{"id":2609,"date":"2026-10-14T22:43:16","date_gmt":"2026-10-14T21:43:16","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/kalkulator-rownan-diofantycznych\/"},"modified":"2026-10-14T22:43:16","modified_gmt":"2026-10-14T21:43:16","slug":"kalkulator-rownan-diofantycznych","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/kalkulator-rownan-diofantycznych\/","title":{"rendered":"Kalkulator liniowych r\u00f3wna\u0144 diofantycznych"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Rozwi\u0105\u017c ax + by = c w liczbach ca\u0142kowitych<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"2609\" data-favorite-title=\"Liniowe r\u00f3wnanie diofantyczne\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/kalkulator-rownan-diofantycznych\/\" data-favorite-excerpt=\"Rozwi\u0105zuje liniowe r\u00f3wnanie diofantyczne ax + by = c w liczbach ca\u0142kowitych. Wpisz wsp\u00f3\u0142czynniki a, b i c, aby sprawdzi\u0107, czy rozwi\u0105zania istniej\u0105, otrzyma\u0107 jedno rozwi\u0105zanie szczeg\u00f3lne oraz pe\u0142n\u0105 rodzin\u0119 x = x\u2080 + (b\/g)t, y = y\u2080 \u2212 (a\/g)t.\" aria-label=\"Dodaj do ulubionych\" data-favorite-icon=\"icon icon-algebra\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/kalkulator-rownan-diofantycznych\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-2609\" data-post=\"2609\"><fieldset class=\"fieldset-input is-1\"><legend class=\"sr-only\">Pola danych<\/legend><div class=\"field has-term\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Wsp\u00f3\u0142czynnik przy x (a)<\/label><div class=\"term\">a<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"wspczynnik_przy_x_a\" id=\"field-1\" placeholder=\"e.g. 12\" step=\"1\" value=\"12\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">Wsp\u00f3\u0142czynnik przy y (b)<\/label><div class=\"term\">b<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"wspczynnik_przy_y_b\" id=\"field-2\" placeholder=\"e.g. 18\" step=\"1\" value=\"18\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">Prawa strona (c)<\/label><div class=\"term\">c<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"prawa_strona_c\" id=\"field-3\" placeholder=\"e.g. 30\" step=\"1\" value=\"30\"\/><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Przelicz ponownie\" id=\"calculate-button\" data-post=\"2609\">Oblicz<\/button><button type=\"reset\">Wyczy\u015b\u0107<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Obliczaj automatycznie<\/label><small>Po w\u0142\u0105czeniu wynik aktualizuje si\u0119 automatycznie po zmianie dowolnej warto\u015bci.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Wyniki r\u00f3wnania diofantycznego<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Czy istniej\u0105 rozwi\u0105zania w liczbach ca\u0142kowitych?<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>Jedno z rozwi\u0105za\u0144 (x\u2080, y\u2080)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>Rozwi\u0105zanie og\u00f3lne w liczbach ca\u0142kowitych<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-4\"><span class=\"field-title\"><span>Kroki rozwi\u0105zania<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-4\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Kopiuj link do tego obliczenia<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Zostaw komentarz<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"2609\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Jak oceniasz ten wynik?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Lubi\u0119 to <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Pomocne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niejasne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Rozczarowanie <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niedok\u0142adne <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Wz\u00f3r na liniowe r\u00f3wnanie diofantyczne<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Wz\u00f3r<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ ax + by = c, \\qquad a, b, c \\in \\mathbb{Z} \\]\n\\[ g = \\gcd(a, b) \\]\n\\[ \\text{Rozwi\u0105zania ca\u0142kowite istniej\u0105} \\iff g \\mid c \\]\n\\[ x = x_0 + \\frac{b}{g}\\,t, \\qquad y = y_0 - \\frac{a}{g}\\,t, \\qquad t \\in \\mathbb{Z} \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>gdzie:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(a\\), \\(b\\) \u2014 ca\u0142kowite wsp\u00f3\u0142czynniki przy \\(x\\) i \\(y\\)<\/li>\n<li>\\(c\\) \u2014 ca\u0142kowita prawa strona r\u00f3wnania<\/li>\n<li>\\(g = \\gcd(a, b)\\) \u2014 najwi\u0119kszy wsp\u00f3lny dzielnik wsp\u00f3\u0142czynnik\u00f3w<\/li>\n<li>\\((x_0, y_0)\\) \u2014 jedno rozwi\u0105zanie szczeg\u00f3lne, wyznaczone z to\u017csamo\u015bci B\u00e9zouta \\(g = s\\,a + t\\,b\\) przez pomno\u017cenie przez \\(c\/g\\)<\/li>\n<li>\\(t\\) \u2014 dowolny parametr ca\u0142kowity, kt\u00f3ry generuje wszystkie rozwi\u0105zania<\/li>\n<\/ul>\n<p>R\u00f3wnanie ma rozwi\u0105zania ca\u0142kowite dok\u0142adnie wtedy, gdy \\(\\gcd(a,b)\\) dzieli \\(c\\). Je\u015bli tak, jest ich niesko\u0144czenie wiele: wychodz\u0105c od jednego rozwi\u0105zania \\((x_0, y_0)\\), ka\u017cde inne otrzymamy, dodaj\u0105c \\(b\/g\\) do \\(x\\) i odejmuj\u0105c \\(a\/g\\) od \\(y\\) t\u0119 sam\u0105 liczb\u0119 razy \\(t\\).<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Liniowe r\u00f3wnanie diofantyczne \u2013 przyk\u0142ad obliczenia<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Przyk\u0142ad:<\/strong> rozwi\u0105\u017c \\(12x + 18y = 30\\) w liczbach ca\u0142kowitych (warto\u015bci domy\u015blne kalkulatora).<\/p>\n<p>\\[ \\gcd(12, 18): \\quad 18 = 1 \\cdot 12 + 6, \\quad 12 = 2 \\cdot 6 + 0 \\implies \\gcd(12, 18) = 6 \\]<\/p>\n<p>\\[ 6 \\mid 30 \\implies \\text{rozwi\u0105zania istniej\u0105} \\]<\/p>\n<p>\\[ \\text{B\u00e9zout: } 6 = (-1) \\cdot 12 + 1 \\cdot 18, \\qquad \\frac{c}{g} = \\frac{30}{6} = 5 \\]<\/p>\n<p>\\[ x_0 = -1 \\cdot 5 = -5, \\qquad y_0 = 1 \\cdot 5 = 5 \\]<\/p>\n<p>\\[ 12 \\cdot (-5) + 18 \\cdot 5 = -60 + 90 = 30 \\;\\checkmark \\]<\/p>\n<p>Przesuwaj\u0105c \\(x_0\\) do przedzia\u0142u \\(0 \\le x &lt; |b\/g| = 3\\), otrzymujemy r\u00f3wnowa\u017cne rozwi\u0105zanie szczeg\u00f3lne \\((1, 1)\\), poniewa\u017c \\(12 \\cdot 1 + 18 \\cdot 1 = 30\\).<\/p>\n<p><strong>Wynik:<\/strong> wszystkimi rozwi\u0105zaniami ca\u0142kowitymi s\u0105 \\(x = 1 + 3t\\), \\(y = 1 - 2t\\) dla dowolnej liczby ca\u0142kowitej \\(t\\); na przyk\u0142ad \\((1, 1)\\), \\((4, -1)\\), \\((-2, 3)\\).<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Jak korzysta\u0107 z kalkulatora<\/h2>\n<ol>\n<li>Wpisz ca\u0142kowity wsp\u00f3\u0142czynnik przy \\(x\\) w pole <strong>Wsp\u00f3\u0142czynnik przy x (a)<\/strong>.<\/li>\n<li>Wpisz ca\u0142kowity wsp\u00f3\u0142czynnik przy \\(y\\) w pole <strong>Wsp\u00f3\u0142czynnik przy y (b)<\/strong>.<\/li>\n<li>Wpisz praw\u0105 stron\u0119 w pole <strong>Prawa strona (c)<\/strong>.<\/li>\n<li>Odczytaj bloki wynik\u00f3w: <strong>Czy istniej\u0105 rozwi\u0105zania ca\u0142kowite?<\/strong> m\u00f3wi, czy \\(\\gcd(a,b)\\) dzieli \\(c\\); <strong>Jedno rozwi\u0105zanie (x\u2080, y\u2080)<\/strong> podaje sprawdzone rozwi\u0105zanie szczeg\u00f3lne; <strong>Rozwi\u0105zanie og\u00f3lne w liczbach ca\u0142kowitych<\/strong> podaje pe\u0142n\u0105 rodzin\u0119 z parametrem \\(t\\); <strong>Kroki rozwi\u0105zania<\/strong> pokazuj\u0105 algorytm Euklidesa, wsp\u00f3\u0142czynniki B\u00e9zouta i tok rozumowania.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Wszystkie trzy dane musz\u0105 by\u0107 liczbami ca\u0142kowitymi (dodatnimi, ujemnymi lub zerem). Je\u015bli wpiszesz warto\u015b\u0107 nieca\u0142kowit\u0105, kalkulator poprosi o liczb\u0119 ca\u0142kowit\u0105, poniewa\u017c r\u00f3wnania diofantyczne z definicji rozwi\u0105zuje si\u0119 wy\u0142\u0105cznie w liczbach ca\u0142kowitych.<\/p>\n<h2>Czym jest liniowe r\u00f3wnanie diofantyczne?<\/h2>\n<p>R\u00f3wnanie diofantyczne to r\u00f3wnanie, kt\u00f3rego rozwi\u0105zania musz\u0105 by\u0107 liczbami ca\u0142kowitymi. Liniowe r\u00f3wnanie diofantyczne \\(ax + by = c\\) to najprostszy przypadek: szukamy wszystkich par liczb ca\u0142kowitych \\((x, y)\\), kt\u00f3re spe\u0142niaj\u0105 je dok\u0142adnie \u2014 bez u\u0142amk\u00f3w i liczb dziesi\u0119tnych. Takie r\u00f3wnania pojawiaj\u0105 si\u0119 naturalnie wsz\u0119dzie tam, gdzie wielko\u015bci s\u0105 niepodzielne \u2014 monety o ustalonych nomina\u0142ach, kartony z towarem, ludzie czy kafelki.<\/p>\n<p>Kluczowy jest warunek rozwi\u0105zywalno\u015bci: \\(ax + by\\) jest zawsze wielokrotno\u015bci\u0105 \\(\\gcd(a, b)\\), wi\u0119c tak\u017ce \\(c\\) musi by\u0107 wielokrotno\u015bci\u0105 \\(\\gcd(a, b)\\). Na przyk\u0142ad \\(6x + 10y\\) jest zawsze parzyste, wi\u0119c r\u00f3wnanie \\(6x + 10y = 7\\) nie ma rozwi\u0105za\u0144 ca\u0142kowitych, cho\u0107by nie wiem jak szuka\u0107. Gdy warunek jest spe\u0142niony, to\u017csamo\u015b\u0107 B\u00e9zouta gwarantuje co najmniej jedno rozwi\u0105zanie, kt\u00f3re rozszerzony algorytm Euklidesa znajduje szybko.<\/p>\n<p>Interpretacja wyniku: je\u015bli rozwi\u0105zania istniej\u0105, jest ich niesko\u0144czenie wiele i tworz\u0105 ci\u0105g arytmetyczny. Rozwi\u0105zanie og\u00f3lne \\(x = x_0 + (b\/g)t\\), \\(y = y_0 - (a\/g)t\\) wylicza je wszystkie \u2014 ka\u017cdy krok parametru \\(t\\) zwi\u0119ksza \\(x\\) o \\(b\/g\\) i zmniejsza \\(y\\) o \\(a\/g\\), przy czym \\(ax + by\\) pozostaje niezmienne. Je\u015bli potrzebujesz rozwi\u0105za\u0144 z konkretnego przedzia\u0142u (np. nieujemnych), podstaw kilka warto\u015bci \\(t\\) i zostaw te, kt\u00f3re pasuj\u0105.<\/p>\n<h2>Za\u0142o\u017cenia, ograniczenia i wskaz\u00f3wki<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Wy\u0142\u0105cznie liczby ca\u0142kowite.<\/strong> Wsp\u00f3\u0142czynniki musz\u0105 by\u0107 liczbami ca\u0142kowitymi; r\u00f3wnania nie rozwi\u0105\u017cemy na liczbach wymiernych ani rzeczywistych. W liczbach rzeczywistych \\(ax + by = c\\) zawsze ma rozwi\u0105zania, gdy \\(a\\) lub \\(b\\) jest niezerowe \u2014 to w\u0142a\u015bnie ograniczenie do liczb ca\u0142kowitych czyni problem ciekawym.<\/li>\n<li><strong>Ograniczenia wielko\u015bci.<\/strong> Obliczenia wykonywane s\u0105 standardow\u0105 arytmetyk\u0105, wi\u0119c trzymaj wsp\u00f3\u0142czynniki w bezpiecznym zakresie liczb ca\u0142kowitych (mniej wi\u0119cej do 15 cyfr), aby unikn\u0105\u0107 problem\u00f3w z precyzj\u0105.<\/li>\n<li><strong>Przypadki szczeg\u00f3lne s\u0105 obs\u0142ugiwane.<\/strong> Je\u015bli \\(a = b = 0\\), r\u00f3wnanie jest albo zawsze prawdziwe (\\(c = 0\\), pasuje ka\u017cda para), albo nigdy. Je\u015bli dok\u0142adnie jeden wsp\u00f3\u0142czynnik jest zerowy, r\u00f3wnanie ma jedn\u0105 zmienn\u0105 i kalkulator rozwi\u0105zuje je wprost.<\/li>\n<li><strong>Ka\u017cde rozwi\u0105zanie szczeg\u00f3lne jest dobre.<\/strong> Para \\((x_0, y_0)\\) nie jest jednoznaczna \u2014 kalkulator przesuwa j\u0105 do zwartej postaci z \\(0 \\le x_0 &lt; |b\/g|\\), ale ka\u017cdy wyb\u00f3r generuje przez parametr \\(t\\) ten sam pe\u0142ny zbi\u00f3r rozwi\u0105za\u0144.<\/li>\n<li><strong>Sprawdzanie wyniku.<\/strong> Zawsze weryfikuj przez podstawienie: oblicz \\(a x_0 + b y_0\\) i upewnij si\u0119, \u017ce wysz\u0142o \\(c\\). Kalkulator wykonuje ten test za Ciebie w wyniku.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Je\u015bli w Twoim zadaniu wyst\u0119puj\u0105 od razu dwa r\u00f3wnania liniowe, uk\u0142ad typu \\(ax + by = c\\), \\(dx + ey = f\\) rozwi\u0105zuje si\u0119 <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/metoda-eliminacji\/\">metod\u0105 eliminacji<\/a>, a nie przez podzielno\u015b\u0107 przez NWD. Rozumowanie diofantyczne stoi te\u017c u podstaw temat\u00f3w takich jak <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/proporcjonalnosc-prosta\/\">proporcjonalno\u015b\u0107 prosta<\/a>, gdzie dwie wielko\u015bci ca\u0142kowite rosn\u0105 w sta\u0142ej proporcji, i jest klasycznym narz\u0119dziem w zadaniach konkursowych oraz teorii liczb.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Rozwi\u0105zuje liniowe r\u00f3wnanie diofantyczne ax + by = c w liczbach ca\u0142kowitych. Wpisz wsp\u00f3\u0142czynniki a, b i c, aby sprawdzi\u0107, czy rozwi\u0105zania istniej\u0105, otrzyma\u0107 jedno rozwi\u0105zanie szczeg\u00f3lne oraz pe\u0142n\u0105 rodzin\u0119 x = x\u2080 + (b\/g)t, y = y\u2080 \u2212 (a\/g)t.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[16],"class_list":["post-2609","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematyka","tag-algebra"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2609","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2609"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2609\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2751,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2609\/revisions\/2751"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2609"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2609"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2609"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}