{"id":2627,"date":"2026-10-14T23:43:03","date_gmt":"2026-10-14T22:43:03","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/kalkulator-potegowania-modularnego\/"},"modified":"2026-10-14T23:43:03","modified_gmt":"2026-10-14T22:43:03","slug":"kalkulator-potegowania-modularnego","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/kalkulator-potegowania-modularnego\/","title":{"rendered":"Kalkulator pot\u0119gowania modularnego"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Obliczanie pot\u0119gi modulo m<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"2627\" data-favorite-title=\"Pot\u0119gowanie modularne\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/kalkulator-potegowania-modularnego\/\" data-favorite-excerpt=\"B\u0142yskawicznie oblicza b^e mod m, nawet gdy wyk\u0142adnik ma setki cyfr, wykorzystuj\u0105c szybkie pot\u0119gowanie metod\u0105 kwadrat\u00f3w i mno\u017ce\u0144. Wpisz podstaw\u0119, nieujemny wyk\u0142adnik i dodatni modu\u0142, a opcjonalnie zobacz ka\u017cdy krok pot\u0119gowania przez podwajanie.\" aria-label=\"Dodaj do ulubionych\" data-favorite-icon=\"icon icon-arithmetic\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/kalkulator-potegowania-modularnego\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-2627\" data-post=\"2627\"><fieldset class=\"fieldset-input is-1\"><legend class=\"sr-only\">Pola danych<\/legend><div class=\"field has-term\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Podstawa (b)<\/label><div class=\"term\">b<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"podstawa_b\" id=\"field-1\" aria-describedby=\"calc-info-1\" placeholder=\"np. 3 lub -12\" step=\"1\" value=\"3\"\/><small id=\"calc-info-1\">Dowolna liczba ca\u0142kowita, dodatnia lub ujemna<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">Wyk\u0142adnik (e)<\/label><div class=\"term\">e<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"wykadnik_e\" id=\"field-2\" aria-describedby=\"calc-info-2\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 644\" min=\"0\" value=\"644\"\/><small id=\"calc-info-2\">Nieujemna liczba ca\u0142kowita; mo\u017ce by\u0107 tak du\u017ca, \u017ce b\u1d49 nie da si\u0119 obliczy\u0107 wprost<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">Modu\u0142 (m)<\/label><div class=\"term\">m<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"modu_m\" id=\"field-3\" aria-describedby=\"calc-info-3\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 645\" min=\"1\" value=\"645\"\/><small id=\"calc-info-3\">Dodatnia liczba ca\u0142kowita<\/small><\/div><div class=\"field is-checkbox\" id=\"input-4\"><input type=\"checkbox\" id=\"field-4\" value=\"1\" checked=\"checked\"\/><label for=\"field-4\">Poka\u017c kroki szybkiego pot\u0119gowania<\/label><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Przelicz ponownie\" id=\"calculate-button\" data-post=\"2627\">Oblicz<\/button><button type=\"reset\">Wyczy\u015b\u0107<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Obliczaj automatycznie<\/label><small>Po w\u0142\u0105czeniu wynik aktualizuje si\u0119 automatycznie po zmianie dowolnej warto\u015bci.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Twoje wyniki<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Wynik (b\u1d49 mod m)<\/span><span class=\"result-term\">b\u1d49 mod m<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>Podstawa po redukcji (b mod m)<\/span><span class=\"result-term\">b mod m<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>Kroki szybkiego pot\u0119gowania<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Kopiuj link do tego obliczenia<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Zostaw komentarz<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"2627\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Jak oceniasz ten wynik?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Lubi\u0119 to <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Pomocne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niejasne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Rozczarowanie <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niedok\u0142adne <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Wz\u00f3r na pot\u0119gowanie modularne<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Wz\u00f3r<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ c \\;=\\; b^e \\bmod m \\]\n\\[ e = \\sum_{k=0}^{n} e_k\\,2^k \\;\\;\\Longrightarrow\\;\\; b^e \\;\\equiv\\; \\prod_{k:\\; e_k = 1} \\bigl(b^{2^k} \\bmod m\\bigr) \\pmod{m}, \\qquad b^{2^k} \\equiv \\bigl(b^{2^{k-1}}\\bigr)^2 \\pmod{m} \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>gdzie:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(b\\) \u2014 podstawa (dowolna liczba ca\u0142kowita)<\/li>\n<li>\\(e\\) \u2014 wyk\u0142adnik (nieujemna liczba ca\u0142kowita)<\/li>\n<li>\\(m\\) \u2014 modu\u0142 (dodatnia liczba ca\u0142kowita)<\/li>\n<li>\\(e_k\\) \u2014 bity liczby \\(e\\) w jej zapisie dw\u00f3jkowym<\/li>\n<li>\\(c\\) \u2014 wynik: reszta z dzielenia \\(b^e\\) przez \\(m\\)<\/li>\n<\/ul>\n<p>Pierwszy wz\u00f3r to definicja pot\u0119gowania modularnego. Drugi przedstawia to\u017csamo\u015b\u0107 wykorzystywan\u0105 przez kalkulator w metodzie kwadrat\u00f3w i mno\u017ce\u0144 (pot\u0119gowaniu dw\u00f3jkowym): wyk\u0142adnik jest rozk\u0142adany na pot\u0119gi dw\u00f3jki, pot\u0119gi \\(b^{2^k}\\) wyznaczane s\u0105 przez wielokrotne podnoszenie do kwadratu, a mno\u017cone s\u0105 tylko te z nich, kt\u00f3re odpowiadaj\u0105 ustawionym bitom \u2014 wszystko modulo \\(m\\), dzi\u0119ki czemu liczby po\u015brednie nigdy nie rozrastaj\u0105 si\u0119 do gigantycznych rozmiar\u00f3w.<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Pot\u0119gowanie modularne \u2013 przyk\u0142ad obliczenia<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Przyk\u0142ad:<\/strong> oblicz \\(3^{644} \\bmod 645\\) \u2014 to domy\u015blne warto\u015bci kalkulatora. Liczba \\(3^{644}\\) ma 308 cyfr, wi\u0119c najpierw policzy\u0107 pot\u0119g\u0119, a dopiero potem zredukowa\u0107, nie ma najmniejszego sensu.<\/p>\n<p><strong>Krok 1 \u2014 zredukuj podstaw\u0119:<\/strong> \\(3 \\bmod 645 = 3\\).<\/p>\n<p><strong>Krok 2 \u2014 zapisz wyk\u0142adnik w systemie dw\u00f3jkowym:<\/strong><\/p>\n<p>\\[ 644 = 512 + 128 + 4 = 1010000100_2 \\]<\/p>\n<p>Wielokrotne podnoszenie do kwadratu modulo 645 daje dla ustawionych bit\u00f3w: \\(3^4 \\equiv 81\\), \\(3^{128} \\equiv 396\\) oraz \\(3^{512} \\equiv 111 \\pmod{645}\\).<\/p>\n<p><strong>Krok 3 \u2014 pomn\u00f3\u017c te warto\u015bci, za ka\u017cdym razem redukuj\u0105c modulo 645:<\/strong><\/p>\n<p>\\[ 3^{644} \\equiv 81 \\times 396 \\times 111 \\equiv 471 \\times 111 \\equiv 52281 \\equiv 36 \\pmod{645} \\]<\/p>\n<p><strong>Wynik:<\/strong> \\(3^{644} \\bmod 645 = 36\\). Algorytm wymaga\u0142 tylko 9 podniesie\u0144 do kwadratu i 3 mno\u017ce\u0144 \u2014 12 dzia\u0142a\u0144 modularnych zamiast 643, kt\u00f3rych potrzebowa\u0142oby naiwne podej\u015bcie.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Jak korzysta\u0107 z kalkulatora<\/h2>\n<ol>\n<li>Wpisz <strong>podstaw\u0119 (b)<\/strong> \u2014 dowoln\u0105 liczb\u0119 ca\u0142kowit\u0105, dodatni\u0105 lub ujemn\u0105.<\/li>\n<li>Wpisz <strong>wyk\u0142adnik (e)<\/strong> \u2014 nieujemn\u0105 liczb\u0119 ca\u0142kowit\u0105. Mo\u017ce by\u0107 tak du\u017cy, \u017ce \\(b^e\\) nie da si\u0119 obliczy\u0107 wprost; dok\u0142adnie do takich przypadk\u00f3w s\u0142u\u017cy to narz\u0119dzie.<\/li>\n<li>Wpisz <strong>modu\u0142 (m)<\/strong> \u2014 dowoln\u0105 dodatni\u0105 liczb\u0119 ca\u0142kowit\u0105.<\/li>\n<li>Zostaw zaznaczone pole <strong>Poka\u017c kroki pot\u0119gowania przez podwajanie<\/strong>, je\u015bli chcesz zobaczy\u0107 zapis dw\u00f3jkowy wyk\u0142adnika i tabel\u0119 ka\u017cdego kroku podnoszenia do kwadratu; odznacz je, aby otrzyma\u0107 sam wynik.<\/li>\n<li>Odczytaj <strong>wynik (b\u1d49 mod m)<\/strong>, <strong>zredukowan\u0105 podstaw\u0119 (b mod m)<\/strong> oraz obliczenia krok po kroku.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Czym jest pot\u0119gowanie modularne?<\/h2>\n<p>Pot\u0119gowanie modularne odpowiada na pytanie: <em>jaka jest reszta z dzielenia \\(b^e\\) przez \\(m\\)?<\/em> Wynik zawsze mie\u015bci si\u0119 mi\u0119dzy \\(0\\) a \\(m-1\\). Inaczej m\u00f3wi\u0105c, jest to liczba \\(c\\) spe\u0142niaj\u0105ca \\(0 \\le c &lt; m\\), dla kt\u00f3rej \\(b^e \\equiv c \\pmod{m}\\). Na przyk\u0142ad \\(3^{644} \\bmod 645 = 36\\) oznacza, \u017ce \\(3^{644}\\) dzielone przez 645 daje reszt\u0119 36.<\/p>\n<p>Naiwna droga \u2014 obliczenie \\(b^e\\), a dopiero potem wzi\u0119cie reszty \u2014 szybko zawodzi. \\(3^{644}\\) ma ju\u017c 308 cyfr, a w kryptografii na co dzie\u0144 stosuje si\u0119 wyk\u0142adniki licz\u0105ce setki cyfr, przy kt\u00f3rych \\(b^e\\) mia\u0142oby wi\u0119cej cyfr ni\u017c atom\u00f3w we Wszech\u015bwiecie. Rozwi\u0105zaniem jest metoda kwadrat\u00f3w i mno\u017ce\u0144: zapisujemy wyk\u0142adnik w systemie dw\u00f3jkowym, wyznaczamy \\(b^{2^k} \\bmod m\\) przez wielokrotne podnoszenie do kwadratu z redukcj\u0105, a nast\u0119pnie mno\u017cymy tylko warto\u015bci odpowiadaj\u0105ce ustawionym bitom. Wymaga to zaledwie \\(O(\\log e)\\) mno\u017ce\u0144 modularnych zamiast \\(e-1\\), a poniewa\u017c ka\u017cdy wynik po\u015bredni jest redukowany modulo \\(m\\), \u017cadna liczba nie przekracza w przybli\u017ceniu \\(m^2\\).<\/p>\n<p>Pot\u0119gowanie modularne to ko\u0144 roboczy kryptografii z kluczem publicznym. Szyfrowanie i deszyfrowanie RSA to pojedyncze pot\u0119gowanie modularne z ogromnym modu\u0142em; opiera si\u0119 na nim r\u00f3wnie\u017c wymiana kluczy Diffiego\u2013Hellmana i schemat ElGamala. Metoda ta nap\u0119dza te\u017c testy pierwszo\u015bci, takie jak test Fermata i test Millera\u2013Rabina, kt\u00f3re sprawdzaj\u0105, czy \\(a^{n-1} \\equiv 1 \\pmod n\\) \u2014 teori\u0119 liczb stoj\u0105c\u0105 za tymi testami mo\u017cesz zg\u0142\u0119bi\u0107 w naszych kalkulatorach <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/male-twierdzenie-fermata\/\">ma\u0142ego twierdzenia Fermata<\/a> i <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/twierdzenie-eulera\/\">twierdzenia Eulera<\/a>.<\/p>\n<p>Wy\u015bwietlanie krok\u00f3w czyni algorytm przejrzystym: tabela pokazuje ka\u017cd\u0105 pozycj\u0119 bitu \\(k\\) wyk\u0142adnika obok \\(b^{2^k} \\bmod m\\), pogrubione wiersze to te faktycznie wykorzystane, a ich iloczyn (zredukowany modulo \\(m\\)) jest szukanym wynikiem. Dok\u0142adnie to samo robi\u0105 wewn\u0119trznie systemy algebry komputerowej, a jednorazowe zobaczenie tego na w\u0142asne oczy to najlepszy spos\u00f3b, by zrozumie\u0107, dlaczego ogromne wyk\u0142adniki s\u0105 tanie.<\/p>\n<h2>Za\u0142o\u017cenia, ograniczenia i wskaz\u00f3wki<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Wyk\u0142adnik musi by\u0107 nieujemny.<\/strong> Ujemny wyk\u0142adnik wymaga\u0142by odwrotno\u015bci modularnej \\(b\\), kt\u00f3ra istnieje tylko wtedy, gdy \\(\\gcd(b, m) = 1\\). Aby obs\u0142u\u017cy\u0107 taki przypadek, najpierw znajd\u017a odwrotno\u015b\u0107 naszym kalkulatorem <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/odwrotnosc-modulo\/\">odwrotno\u015bci modulo<\/a>, a nast\u0119pnie u\u017cyj jej wyniku jako podstawy z dodatnim wyk\u0142adnikiem.<\/li>\n<li><strong>Modu\u0142 musi by\u0107 dodatni.<\/strong> Je\u015bli \\(m = 1\\), ka\u017cda liczba ca\u0142kowita jest przystaj\u0105ca do 0, wi\u0119c wynikiem jest 0 \u2014 to poprawny wynik matematyczny, a nie b\u0142\u0105d.<\/li>\n<li><strong>Ujemne podstawy s\u0105 w porz\u0105dku.<\/strong> Podstawa jest najpierw redukowana do najmniejszej nieujemnej reszty \\(b \\bmod m\\), wi\u0119c \\(-12\\) i \\(m - 12\\) daj\u0105 ten sam wynik.<\/li>\n<li><strong>Wyk\u0142adnik 0 daje \\(1 \\bmod m\\)<\/strong> (co r\u00f3wna si\u0119 0 tylko przy \\(m = 1\\)), zgodnie z \\(b^0 = 1\\).<\/li>\n<li><strong>Ograniczenia rozmiaru:<\/strong> podstawa i modu\u0142 mog\u0105 mie\u0107 do 1000 cyfr ka\u017cdy, a wyk\u0142adnik mo\u017ce by\u0107 tak du\u017cy jak \\(10^{18}\\). Poniewa\u017c algorytm jest logarytmiczny wzgl\u0119dem wyk\u0142adnika, nawet taka warto\u015b\u0107 obliczana jest natychmiast.<\/li>\n<li><strong>Sprawd\u017a wynik inn\u0105 drog\u0105:<\/strong> dla modu\u0142u z\u0142o\u017conego mo\u017cesz rozbi\u0107 obliczenia na cz\u0119\u015bci b\u0119d\u0105ce pot\u0119gami liczb pierwszych i po\u0142\u0105czy\u0107 je z powrotem \u2014 wypr\u00f3buj nasz kalkulator <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/chinskie-twierdzenie-o-resztach\/\">chi\u0144skiego twierdzenia o resztach<\/a>, aby zweryfikowa\u0107 wyniki niezale\u017cnie.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>B\u0142yskawicznie oblicza b^e mod m, nawet gdy wyk\u0142adnik ma setki cyfr, wykorzystuj\u0105c szybkie pot\u0119gowanie metod\u0105 kwadrat\u00f3w i mno\u017ce\u0144. Wpisz podstaw\u0119, nieujemny wyk\u0142adnik i dodatni modu\u0142, a opcjonalnie zobacz ka\u017cdy krok pot\u0119gowania przez podwajanie.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[17],"class_list":["post-2627","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematyka","tag-kalkulatory-arytmetyczne"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2627","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2627"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2627\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2770,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2627\/revisions\/2770"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2627"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2627"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2627"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}