{"id":358,"date":"2026-10-04T09:42:08","date_gmt":"2026-10-04T08:42:08","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/ciag-fibonacciego\/"},"modified":"2026-10-04T09:42:08","modified_gmt":"2026-10-04T08:42:08","slug":"ciag-fibonacciego","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/ciag-fibonacciego\/","title":{"rendered":"Generator ci\u0105gu Fibonacciego"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Kalkulator ci\u0105gu Fibonacciego<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"358\" data-favorite-title=\"Ci\u0105g Fibonacciego\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/ciag-fibonacciego\/\" data-favorite-excerpt=\"Wygeneruj ci\u0105g Fibonacciego do dowolnego n-tego wyrazu i natychmiast otrzymaj sum\u0119 wszystkich wyraz\u00f3w. Wprowad\u017a n, a kalkulator wypisze wyrazy od F(0) do F(n) zgodnie z zale\u017cno\u015bci\u0105 rekurencyjn\u0105 F(n) = F(n-1) + F(n-2).\" aria-label=\"Dodaj do ulubionych\" data-favorite-icon=\"icon icon-algebra\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/ciag-fibonacciego\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-358\" data-post=\"358\"><fieldset class=\"fieldset-input is-1\"><legend class=\"sr-only\">Pola danych<\/legend><div class=\"field\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">n-ty wyraz (n)<\/label><input type=\"text\" name=\"nty_wyraz_n\" id=\"field-1\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"10\" min=\"1\" value=\"10\"\/><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Przelicz ponownie\" id=\"calculate-button\" data-post=\"358\">Oblicz<\/button><button type=\"reset\">Wyczy\u015b\u0107<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Obliczaj automatycznie<\/label><small>Po w\u0142\u0105czeniu wynik aktualizuje si\u0119 automatycznie po zmianie dowolnej warto\u015bci.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Twoje wyniki<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Suma ci\u0105gu Fibonacciego<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>Ci\u0105g Fibonacciego<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Kopiuj link do tego obliczenia<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Zostaw komentarz<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"358\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Jak oceniasz ten wynik?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Lubi\u0119 to <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Pomocne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niejasne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Rozczarowanie <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niedok\u0142adne <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Wz\u00f3r na liczby Fibonacciego<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Wz\u00f3r<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ F(n) = F(n - 1) + F(n - 2), \\quad \\text{gdzie} \\quad F(0) = 0, \\; F(1) = 1 \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>Gdzie:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(F(n)\\) \u2014 \\(n\\)-ta liczba Fibonacciego<\/li>\n<li>\\(F(n-1)\\), \\(F(n-2)\\) \u2014 dwa poprzednie wyrazy ci\u0105gu<\/li>\n<\/ul>\n<p>Ta zale\u017cno\u015b\u0107 rekurencyjna definiuje ka\u017cdy wyraz jako sum\u0119 dw\u00f3ch poprzednich, pocz\u0105wszy od 0 i 1. Ci\u0105g zaczyna si\u0119 od \\(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, \\ldots\\)<\/p>\n<p>Istnieje r\u00f3wnie\u017c wz\u00f3r jawny, znany jako wz\u00f3r Bineta:<\/p>\n<p>\\[ F(n) = \\frac{\\varphi^n - \\psi^n}{\\sqrt{5}}, \\quad \\varphi = \\frac{1 + \\sqrt{5}}{2}, \\; \\psi = \\frac{1 - \\sqrt{5}}{2} \\]<\/p>\n<p>Tutaj \\(\\varphi \\approx 1.618\\) to z\u0142ota liczba, do kt\u00f3rej d\u0105\u017cy stosunek kolejnych liczb Fibonacciego wraz ze wzrostem \\(n\\).<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Ci\u0105g Fibonacciego \u2013 przyk\u0142ad obliczenia<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Przyk\u0142ad:<\/strong> wygeneruj ci\u0105g Fibonacciego do 10. wyrazu, przy \\(n = 10\\).<\/p>\n<p>\\[ F(0) = 0, \\; F(1) = 1 \\]<\/p>\n<p>\\[ F(2) = 1 + 0 = 1, \\quad F(3) = 1 + 1 = 2, \\quad F(4) = 2 + 1 = 3 \\]<\/p>\n<p>\\[ F(5) = 3 + 2 = 5, \\quad F(6) = 5 + 3 = 8, \\quad F(7) = 8 + 5 = 13 \\]<\/p>\n<p>\\[ F(8) = 13 + 8 = 21, \\quad F(9) = 21 + 13 = 34, \\quad F(10) = 34 + 21 = 55 \\]<\/p>\n<p><strong>Wynik:<\/strong> ci\u0105g to 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, a suma wynosi 143.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Jak korzysta\u0107 z kalkulatora ci\u0105gu Fibonacciego<\/h2>\n<ol>\n<li>Wprowad\u017a \u017c\u0105dan\u0105 liczb\u0119 wyraz\u00f3w w polu <strong>\u201en-ty wyraz (n)\u201d<\/strong> (na przyk\u0142ad 10).<\/li>\n<li>Kalkulator generuje pe\u0142ny ci\u0105g od \\(F(0)\\) a\u017c do \\(F(n)\\).<\/li>\n<li>Odczytaj wynik <strong>\u201eCi\u0105g Fibonacciego\u201d<\/strong>, aby zobaczy\u0107 wszystkie wyrazy wypisane po kolei.<\/li>\n<li>Odczytaj wynik <strong>\u201eSuma ci\u0105gu Fibonacciego\u201d<\/strong>, aby otrzyma\u0107 sum\u0119 wszystkich wygenerowanych wyraz\u00f3w.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Czym jest ci\u0105g Fibonacciego?<\/h2>\n<p>Ci\u0105g Fibonacciego to jeden z najbardziej znanych ci\u0105g\u00f3w liczbowych w matematyce. Ka\u017cdy wyraz jest sum\u0105 dw\u00f3ch wyraz\u00f3w poprzedzaj\u0105cych go: pocz\u0105wszy od 0 i 1, otrzymujemy 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 i tak dalej. Ci\u0105g nazwano na cze\u015b\u0107 w\u0142oskiego matematyka Leonarda z Pizy, zwanego Fibonaccim, kt\u00f3ry wprowadzi\u0142 go do matematyki europejskiej w 1202 roku w swojej ksi\u0105\u017cce <em>Liber Abaci<\/em>, gdzie modelowa\u0142 wzrost populacji kr\u00f3lik\u00f3w.<\/p>\n<p>Ci\u0105g ma niezwyk\u0142\u0105 w\u0142asno\u015b\u0107: wraz ze wzrostem \\(n\\) stosunek \\(F(n+1)\/F(n)\\) d\u0105\u017cy do z\u0142otej liczby \\(\\varphi \\approx 1.618\\). To powi\u0105zanie \u0142\u0105czy liczby Fibonacciego z geometri\u0105, sztuk\u0105 i architektur\u0105. W przyrodzie liczby Fibonacciego pojawiaj\u0105 si\u0119 w spiralach s\u0142onecznik\u00f3w i szyszek, w u\u0142o\u017ceniu li\u015bci na \u0142odydze (filotaksji) oraz we wzorcach rozga\u0142\u0119zie\u0144 drzew.<\/p>\n<p>Poza matematyk\u0105 ci\u0105g jest szeroko wykorzystywany w informatyce. Ilustruje rekurencj\u0119, programowanie dynamiczne i memoizacj\u0119, a tak\u017ce pojawia si\u0119 w algorytmach takich jak technika wyszukiwania Fibonacciego czy struktura danych kopca Fibonacciego. Suma pierwszych wyraz\u00f3w r\u00f3wnie\u017c ma zgrabny wz\u00f3r jawny: suma \\(F(0) + F(1) + \\cdots + F(n)\\) zawsze r\u00f3wna si\u0119 \\(F(n+2) - 1\\). Mo\u017cesz to sprawdzi\u0107 na powy\u017cszym przyk\u0142adzie: \\(F(12) - 1 = 144 - 1 = 143\\).<\/p>\n<p>Je\u015bli studiujesz ci\u0105gi liczbowe, mo\u017cesz r\u00f3wnie\u017c por\u00f3wna\u0107 ci\u0105g Fibonacciego z <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/ciag-geometryczny\/\">ci\u0105giem geometrycznym<\/a>, w kt\u00f3rym ka\u017cdy wyraz jest mno\u017cony przez sta\u0142\u0105 liczb\u0119, a nie dodawany.<\/p>\n<h2>Uwagi i ograniczenia<\/h2>\n<ul>\n<li>Kalkulator liczy wyrazy od \\(F(0) = 0\\), wi\u0119c wprowadzenie \\(n = 10\\) daje \\(n + 1 = 11\\) liczb: od \\(F(0)\\) do \\(F(10)\\).<\/li>\n<li>Warto\u015bci \\(n\\) mniejsze od 1 s\u0105 nieprawid\u0142owe; minimalna dozwolona warto\u015b\u0107 to 1.<\/li>\n<li>Liczby Fibonacciego rosn\u0105 wyk\u0142adniczo. Dla bardzo du\u017cych \\(n\\) wyrazy i ich suma staj\u0105 si\u0119 ogromne, a wyniki s\u0105 wy\u015bwietlane jako zaokr\u0105glone liczby JavaScript, trac\u0105c precyzj\u0119 powy\u017cej \\(2^{53}\\) (oko\u0142o \\(n = 78\\)).<\/li>\n<li>Niekt\u00f3re \u017ar\u00f3d\u0142a rozpoczynaj\u0105 ci\u0105g od 1, 1 zamiast od 0, 1. Obie konwencje opisuj\u0105 ten sam ci\u0105g; ten kalkulator stosuje standardow\u0105 numeracj\u0119 z \\(F(0) = 0\\).<\/li>\n<li>Wynik sumy wykorzystuje to\u017csamo\u015b\u0107 \\(F(0) + F(1) + \\cdots + F(n) = F(n+2) - 1\\), kt\u00f3ra jest szybkim sposobem na r\u0119czne sprawdzenie wynik\u00f3w kalkulatora.<\/li>\n<\/ul>\n<h2>\u015aci\u0105ga \u2014 tabela najwa\u017cniejszych warto\u015bci<\/h2>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>n<\/th>\n<th>F(n)<\/th>\n<th>Suma F(0)\u2026F(n)<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>1<\/td>\n<td>1<\/td>\n<td>1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>5<\/td>\n<td>5<\/td>\n<td>12<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>10<\/td>\n<td>55<\/td>\n<td>143<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>15<\/td>\n<td>610<\/td>\n<td>1 596<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>20<\/td>\n<td>6 765<\/td>\n<td>17 710<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>W przypadku powi\u0105zanych narz\u0119dzi wypr\u00f3buj <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/wspolczynnik-dwumianowy\/\">kalkulator wsp\u00f3\u0142czynnika dwumianowego<\/a> lub rozwi\u0105zuj r\u00f3wnania za pomoc\u0105 <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/rownanie-kwadratowe\/\">kalkulatora r\u00f3wna\u0144 kwadratowych<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Wygeneruj ci\u0105g Fibonacciego do dowolnego n-tego wyrazu i natychmiast otrzymaj sum\u0119 wszystkich wyraz\u00f3w. Wprowad\u017a n, a kalkulator wypisze wyrazy od F(0) do F(n) zgodnie z zale\u017cno\u015bci\u0105 rekurencyjn\u0105 F(n) = F(n-1) + F(n-2).<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[16],"class_list":["post-358","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematyka","tag-algebra"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/358","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=358"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/358\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1533,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/358\/revisions\/1533"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=358"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=358"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=358"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}