{"id":350,"date":"2026-10-04T09:40:52","date_gmt":"2026-10-04T08:40:52","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-wykladniczego\/"},"modified":"2026-10-04T09:40:52","modified_gmt":"2026-10-04T08:40:52","slug":"kalkulator-rozkladu-wykladniczego","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-wykladniczego\/","title":{"rendered":"Kalkulator rozk\u0142adu wyk\u0142adniczego"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Oblicz prawdopodobie\u0144stwa rozk\u0142adu wyk\u0142adniczego<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"350\" data-favorite-title=\"Rozk\u0142ad wyk\u0142adniczy\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-wykladniczego\/\" data-favorite-excerpt=\"Oblicz prawdopodobie\u0144stwa rozk\u0142adu wyk\u0142adniczego na podstawie intensywno\u015bci \u03bb lub \u015bredniego czasu oczekiwania: g\u0119sto\u015b\u0107, P(X \u2264 t), P(X &gt; t), prawdopodobie\u0144stwo przedzia\u0142owe, \u015bredni\u0105 i median\u0119. Wprowad\u017a intensywno\u015b\u0107, czas oraz opcjonalnie koniec przedzia\u0142u.\" aria-label=\"Dodaj do ulubionych\" data-favorite-icon=\"icon icon-wpcalc-distribution-histogram\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-wykladniczego\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-350\" data-post=\"350\"><fieldset class=\"fieldset-input is-1\"><legend class=\"sr-only\">Pola danych<\/legend><div class=\"field\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Okre\u015bl parametr za pomoc\u0105<\/label><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-1\" name=\"okrel_parametr_za_pomoc\"><option value=\"rate\" selected>Intensywno\u015b\u0107 \u03bb (zdarzenia na jednostk\u0119 czasu)<\/option><option value=\"mean\">\u015aredni czas oczekiwania \u03bc<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">Intensywno\u015b\u0107 (\u03bb)<\/label><div class=\"term\">\u03bb<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><div class=\"field-group\"><input type=\"text\" name=\"intensywno_\" id=\"field-2\" aria-describedby=\"calc-info-2\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" min=\"0\" value=\"2\"\/><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-3\" name=\"na\" aria-label=\"na\"><option value=\"1\">na sekund\u0119<\/option><option value=\"60\">na minut\u0119<\/option><option value=\"3600\" selected>na godzin\u0119<\/option><option value=\"86400\">na dzie\u0144<\/option><option value=\"31536000\">na rok<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><small id=\"calc-info-2\">\u015arednia liczba zdarze\u0144 na jednostk\u0119 czasu.<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-3\" hidden><label for=\"field-4\">\u015aredni czas oczekiwania (\u03bc)<\/label><div class=\"term\">\u03bc<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><div class=\"field-group\"><input type=\"text\" name=\"redni_czas_oczekiwania_\" id=\"field-4\" aria-describedby=\"calc-info-4\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" min=\"0\" value=\"30\"\/><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-5\" name=\"w\" aria-label=\"w\"><option value=\"1\">sekundach<\/option><option value=\"60\" selected>minutach<\/option><option value=\"3600\">godzinach<\/option><option value=\"86400\">dniach<\/option><option value=\"31536000\">latach<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><small id=\"calc-info-4\">\u015aredni czas mi\u0119dzy kolejnymi zdarzeniami (\u03bb = 1\/\u03bc).<\/small><\/div><div class=\"is-single field\" id=\"input-4\"><span class=\"font-semibold\">Czas<\/span><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-5\"><label for=\"field-7\">Czas (t)<\/label><div class=\"term\">t<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><div class=\"field-group\"><input type=\"text\" name=\"czas_t\" id=\"field-7\" aria-describedby=\"calc-info-7\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" min=\"0\" value=\"1\"\/><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-8\" name=\"w\" aria-label=\"w\"><option value=\"1\">sekundach<\/option><option value=\"60\">minutach<\/option><option value=\"3600\" selected>godzinach<\/option><option value=\"86400\">dniach<\/option><option value=\"31536000\">latach<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><small id=\"calc-info-7\">Interesuj\u0105cy Ci\u0119 czas oczekiwania.<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-6\"><label for=\"field-9\">Koniec przedzia\u0142u (b)<\/label><div class=\"term\">b<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><div class=\"field-group\"><input type=\"text\" name=\"koniec_przedziau_b\" id=\"field-9\" aria-describedby=\"calc-info-9\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" min=\"0\" value=\"2\"\/><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-10\" name=\"w\" aria-label=\"w\"><option value=\"1\">sekundach<\/option><option value=\"60\">minutach<\/option><option value=\"3600\" selected>godzinach<\/option><option value=\"86400\">dniach<\/option><option value=\"31536000\">latach<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><small id=\"calc-info-9\">Opcjonalnie: wype\u0142nij, aby otrzyma\u0107 tak\u017ce P(t \u2264 X \u2264 b). Zostaw puste, aby pomin\u0105\u0107.<\/small><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Przelicz ponownie\" id=\"calculate-button\" data-post=\"350\">Oblicz<\/button><button type=\"reset\">Wyczy\u015b\u0107<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Obliczaj automatycznie<\/label><small>Po w\u0142\u0105czeniu wynik aktualizuje si\u0119 automatycznie po zmianie dowolnej warto\u015bci.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Wyniki rozk\u0142adu wyk\u0142adniczego<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>G\u0119sto\u015b\u0107 f(t)<\/span><span class=\"result-term\">f(t)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>Prawdopodobie\u0144stwo skumulowane P(X \u2264 t)<\/span><span class=\"result-term\">F(t)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\" data-unit=\"%\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>Prawdopodobie\u0144stwo przetrwania P(X &gt; t)<\/span><span class=\"result-term\">S(t)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\" data-unit=\"%\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-4\"><span class=\"field-title\"><span>Prawdopodobie\u0144stwo przedzia\u0142owe P(t \u2264 X \u2264 b)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-4\" data-unit=\"%\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-5\"><span class=\"field-title\"><span>\u015aredni czas oczekiwania E(X)<\/span><span class=\"result-term\">E(X)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-5\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-6\"><span class=\"field-title\"><span>Wz\u00f3r, mediana i interpretacja<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-6\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Kopiuj link do tego obliczenia<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Zostaw komentarz<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"350\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Jak oceniasz ten wynik?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Lubi\u0119 to <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Pomocne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niejasne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Rozczarowanie <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niedok\u0142adne <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Wzory rozk\u0142adu wyk\u0142adniczego<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Wz\u00f3r<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ f(t) = \\lambda e^{-\\lambda t}, \\qquad F(t) = P(X \\le t) = 1 - e^{-\\lambda t} \\]\n\\[ S(t) = P(X &gt; t) = e^{-\\lambda t}, \\qquad P(a \\le X \\le b) = e^{-\\lambda a} - e^{-\\lambda b} \\]\n\\[ E(X) = \\frac{1}{\\lambda}, \\qquad \\text{mediana} = \\frac{\\ln 2}{\\lambda} \\]<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>gdzie:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(\\lambda\\) \u2014 parametr intensywno\u015bci: \u015brednia liczba zdarze\u0144 na jednostk\u0119 czasu<\/li>\n<li>\\(t\\) \u2014 interesuj\u0105cy nas czas oczekiwania<\/li>\n<li>\\(f(t)\\) \u2014 g\u0119sto\u015b\u0107 prawdopodobie\u0144stwa w chwili \\(t\\)<\/li>\n<li>\\(F(t)\\) \u2014 skumulowane prawdopodobie\u0144stwo oczekiwania nie d\u0142u\u017cszego ni\u017c \\(t\\)<\/li>\n<li>\\(S(t)\\) \u2014 prawdopodobie\u0144stwo przetrwania, czyli oczekiwania d\u0142u\u017cszego ni\u017c \\(t\\)<\/li>\n<\/ul>\n<p>Rozk\u0142ad wyk\u0142adniczy opisuje czas mi\u0119dzy kolejnymi zdarzeniami zachodz\u0105cymi niezale\u017cnie ze sta\u0142\u0105 \u015bredni\u0105 intensywno\u015bci\u0105. Jedyny parametr \\(\\lambda\\) okre\u015bla wszystko; \u015bredni czas oczekiwania to po prostu \\(1\/\\lambda\\).<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Rozk\u0142ad wyk\u0142adniczy \u2013 przyk\u0142ad obliczenia<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Przyk\u0142ad:<\/strong> po\u0142\u0105czenia przychodz\u0105 do call center ze \u015bredni\u0105 intensywno\u015bci\u0105 2 na godzin\u0119. Jakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce nast\u0119pne po\u0142\u0105czenie nadejdzie w ci\u0105gu 1 godziny, a jakie, \u017ce nadejdzie mi\u0119dzy 1 a 2 godzinami?<\/p>\n<p>\\[ \\lambda t = 2 \\times 1 = 2 \\]<\/p>\n<p>\\[ F(1) = 1 - e^{-2} = 1 - 0{,}1353 = 0{,}8647 \\]<\/p>\n<p>\\[ P(1 \\le X \\le 2) = e^{-2} - e^{-4} = 0{,}1353 - 0{,}0183 = 0{,}1170 \\]<\/p>\n<p><strong>Wynik:<\/strong> P(X \u2264 1 h) = 86,47%, P(X &gt; 1 h) = 13,53%, a P(1 h \u2264 X \u2264 2 h) = 11,70%. G\u0119sto\u015b\u0107 dla t = 1 h wynosi f(1) = 2e\u207b\u00b2 \u2248 0,2707 na godzin\u0119, \u015bredni czas oczekiwania to 0,5 godziny (30 minut), a mediana ln(2)\/2 \u2248 0,3466 godziny (ok. 20,8 minuty). S\u0105 to dok\u0142adnie te warto\u015bci, kt\u00f3re kalkulator pokazuje przy ustawieniach domy\u015blnych.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Jak korzysta\u0107 z kalkulatora<\/h2>\n<ol>\n<li>Otw\u00f3rz <strong>Podaj parametr jako<\/strong> i wybierz, czy chcesz wprowadzi\u0107 intensywno\u015b\u0107 \\(\\lambda\\) (zdarzenia na jednostk\u0119 czasu), czy \u015bredni czas oczekiwania \\(\\mu\\). Wy\u015bwietli si\u0119 tylko odpowiednie pole.<\/li>\n<li>Je\u015bli wybra\u0142e\u015b intensywno\u015b\u0107, wype\u0142nij <strong>Intensywno\u015b\u0107 (\u03bb)<\/strong> i wybierz jednostk\u0119 czasu, w jakiej jest wyra\u017cona (na sekund\u0119, na minut\u0119, na godzin\u0119, na dzie\u0144, na rok). Je\u015bli wybra\u0142e\u015b \u015bredni\u0105, wype\u0142nij <strong>\u015aredni czas oczekiwania (\u03bc)<\/strong> wraz z jednostk\u0105; kalkulator przeliczy go przez \\(\\lambda = 1\/\\mu\\).<\/li>\n<li>Wprowad\u017a <strong>Czas (t)<\/strong> \u2014 interesuj\u0105cy Ci\u0119 czas oczekiwania \u2014 i wybierz jego jednostk\u0119 w polu \u201ew\u201d.<\/li>\n<li>Opcjonalnie wype\u0142nij <strong>Koniec przedzia\u0142u (b)<\/strong>, aby otrzyma\u0107 tak\u017ce prawdopodobie\u0144stwo \\(P(t \\le X \\le b)\\). Zostaw to pole puste, aby pomin\u0105\u0107 ten wynik.<\/li>\n<li>Odczytaj wyniki: g\u0119sto\u015b\u0107 \\(f(t)\\), prawdopodobie\u0144stwo skumulowane \\(P(X \\le t)\\), prawdopodobie\u0144stwo przetrwania \\(P(X &gt; t)\\), prawdopodobie\u0144stwo przedzia\u0142owe, \u015bredni czas oczekiwania oraz podsumowanie zawieraj\u0105ce median\u0119, czas odpowiadaj\u0105cy 90. percentylowi i opisow\u0105 interpretacj\u0119.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Czym jest rozk\u0142ad wyk\u0142adniczy?<\/h2>\n<p>Rozk\u0142ad wyk\u0142adniczy opisuje czas oczekiwania do nast\u0119pnego zdarzenia w procesie, w kt\u00f3rym zdarzenia zachodz\u0105 niezale\u017cnie ze sta\u0142\u0105 \u015bredni\u0105 intensywno\u015bci\u0105 \u2014 w <em>procesie Poissona<\/em>. Typowe zastosowania to czas mi\u0119dzy przyjazdami klient\u00f3w, czas do rozpadu cz\u0105stki radioaktywnej, czas \u017cycia elementu elektronicznego albo czas do nast\u0119pnej awarii serwera.<\/p>\n<p>Rozk\u0142ad jest okre\u015blony jednym parametrem \u2014 intensywno\u015bci\u0105 \\(\\lambda\\). G\u0119sto\u015b\u0107 prawdopodobie\u0144stwa \\(f(t) = \\lambda e^{-\\lambda t}\\) jest najwi\u0119ksza dla \\(t = 0\\) i p\u0142ynnie maleje, co oznacza, \u017ce kr\u00f3tkie czasy oczekiwania s\u0105 najbardziej prawdopodobne. Funkcja skumulowana \\(F(t) = 1 - e^{-\\lambda t}\\) daje prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce oczekiwanie zako\u0144czy si\u0119 najp\u00f3\u017aniej w chwili \\(t\\); jej uzupe\u0142nienie, funkcja prze\u017cycia \\(S(t) = e^{-\\lambda t}\\), daje prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce w chwili \\(t\\) wci\u0105\u017c trwa oczekiwanie.<\/p>\n<p>\u015arednia i odchylenie standardowe s\u0105 oba r\u00f3wne \\(1\/\\lambda\\), natomiast mediana \\(\\ln(2)\/\\lambda \\approx 0{,}693\/\\lambda\\) jest mniejsza. Prowadzi to do praktycznego wniosku: ponad po\u0142owa wszystkich oczekiwa\u0144 ko\u0144czy si\u0119 przed czasem \u015brednim. D\u0142ugie oczekiwanie jest mo\u017cliwe, ale coraz rzadsze \u2014 na przyk\u0142ad tylko 5% oczekiwa\u0144 przekracza \\(3\/\\lambda\\).<\/p>\n<p>Definitywn\u0105 cech\u0105 rozk\u0142adu wyk\u0142adniczego jest <strong>brak pami\u0119ci<\/strong>: \\(P(X &gt; s + t \\mid X &gt; s) = P(X &gt; t)\\). Je\u015bli \u017car\u00f3wka o wyk\u0142adniczo roz\u0142o\u017conym czasie \u017cycia \u015bwieci ju\u017c od roku, jej szanse na przetrwanie kolejnego roku s\u0105 dok\u0142adnie takie same jak w chwili, gdy by\u0142a nowa. Dzi\u0119ki temu rozk\u0142ad wyk\u0142adniczy jest ci\u0105g\u0142ym odpowiednikiem rozk\u0142adu geometrycznego i naturalnym towarzyszem <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-poissona\/\">rozk\u0142adu Poissona<\/a>, kt\u00f3ry opisuje <em>liczb\u0119<\/em> zdarze\u0144 w ustalonym okresie, a nie czas mi\u0119dzy nimi.<\/p>\n<h2>Za\u0142o\u017cenia, ograniczenia i wskaz\u00f3wki<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Sta\u0142a intensywno\u015b\u0107.<\/strong> Model zak\u0142ada, \u017ce zdarzenia zachodz\u0105 ze sta\u0142\u0105 \u015bredni\u0105 intensywno\u015bci\u0105 przez ca\u0142y czas. Je\u015bli intensywno\u015b\u0107 si\u0119 zmienia (np. nap\u0142yw klient\u00f3w w godzinach szczytu, zu\u017cywanie si\u0119 cz\u0119\u015bci mechanicznych), rozk\u0142ad wyk\u0142adniczy zawy\u017cy lub zani\u017cy prawdopodobie\u0144stwa.<\/li>\n<li><strong>Niezale\u017cno\u015b\u0107.<\/strong> Jedno zdarzenie nie mo\u017ce wp\u0142ywa\u0107 na moment wyst\u0105pienia nast\u0119pnego. Grupowanie si\u0119 zdarze\u0144 narusza to za\u0142o\u017cenie.<\/li>\n<li><strong>Brak pami\u0119ci.<\/strong> Je\u015bli proces jest naprawd\u0119 wyk\u0142adniczy, ju\u017c up\u0142yw czasu oczekiwania nie niesie \u017cadnej informacji o pozosta\u0142ym czasie. Czasy \u017cycia maszyn i ludzi zwykle nie s\u0105 pozbawione pami\u0119ci; dla nich lepiej pasuj\u0105 modele niezawodno\u015bciowe, takie jak rozk\u0142ad Weibulla.<\/li>\n<li><strong>Jednostki.<\/strong> Kalkulator przelicza wewn\u0119trznie wszystkie jednostki, wi\u0119c mo\u017cesz poda\u0107 intensywno\u015b\u0107 na godzin\u0119 i czas w minutach bez samodzielnego przeliczania. Rok przyjmowany jest jako 365 dni.<\/li>\n<li><strong>G\u0119sto\u015b\u0107 a prawdopodobie\u0144stwo.<\/strong> \\(f(t)\\) to g\u0119sto\u015b\u0107 na jednostk\u0119 czasu, a nie prawdopodobie\u0144stwo \u2014 mo\u017ce przekracza\u0107 1. Sensowne wypowiedzi prawdopodobie\u0144stwowe to \\(F(t)\\), \\(S(t)\\) i prawdopodobie\u0144stwo przedzia\u0142owe.<\/li>\n<li>Je\u015bli chcesz modelowa\u0107 liczby zdarze\u0144 zamiast czas\u00f3w oczekiwania, u\u017cyj <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-poissona\/\">kalkulatora rozk\u0142adu Poissona<\/a>; dla wynik\u00f3w typu tak\/nie przy ustalonej liczbie pr\u00f3b zobacz <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozklad-dwumianowy\/\">kalkulator rozk\u0142adu dwumianowego<\/a>, a dla symetrycznych danych ci\u0105g\u0142ych <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/statystyka\/kalkulator-rozkladu-normalnego\/\">kalkulator rozk\u0142adu normalnego<\/a>.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Oblicz prawdopodobie\u0144stwa rozk\u0142adu wyk\u0142adniczego na podstawie intensywno\u015bci \u03bb lub \u015bredniego czasu oczekiwania: g\u0119sto\u015b\u0107, P(X \u2264 t), P(X > t), prawdopodobie\u0144stwo przedzia\u0142owe, \u015bredni\u0105 i median\u0119. Wprowad\u017a intensywno\u015b\u0107, czas oraz opcjonalnie koniec przedzia\u0142u.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[11],"tags":[34],"class_list":["post-350","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-statystyka","tag-rozklady"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/350","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=350"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/350\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2061,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/350\/revisions\/2061"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=350"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=350"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=350"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}