A_z B_y, \\quad C_y = A_z B_x - A_x B_z, \\quad C_z = A_x B_y - A_y B_x \\]\n\\[ |\\mathbf{C}| = \\sqrt{C_x^2 + C_y^2 + C_z^2} \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>Gdzie:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(A_x, A_y, A_z\\) \u2014 sk\u0142adowe pierwszego wektora \\(\\mathbf{A}\\)<\/li>\n<li>\\(B_x, B_y, B_z\\) \u2014 sk\u0142adowe drugiego wektora \\(\\mathbf{B}\\)<\/li>\n<li>\\(C_x, C_y, C_z\\) \u2014 sk\u0142adowe iloczynu wektorowego \\(\\mathbf{C}\\)<\/li>\n<li>\\(|\\mathbf{C}|\\) \u2014 modu\u0142 (d\u0142ugo\u015b\u0107) wektora b\u0119d\u0105cego iloczynem wektorowym<\/li>\n<\/ul>\n<p>Iloczyn wektorowy \\(\\mathbf{A} \\times \\mathbf{B}\\) daje w wyniku nowy wektor, kt\u00f3ry jest prostopad\u0142y zar\u00f3wno do \\(\\mathbf{A}\\), jak i do \\(\\mathbf{B}\\), a jego d\u0142ugo\u015b\u0107 r\u00f3wna si\u0119 polu r\u00f3wnoleg\u0142oboku rozpi\u0119tego na tych wektorach.<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Iloczyn wektorowy 3D \u2014 przyk\u0142ad obliczenia<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Przyk\u0142ad:<\/strong> oblicz iloczyn wektorowy wektor\u00f3w \\(\\mathbf{A} = (2, 3, 4)\\) oraz \\(\\mathbf{B} = (5, 6, 7)\\).<\/p>\n<p>\\[ C_x = A_y B_z - A_z B_y = 3 \\cdot 7 - 4 \\cdot 6 = 21 - 24 = -3 \\]<\/p>\n<p>\\[ C_y = A_z B_x - A_x B_z = 4 \\cdot 5 - 2 \\cdot 7 = 20 - 14 = 6 \\]<\/p>\n<p>\\[ C_z = A_x B_y - A_y B_x = 2 \\cdot 6 - 3 \\cdot 5 = 12 - 15 = -3 \\]<\/p>\n<p>\\[ |\\mathbf{C}| = \\sqrt{(-3)^2 + 6^2 + (-3)^2} = \\sqrt{54} \\approx 7.348 \\]<\/p>\n<p><strong>Wynik:<\/strong> \\(\\mathbf{A} \\times \\mathbf{B} = (-3,\\ 6,\\ -3)\\) o d\u0142ugo\u015bci \\(\\approx 7.348\\).<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Jak korzysta\u0107 z kalkulatora iloczynu wektorowego 3D<\/h2>\n<ol>\n<li>Wpisz trzy sk\u0142adowe pierwszego wektora w pola <strong>A \u2014 sk\u0142adowa X<\/strong>, <strong>A \u2014 sk\u0142adowa Y<\/strong> oraz <strong>A \u2014 sk\u0142adowa Z<\/strong>.<\/li>\n<li>Wpisz trzy sk\u0142adowe drugiego wektora w pola <strong>B \u2014 sk\u0142adowa X<\/strong>, <strong>B \u2014 sk\u0142adowa Y<\/strong> oraz <strong>B \u2014 sk\u0142adowa Z<\/strong>.<\/li>\n<li>Warto\u015bci ujemne i zera s\u0105 dozwolone \u2014 w razie potrzeby po prostu wpisz znak minus.<\/li>\n<li>Odczytaj wynik w sekcji <strong>Tw\u00f3j iloczyn wektorowy<\/strong>: sk\u0142adowe X, Y i Z wektora wynikowego, jego d\u0142ugo\u015b\u0107 oraz szczeg\u00f3\u0142owe om\u00f3wienie ka\u017cdego kroku oblicze\u0144.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Czym jest iloczyn wektorowy?<\/h2>\n<p>Iloczyn wektorowy (nazywany te\u017c iloczynem zewn\u0119trznym) to dzia\u0142anie na dw\u00f3ch wektorach w przestrzeni tr\u00f3jwymiarowej. W przeciwie\u0144stwie do iloczynu skalarnego, kt\u00f3ry zwraca pojedyncz\u0105 liczb\u0119, iloczyn wektorowy daje w wyniku <em>wektor<\/em>. Jego kierunek jest prostopad\u0142y do p\u0142aszczyzny zawieraj\u0105cej oba wektory wej\u015bciowe i wyznacza go regu\u0142a prawej d\u0142oni: skieruj palce prawej d\u0142oni wzd\u0142u\u017c wektora \\(\\mathbf{A}\\), zegnij je w stron\u0119 \\(\\mathbf{B}\\), a kciuk wska\u017ce kierunek \\(\\mathbf{A} \\times \\mathbf{B}\\).<\/p>\n<p>Kolejno\u015b\u0107 wektor\u00f3w ma znaczenie. Zamiana ich miejscami odwraca znak ka\u017cdej sk\u0142adowej: \\(\\mathbf{B} \\times \\mathbf{A} = -(\\mathbf{A} \\times \\mathbf{B})\\). Ta w\u0142asno\u015b\u0107, zwana antyprzemienno\u015bci\u0105, oznacza, \u017ce iloczyn wektorowy <em>nie<\/em> jest przemienny \u2014 wpisanie wektor\u00f3w w innej kolejno\u015bci daje inny wynik.<\/p>\n<p>D\u0142ugo\u015b\u0107 iloczynu wektorowego ma interpretacj\u0119 geometryczn\u0105:<\/p>\n<p>\\[ |\\mathbf{A} \\times \\mathbf{B}| = |\\mathbf{A}|\\,|\\mathbf{B}| \\sin\\theta \\]<\/p>\n<p>gdzie \\(\\theta\\) to k\u0105t mi\u0119dzy dwoma wektorami. Warto\u015b\u0107 ta r\u00f3wna si\u0119 polu r\u00f3wnoleg\u0142oboku zbudowanego na wektorach \\(\\mathbf{A}\\) i \\(\\mathbf{B}\\). Je\u015bli wynikiem jest wektor zerowy, oznacza to, \u017ce wektory s\u0105 r\u00f3wnoleg\u0142e (albo jeden z nich jest zerowy), poniewa\u017c \\(\\sin 0\u00b0 = 0\\). Im wi\u0119kszy k\u0105t mi\u0119dzy wektorami, tym wi\u0119kszy iloczyn wektorowy \u2014 maksymaln\u0105 warto\u015b\u0107 osi\u0105ga, gdy wektory s\u0105 do siebie prostopad\u0142e.<\/p>\n<p>Iloczyny wektorowe pojawiaj\u0105 si\u0119 w ca\u0142ej fizyce i in\u017cynierii: moment si\u0142y to \\(\\mathbf{r} \\times \\mathbf{F}\\), si\u0142a magnetyczna wi\u0105\u017ce si\u0119 z \\(\\mathbf{v} \\times \\mathbf{B}\\), a moment p\u0119dy to \\(\\mathbf{r} \\times \\mathbf{p}\\). W grafice komputerowej iloczyn\u00f3w wektorowych u\u017cywa si\u0119 do wyznaczania wektor\u00f3w normalnych powierzchni przy o\u015bwietleniu i cieniowaniu.<\/p>\n<h2>Za\u0142o\u017cenia, ograniczenia i praktyczne wskaz\u00f3wki<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Wy\u0142\u0105cznie trzy wymiary.<\/strong> Iloczyn wektorowy jest zdefiniowany tylko dla wektor\u00f3w 3D (dla wektor\u00f3w 2D istnieje jego ograniczona wersja, zwracaj\u0105ca skalar). Ten kalkulator wymaga podania wszystkich trzech sk\u0142adowych ka\u017cdego wektora.<\/li>\n<li><strong>Kolejno\u015b\u0107 ma znaczenie.<\/strong> Je\u015bli Tw\u00f3j wynik ma odwrotne znaki ni\u017c odpowied\u017a w podr\u0119czniku, sprawd\u017a, czy ksi\u0105\u017cka nie obliczy\u0142a \\(\\mathbf{B} \\times \\mathbf{A}\\) zamiast \\(\\mathbf{A} \\times \\mathbf{B}\\).<\/li>\n<li><strong>Sprawdzenie prostopad\u0142o\u015bci.<\/strong> Szybki spos\u00f3b weryfikacji wyniku: iloczyny skalarne \\(\\mathbf{A} \\cdot \\mathbf{C}\\) i \\(\\mathbf{B} \\cdot \\mathbf{C}\\) powinny by\u0107 r\u00f3wne zeru, poniewa\u017c iloczyn wektorowy jest prostopad\u0142y do obu wektor\u00f3w wej\u015bciowych.<\/li>\n<li><strong>Wektory r\u00f3wnoleg\u0142e.<\/strong> Je\u015bli wynikiem jest wektor zerowy \\((0, 0, 0)\\), wektory wej\u015bciowe s\u0105 r\u00f3wnoleg\u0142e albo jeden z nich jest zerowy \u2014 to poprawny wynik, a nie b\u0142\u0105d.<\/li>\n<li><strong>Jednostki.<\/strong> Sk\u0142adowe powinny by\u0107 wyra\u017cone w sp\u00f3jnych jednostkach. Je\u015bli \\(\\mathbf{A}\\) podajesz w metrach, a \\(\\mathbf{B}\\) w niutonach, iloczyn wektorowy wyra\u017cony jest w niutonometrach (N\u00b7m) \u2014 jednostce momentu si\u0142y.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Je\u015bli chcesz powt\u00f3rzy\u0107 podstawowe dzia\u0142ania wykonywane przy mno\u017ceniu sk\u0142adowych, <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/kalkulator-mnozenia\/\">kalkulator mno\u017cenia<\/a> i <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/kalkulator-odejmowania\/\">kalkulator odejmowania<\/a> obs\u0142u\u017c\u0105 poszczeg\u00f3lne kroki.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Wpisz sk\u0142adowe X, Y i Z dw\u00f3ch wektor\u00f3w, aby b\u0142yskawicznie obliczy\u0107 ich iloczyn wektorowy. Kalkulator pokazuje wektor wynikowy, jego d\u0142ugo\u015b\u0107 oraz pe\u0142ne obliczenia krok po kroku.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[41],"class_list":["post-2516","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematyka","tag-geometria"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2516","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2516"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2516\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2516"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2516"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2516"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}