{"id":2986,"date":"2026-11-04T08:48:22","date_gmt":"2026-11-04T08:48:22","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/kalkulator-wyznacznika-macierzy\/"},"modified":"2026-11-04T08:48:22","modified_gmt":"2026-11-04T08:48:22","slug":"kalkulator-wyznacznika-macierzy","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/kalkulator-wyznacznika-macierzy\/","title":{"rendered":"Kalkulator wyznacznika macierzy"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Oblicz wyznacznik macierzy kwadratowej<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"2986\" data-favorite-title=\"Wyznacznik\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/kalkulator-wyznacznika-macierzy\/\" data-favorite-excerpt=\"Oblicz dok\u0142adny wyznacznik dowolnej macierzy kwadratowej od 2\u00d72 do 6\u00d76. Wpisz elementy jako liczby ca\u0142kowite, dziesi\u0119tne lub u\u0142amki i otrzymaj dok\u0142adny wynik, jego posta\u0107 dziesi\u0119tn\u0105, sprawdzenie osobliwo\u015bci oraz rozwi\u0105zanie krok po kroku.\" aria-label=\"Dodaj do ulubionych\" data-favorite-icon=\"icon icon-algebra\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/kalkulator-wyznacznika-macierzy\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-2986\" data-post=\"2986\"><fieldset class=\"fieldset-input is-3\"><legend class=\"sr-only\">Pola danych<\/legend><div class=\"field\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Rozmiar macierzy<\/label><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-1\" name=\"rozmiar_macierzy\"><option value=\"2\">2 \u00d7 2<\/option><option value=\"3\" selected>3 \u00d7 3<\/option><option value=\"4\">4 \u00d7 4<\/option><option value=\"5\">5 \u00d7 5<\/option><option value=\"6\">6 \u00d7 6<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><div class=\"field\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">Wype\u0142nij siatk\u0119<\/label><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-2\" name=\"wypenij_siatk\"><option value=\"custom\" selected>Use the values entered below<\/option><option value=\"random\">Random integer matrix<\/option><option value=\"identity\">Identity matrix<\/option><option value=\"zeros\">Clear (all zeros)<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><div class=\"is-single field\" id=\"input-3\"><span class=\"font-semibold\">Row 1<\/span><\/div><div class=\"field\" id=\"input-4\"><label for=\"field-4\">a\u2081\u2081<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-4\" aria-describedby=\"calc-info-4\" placeholder=\"0\" step=\"any\" value=\"2\"\/><small id=\"calc-info-4\">Integers, decimals (e.g. 1.5) or fractions (e.g. 3\/4). Empty cells count as 0.<\/small><\/div><div class=\"field\" id=\"input-5\"><label for=\"field-5\">a\u2081\u2082<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-5\" placeholder=\"0\" step=\"any\" value=\"1\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-6\"><label for=\"field-6\">a\u2081\u2083<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-6\" placeholder=\"0\" step=\"any\" value=\"3\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-7\" hidden><label for=\"field-7\">a\u2081\u2084<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-7\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-8\" hidden><label for=\"field-8\">a\u2081\u2085<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-8\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-9\" hidden><label for=\"field-9\">a\u2081\u2086<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-9\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"is-single field\" id=\"input-10\"><span class=\"font-semibold\">Row 2<\/span><\/div><div class=\"field\" id=\"input-11\"><label for=\"field-11\">a\u2082\u2081<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-11\" placeholder=\"0\" step=\"any\" value=\"1\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-12\"><label for=\"field-12\">a\u2082\u2082<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-12\" placeholder=\"0\" step=\"any\" value=\"0\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-13\"><label for=\"field-13\">a\u2082\u2083<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-13\" placeholder=\"0\" step=\"any\" value=\"2\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-14\" hidden><label for=\"field-14\">a\u2082\u2084<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-14\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-15\" hidden><label for=\"field-15\">a\u2082\u2085<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-15\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-16\" hidden><label for=\"field-16\">a\u2082\u2086<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-16\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"is-single field\" id=\"input-17\"><span class=\"font-semibold\">Row 3<\/span><\/div><div class=\"field\" id=\"input-18\"><label for=\"field-18\">a\u2083\u2081<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-18\" placeholder=\"0\" step=\"any\" value=\"4\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-19\"><label for=\"field-19\">a\u2083\u2082<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-19\" placeholder=\"0\" step=\"any\" value=\"1\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-20\"><label for=\"field-20\">a\u2083\u2083<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-20\" placeholder=\"0\" step=\"any\" value=\"3\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-21\" hidden><label for=\"field-21\">a\u2083\u2084<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-21\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-22\" hidden><label for=\"field-22\">a\u2083\u2085<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-22\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-23\" hidden><label for=\"field-23\">a\u2083\u2086<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-23\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"is-single field\" id=\"input-24\" hidden><span class=\"font-semibold\">Row 4<\/span><\/div><div class=\"field\" id=\"input-25\" hidden><label for=\"field-25\">a\u2084\u2081<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-25\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-26\" hidden><label for=\"field-26\">a\u2084\u2082<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-26\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-27\" hidden><label for=\"field-27\">a\u2084\u2083<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-27\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-28\" hidden><label for=\"field-28\">a\u2084\u2084<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-28\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-29\" hidden><label for=\"field-29\">a\u2084\u2085<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-29\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-30\" hidden><label for=\"field-30\">a\u2084\u2086<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-30\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"is-single field\" id=\"input-31\" hidden><span class=\"font-semibold\">Row 5<\/span><\/div><div class=\"field\" id=\"input-32\" hidden><label for=\"field-32\">a\u2085\u2081<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-32\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-33\" hidden><label for=\"field-33\">a\u2085\u2082<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-33\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-34\" hidden><label for=\"field-34\">a\u2085\u2083<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-34\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-35\" hidden><label for=\"field-35\">a\u2085\u2084<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-35\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-36\" hidden><label for=\"field-36\">a\u2085\u2085<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-36\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-37\" hidden><label for=\"field-37\">a\u2085\u2086<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-37\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"is-single field\" id=\"input-38\" hidden><span class=\"font-semibold\">Row 6<\/span><\/div><div class=\"field\" id=\"input-39\" hidden><label for=\"field-39\">a\u2086\u2081<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-39\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-40\" hidden><label for=\"field-40\">a\u2086\u2082<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-40\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-41\" hidden><label for=\"field-41\">a\u2086\u2083<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-41\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-42\" hidden><label for=\"field-42\">a\u2086\u2084<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-42\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-43\" hidden><label for=\"field-43\">a\u2086\u2085<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-43\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-44\" hidden><label for=\"field-44\">a\u2086\u2086<\/label><input type=\"text\" name=\"a\" id=\"field-44\" placeholder=\"0\" step=\"any\"\/><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Przelicz ponownie\" id=\"calculate-button\" data-post=\"2986\">Oblicz<\/button><button type=\"reset\">Wyczy\u015b\u0107<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Obliczaj automatycznie<\/label><small>Po w\u0142\u0105czeniu wynik aktualizuje si\u0119 automatycznie po zmianie dowolnej warto\u015bci.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Determinant Results<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Determinant (exact)<\/span><span class=\"result-term\">det A<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>Determinant (decimal)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>Is the matrix singular?<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-4\"><span class=\"field-title\"><span>Solution steps<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-4\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Kopiuj link do tego obliczenia<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Zostaw komentarz<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"2986\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Jak oceniasz ten wynik?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Lubi\u0119 to <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Pomocne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niejasne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Rozczarowanie <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niedok\u0142adne <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Wz\u00f3r na wyznacznik<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Wz\u00f3r<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[\n\\det \\begin{bmatrix} a &amp; b \\\\ c &amp; d \\end{bmatrix} = ad - bc \\\\\n\\det \\begin{bmatrix} a_{11} &amp; a_{12} &amp; a_{13} \\\\ a_{21} &amp; a_{22} &amp; a_{23} \\\\ a_{31} &amp; a_{32} &amp; a_{33} \\end{bmatrix} = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}) \\\\\n\\det A = \\sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j}\\, a_{1j}\\, M_{1j}\n\\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>Gdzie:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(a_{ij}\\) \u2014 element macierzy kwadratowej \\(A\\) le\u017c\u0105cy w wierszu \\(i\\) i kolumnie \\(j\\)<\/li>\n<li>\\(M_{1j}\\) \u2014 <em>minor<\/em>: wyznacznik podmacierzy, kt\u00f3ra powstaje po skre\u015bleniu pierwszego wiersza i kolumny \\(j\\)<\/li>\n<li>\\((-1)^{1+j}M_{1j}\\) \u2014 <em>dope\u0142nienie algebraiczne<\/em> elementu \\(a_{1j}\\)<\/li>\n<\/ul>\n<p>Pierwszy wz\u00f3r to regu\u0142a przek\u0105tnych dla macierzy 2\u00d72, drugi \u2014 rozwini\u0119cie Laplace'a wzgl\u0119dem pierwszego wiersza dla macierzy 3\u00d73, a ostatni to og\u00f3lne rozwini\u0119cie, kt\u00f3re dzia\u0142a dla dowolnej macierzy \\(n \\times n\\).<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Wyznacznik \u2014 przyk\u0142ad oblicze\u0144<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Przyk\u0142ad:<\/strong> oblicz wyznacznik macierzy 3\u00d73<\/p>\n<p>\\[ A = \\begin{bmatrix} 2 &amp; 1 &amp; 3 \\\\ 1 &amp; 0 &amp; 2 \\\\ 4 &amp; 1 &amp; 3 \\end{bmatrix} \\]<\/p>\n<p>\\[ M_{11} = 0 \\cdot 3 - 2 \\cdot 1 = -2, \\quad M_{12} = 1 \\cdot 3 - 2 \\cdot 4 = -5, \\quad M_{13} = 1 \\cdot 1 - 0 \\cdot 4 = 1 \\]<\/p>\n<p>\\[ \\det A = 2(-2) - 1(-5) + 3(1) = -4 + 5 + 3 \\]<\/p>\n<p><strong>Wynik:<\/strong> \\(\\det A = 4\\). Wyznacznik jest r\u00f3\u017cny od zera, wi\u0119c macierz jest odwracalna. Mo\u017cesz to sprawdzi\u0107, klikaj\u0105c Oblicz przy domy\u015blnych warto\u015bciach narz\u0119dzia.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Jak korzysta\u0107 z kalkulatora wyznacznika<\/h2>\n<ol>\n<li>Otw\u00f3rz list\u0119 rozwijan\u0105 <strong>Rozmiar macierzy<\/strong> i wybierz 2 \u00d7 2, 3 \u00d7 3, 4 \u00d7 4, 5 \u00d7 5 lub 6 \u00d7 6. Wykorzystywane s\u0105 tylko pola wybranego rozmiaru.<\/li>\n<li>Z listy <strong>Wype\u0142nij siatk\u0119<\/strong> wybierz spos\u00f3b podania macierzy: <em>U\u017cyj warto\u015bci wprowadzonych poni\u017cej<\/em>, <em>Losowa macierz ca\u0142kowita<\/em> (nowa macierz jest losowana przy ka\u017cdej zmianie), <em>Macierz jednostkowa<\/em> albo <em>Zacznij od zera (wszystkie zera)<\/em>.<\/li>\n<li>Wpisz elementy w polach a<sub>11<\/sub>, a<sub>12<\/sub>, \u2026 Dozwolone s\u0105 liczby ca\u0142kowite, dziesi\u0119tne, np. 1,5, oraz u\u0142amki, np. 3\/4. Puste pola traktowane s\u0105 jako 0.<\/li>\n<li>Odczytaj wyniki: <strong>Wyznacznik (dok\u0142adny)<\/strong> podaje odpowied\u017a jako dok\u0142adny u\u0142amek lub liczb\u0119 ca\u0142kowit\u0105, <strong>Wyznacznik (dziesi\u0119tny)<\/strong> \u2014 jego posta\u0107 dziesi\u0119tn\u0105, <strong>Czy macierz jest osobliwa?<\/strong> informuje, czy macierz jest odwracalna, a <strong>Kroki rozwi\u0105zania<\/strong> pokazuje pe\u0142ny tok oblicze\u0144.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Czym jest wyznacznik macierzy?<\/h2>\n<p>Wyznacznik to jedna liczba, kt\u00f3ra podsumowuje wa\u017cn\u0105 cech\u0119 geometryczn\u0105 i algebraiczn\u0105 macierzy kwadratowej. Geometrycznie warto\u015b\u0107 bezwzgl\u0119dna wyznacznika macierzy \\(n \\times n\\) to wsp\u00f3\u0142czynnik skalowania obj\u0119to\u015bci przekszta\u0142cenia liniowego reprezentowanego przez t\u0119 macierz: \\(|\\det A|\\) pokazuje, ile razy przekszta\u0142cenie zwi\u0119ksza d\u0142ugo\u015bci (2\u00d72), pola powierzchni (2\u00d72 i 3\u00d73 w kontek\u015bcie p\u0142askim i przestrzennym) czy og\u00f3lnie obj\u0119to\u015bci. Wyznacznik r\u00f3wny 3 oznacza, \u017ce przekszta\u0142cenie potraja obj\u0119to\u015b\u0107; wyznacznik r\u00f3wny 0 \u2014 \u017ce przekszta\u0142cenie sp\u0142aszcza przestrze\u0144 do ni\u017cszego wymiaru i traci informacj\u0119.<\/p>\n<p>Algebraicznie wyznacznik to szybki test odwracalno\u015bci. Macierz kwadratowa ma macierz odwrotn\u0105 wtedy i tylko wtedy, gdy \\(\\det A \\neq 0\\). Gdy \\(\\det A = 0\\), macierz nazywamy <em>osobliw\u0105<\/em>: jej wiersze (i kolumny) s\u0105 liniowo zale\u017cne, uk\u0142ady \\(Ax = b\\) nie maj\u0105 jednoznacznego rozwi\u0105zania, a macierz \\(A^{-1}\\) nie istnieje. Dlatego wyznacznik spotyka si\u0119 wsz\u0119dzie \u2014 od rozwi\u0105zywania uk\u0142ad\u00f3w r\u00f3wna\u0144 (wzory Cramera), przez wyznaczanie warto\u015bci w\u0142asnych, po obliczanie iloczyn\u00f3w wektorowych.<\/p>\n<p>Jak interpretowa\u0107 t\u0119 liczb\u0119, zale\u017cy od kontekstu. Dok\u0142adna warto\u015b\u0107 jest istotna przy sprawdzaniu r\u0119cznym i w rozwa\u017caniach teoretycznych; posta\u0107 dziesi\u0119tna wygodnie s\u0142u\u017cy do szacowania. Znaczenie ma te\u017c <em>znak<\/em>: ujemny wyznacznik oznacza, \u017ce przekszta\u0142cenie odwraca orientacj\u0119, podobnie jak odbicie lustrzane. Warto pami\u0119ta\u0107, \u017ce wyznacznik jest okre\u015blony tylko dla macierzy kwadratowych \u2014 macierz prostok\u0105tna po prostu nie ma wyznacznika.<\/p>\n<h2>Jak kalkulator wykonuje obliczenia: dwie metody<\/h2>\n<p>Dla macierzy 2\u00d72 i 3\u00d73 kalkulator stosuje <strong>rozwini\u0119cie metod\u0105 Laplace'a wzgl\u0119dem pierwszego wiersza<\/strong> i pokazuje ka\u017cdy minor oraz ka\u017cdy iloczyn, a dla macierzy 3\u00d73 dodaje kontrol\u0119 regu\u0142\u0105 Sarrusa. Dla macierzy 4\u00d74\u20136\u00d76 przechodzi na <strong>eliminacj\u0119 Gaussa<\/strong> z dok\u0142adn\u0105 arytmetyk\u0105 wymiern\u0105: dodanie wielokrotno\u015bci jednego wiersza do innego nie zmienia wyznacznika, natomiast ka\u017cda zamiana wierszy odwraca jego znak. Wyznacznik r\u00f3wna si\u0119 wtedy iloczynowi element\u00f3w podstawowych powstalej macierzy tr\u00f3jk\u0105tnej g\u00f3rnej, pomno\u017conemu przez \\((-1)\\) za ka\u017cd\u0105 wykonan\u0105 zamian\u0119. Je\u015bli w kt\u00f3rej\u015b kolumnie nie da si\u0119 znale\u017a\u0107 elementu podstawowego, macierz jest osobliwa, a jej wyznacznik wynosi dok\u0142adnie 0.<\/p>\n<p>Poniewa\u017c wszystkie dzia\u0142ania wykonywane s\u0105 na liczbach ca\u0142kowitych i u\u0142amkach (a nie na liczbach zmiennoprzecinkowych), wynik jest <em>dok\u0142adny<\/em> \u2014 nie ma b\u0142\u0119du zaokr\u0105glenia, nawet przy \u201eniewygodnych\u201d u\u0142amkach. Liczby dziesi\u0119tne z maksymalnie 12 miejscami po przecinku s\u0105 wewn\u0119trznie zamieniane na dok\u0142adne u\u0142amki, wi\u0119c 0,1 jest traktowane jako dok\u0142adnie 1\/10, a nie jako przybli\u017cona warto\u015b\u0107 binarna.<\/p>\n<h2>Przydatne w\u0142asno\u015bci i ograniczenia<\/h2>\n<ul>\n<li>\\(\\det(AB) = \\det A \\cdot \\det B\\), a dla macierzy odwracalnej \\(\\det(A^{-1}) = 1\/\\det A\\).<\/li>\n<li>Zamiana dw\u00f3ch wierszy (lub kolumn) mno\u017cy wyznacznik przez \u22121; pomno\u017cenie wiersza przez sta\u0142\u0105 \\(k\\) mno\u017cy wyznacznik przez \\(k\\). Macierz z dwoma identycznymi wierszami albo z wierszem zerowym ma wyznacznik r\u00f3wny 0.<\/li>\n<li>\\(\\det A = \\det A^{T}\\), wi\u0119c twierdzenia o wierszach i kolumnach mo\u017cna stosowa\u0107 zamiennie. Sam\u0105 transpozycj\u0119 sprawdzisz w kalkulatorze <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/transponowanie-macierzy\/\">Transpozycja macierzy<\/a>.<\/li>\n<li>Kalkulator obs\u0142uguje wy\u0142\u0105cznie rozmiary od 2\u00d72 do 6\u00d76, przy elementach z maksymalnie 12 miejscami po przecinku. Dla wi\u0119kszych macierzy u\u017cyj eliminacji po\u0142\u0105czonej z rozwini\u0119ciem albo oprogramowania przeznaczonego do du\u017cych uk\u0142ad\u00f3w liniowych.<\/li>\n<li>Warto zapami\u0119ta\u0107 praktyczny fakt: \\(\\det(kA) = k^{n} \\det A\\) dla macierzy \\(n \\times n\\), poniewa\u017c ka\u017cdy wiersz jest mno\u017cony przez \\(k\\). Kalkulator <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/mnozenie-macierzy-przez-skalar\/\">Mno\u017cenie macierzy przez skalar<\/a> pozwala budowa\u0107 takie macierze bezpo\u015brednio.<\/li>\n<li>Poniewa\u017c niezerowy wyznacznik gwarantuje jednoznaczne rozwi\u0105zanie uk\u0142adu liniowego, mo\u017cesz te\u017c rozwi\u0105zywa\u0107 uk\u0142ady bezpo\u015brednio w kalkulatorze <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/metoda-eliminacji\/\">Metoda eliminacji<\/a> albo por\u00f3wnywa\u0107 pokrewne wielko\u015bci, takie jak suma element\u00f3w przek\u0105tnej, w kalkulatorze <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/kalkulator-slad-macierzy\/\">\u015alad macierzy<\/a>.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Oblicz dok\u0142adny wyznacznik dowolnej macierzy kwadratowej od 2\u00d72 do 6\u00d76. Wpisz elementy jako liczby ca\u0142kowite, dziesi\u0119tne lub u\u0142amki i otrzymaj dok\u0142adny wynik, jego posta\u0107 dziesi\u0119tn\u0105, sprawdzenie osobliwo\u015bci oraz rozwi\u0105zanie krok po kroku.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[51],"class_list":["post-2986","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematyka","tag-macierze"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2986","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2986"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2986\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2986"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2986"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2986"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}