{"id":406,"date":"2026-10-04T09:53:54","date_gmt":"2026-10-04T08:53:54","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/srednia-harmoniczna\/"},"modified":"2026-10-04T09:53:54","modified_gmt":"2026-10-04T08:53:54","slug":"srednia-harmoniczna","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/srednia-harmoniczna\/","title":{"rendered":"Kalkulator \u015bredniej harmonicznej"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Oblicz \u015bredni\u0105 harmoniczn\u0105 liczb<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"406\" data-favorite-title=\"\u015arednia harmoniczna\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/srednia-harmoniczna\/\" data-favorite-excerpt=\"Wprowad\u017a dwie lub wi\u0119cej liczb dodatnich, a kalkulator zwr\u00f3ci ich \u015bredni\u0105 harmoniczn\u0105 \u2014 odwrotno\u015b\u0107 \u015bredniej z odwrotno\u015bci \u2014 idealn\u0105 do u\u015bredniania stawek i pr\u0119dko\u015bci.\" aria-label=\"Dodaj do ulubionych\" data-favorite-icon=\"icon icon-arithmetic\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/srednia-harmoniczna\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-406\" data-post=\"406\"><fieldset class=\"fieldset-input\"><legend class=\"sr-only\">Pola danych<\/legend><div class=\"field is-single\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Liczba warto\u015bci<\/label><input type=\"text\" name=\"liczba_wartoci\" id=\"field-1\" aria-describedby=\"calc-info-1\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" min=\"2\" value=\"2\"\/><small id=\"calc-info-1\">Wprowad\u017a, dla ilu warto\u015bci chcesz obliczy\u0107 \u015bredni\u0105 harmoniczn\u0105<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">Liczba 1<\/label><div class=\"term\">n\u2081<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"liczba_1\" id=\"field-2\" step=\"any\" value=\"10\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">Liczba 2<\/label><div class=\"term\">n\u2082<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"liczba_2\" id=\"field-3\" step=\"any\" value=\"20\"\/><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Przelicz ponownie\" id=\"calculate-button\" data-post=\"406\">Oblicz<\/button><button type=\"reset\">Wyczy\u015b\u0107<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Obliczaj automatycznie<\/label><small>Po w\u0142\u0105czeniu wynik aktualizuje si\u0119 automatycznie po zmianie dowolnej warto\u015bci.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Twoje wyniki<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>\u015arednia<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Kopiuj link do tego obliczenia<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Zostaw komentarz<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"406\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Jak oceniasz ten wynik?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Lubi\u0119 to <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Pomocne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niejasne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Rozczarowanie <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niedok\u0142adne <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Wz\u00f3r na \u015bredni\u0105 harmoniczn\u0105<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Wz\u00f3r<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ H = \\frac{n}{\\dfrac{1}{x_1} + \\dfrac{1}{x_2} + \\cdots + \\dfrac{1}{x_n}} \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>Gdzie:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(H\\) \u2014 \u015brednia harmoniczna<\/li>\n<li>\\(n\\) \u2014 liczba warto\u015bci<\/li>\n<li>\\(x_1, x_2, \\ldots, x_n\\) \u2014 poszczeg\u00f3lne warto\u015bci; ka\u017cda musi by\u0107 dodatnia i r\u00f3\u017cna od zera<\/li>\n<\/ul>\n<p>Wz\u00f3r dzieli liczb\u0119 warto\u015bci przez sum\u0119 ich odwrotno\u015bci. R\u00f3wnowa\u017cnie jest to odwrotno\u015b\u0107 \u015bredniej arytmetycznej odwrotno\u015bci, dzi\u0119ki czemu wi\u0119ksz\u0105 wag\u0119 nadaje mniejszym warto\u015bciom.<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>\u015arednia harmoniczna \u2014 przyk\u0142ad obliczenia<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Przyk\u0142ad:<\/strong> pokonujesz ten sam dystans dwa razy \u2014 najpierw z pr\u0119dko\u015bci\u0105 10 km\/h, potem 20 km\/h \u2014 i chcesz pozna\u0107 \u015bredni\u0105 pr\u0119dko\u015b\u0107 ca\u0142ej podr\u00f3\u017cy.<\/p>\n<p>\\[ H = \\frac{2}{\\dfrac{1}{10} + \\dfrac{1}{20}} = \\frac{2}{0{,}1 + 0{,}05} = \\frac{2}{0{,}15} \\approx 13{,}33 \\]<\/p>\n<p><strong>Wynik:<\/strong> \u015brednia harmoniczna liczb 10 i 20 wynosi oko\u0142o <strong>13,33 km\/h<\/strong> \u2014 a nie 15, jak b\u0142\u0119dnie sugerowa\u0142aby \u015brednia arytmetyczna.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Jak korzysta\u0107 z kalkulatora<\/h2>\n<ol>\n<li>Wpisz, ile warto\u015bci chcesz u\u015bredni\u0107, w polu <strong>Liczba warto\u015bci<\/strong> (minimum 2). Dodatkowe pola pojawi\u0105 si\u0119 automatycznie.<\/li>\n<li>Wpisz swoje liczby dodatnie w pola <strong>Liczba 1<\/strong>, <strong>Liczba 2<\/strong> i tak dalej.<\/li>\n<li>Wynik pojawi si\u0119 natychmiast w polu <strong>\u015arednia<\/strong> \u2014 bez konieczno\u015bci klikania przycisku.<\/li>\n<li>Je\u015bli kt\u00f3ra\u015b warto\u015b\u0107 jest zerowa lub ujemna, kalkulator wy\u015bwietli b\u0142\u0105d, poniewa\u017c \u015brednia harmoniczna jest zdefiniowana tylko dla liczb dodatnich.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Czym jest \u015brednia harmoniczna?<\/h2>\n<p>\u015arednia harmoniczna to jedna z trzech klasycznych \u015brednich pitagorejskich, obok <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/kalkulator-sredniej\/\">\u015bredniej arytmetycznej<\/a> i <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/srednia-geometryczna\/\">\u015bredniej geometrycznej<\/a>. Dla dowolnego zbioru liczb dodatnich zawsze spe\u0142niona jest nier\u00f3wno\u015b\u0107:<\/p>\n<p>\\[ H \\leq G \\leq A \\]<\/p>\n<p>przy czym r\u00f3wno\u015b\u0107 zachodzi tylko wtedy, gdy wszystkie warto\u015bci s\u0105 identyczne. W praktyce \u015brednia harmoniczna jest w\u0142a\u015bciw\u0105 \u015bredni\u0105 zawsze wtedy, gdy \u0142\u0105czone wielko\u015bci wyra\u017cone s\u0105 jako stawki \u2014 czyli jako co\u015b <em>na jednostk\u0119<\/em> czego\u015b innego, na przyk\u0142ad kilometr\u00f3w na godzin\u0119, litr\u00f3w na 100 km czy sztuk wyprodukowanych na godzin\u0119.<\/p>\n<p>&lt;Klasyczn\u0105 ilustracj\u0105 jest \u015brednia pr\u0119dko\u015b\u0107. Je\u015bli jedziesz 100 km z pr\u0119dko\u015bci\u0105 60 km\/h i kolejne 100 km z pr\u0119dko\u015bci\u0105 40 km\/h, Twoja prawdziwa \u015brednia pr\u0119dko\u015b\u0107 to nie 50 km\/h, lecz \u015brednia harmoniczna \\(2\/(1\/60 + 1\/40) = 48\\) km\/h, poniewa\u017c przy mniejszej pr\u0119dko\u015bci sp\u0119dzasz wi\u0119cej czasu. Za ka\u017cdym razem, gdy ka\u017cda warto\u015b\u0107 dotyczy <em>tego samego dystansu, obj\u0119to\u015bci lub nak\u0142adu pracy<\/em>, to \u015brednia harmoniczna \u2014 a nie arytmetyczna \u2014 daje poprawn\u0105 \u0142\u0105czn\u0105 stawk\u0119.<\/p>\n<p>Poniewa\u017c ma\u0142e warto\u015bci wnosz\u0105 nieproporcjonalnie du\u017ce odwrotno\u015bci, \u015brednia harmoniczna jest przyci\u0105gana ku najmniejszym elementom i odporna na bardzo du\u017ce warto\u015bci odstaj\u0105ce. W\u0142a\u015bciwo\u015b\u0107 ta wykorzystywana jest w finansach do u\u015bredniania wska\u017anik\u00f3w cena\/zysk portfela, w uczeniu maszynowym we wska\u017aniku F1 (\u015bredniej harmonicznej precyzji i czu\u0142o\u015bci) oraz w elektrotechnice dla rezystor\u00f3w po\u0142\u0105czonych r\u00f3wnolegle.<\/p>\n<h2>Za\u0142o\u017cenia, ograniczenia i wskaz\u00f3wki<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Wszystkie warto\u015bci musz\u0105 by\u0107 dodatnie.<\/strong> Nawet jedna liczba zerowa lub ujemna sprawia, \u017ce \u015brednia harmoniczna jest niezdefiniowana \u2014 kalkulator odrzuci taki wpis.<\/li>\n<li><strong>Stosuj j\u0105 do stawek, nie do wielko\u015bci.<\/strong> Je\u015bli u\u015bredniasz bezpo\u015brednio ceny, masy czy wyniki, zwykle w\u0142a\u015bciwym wyborem jest \u015brednia arytmetyczna lub <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/srednia-wazona\/\">\u015brednia wa\u017cona<\/a>.<\/li>\n<li>Przyjmowana jest r\u00f3wna waga.<\/strong> Ka\u017cda warto\u015b\u0107 liczy si\u0119 tak samo. Je\u015bli Twoje stawki dotycz\u0105 r\u00f3\u017cnych dystans\u00f3w lub obj\u0119to\u015bci, potrzebna jest \u015brednia harmoniczna wa\u017cona.<\/li>\n<li><strong>Jedna skrajnie ma\u0142a warto\u015b\u0107 dominuje.<\/strong> \u015arednia harmoniczna liczb \\(1, 100, 100\\) wynosi oko\u0142o 2,94, a nie gdzie\u015b w pobli\u017cu 67. Upewnij si\u0119, \u017ce pojedyncza male\u0144ka warto\u015b\u0107 rzeczywi\u015bcie nale\u017cy do Twoich danych.<\/li>\n<li>Aby por\u00f3wna\u0107 wszystkie trzy klasyczne \u015brednie na tych samych danych \u2014 lub aby pracowa\u0107 ze \u015bredni\u0105 kwadratow\u0105 stosowan\u0105 w statystyce \u2014 wypr\u00f3buj <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/kalkulator-sredniej-kwadratowej-rms\/\">kalkulator \u015bredniej kwadratowej (RMS)<\/a>.<\/li>\n<\/ul>\n<h2>\u015arednia harmoniczna a inne \u015brednie<\/h2>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>\u015arednia<\/th>\n<th>Najlepsza do<\/th>\n<th>Przyk\u0142ad zastosowania<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>\u015arednia harmoniczna<\/td>\n<td>Stawki na r\u00f3wnych jednostkach (pr\u0119dko\u015b\u0107, wydajno\u015b\u0107)<\/td>\n<td>\u015arednia pr\u0119dko\u015b\u0107 na r\u00f3wnych odcinkach<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u015arednia geometryczna<\/td>\n<td>Dane multiplikatywne, tempa wzrostu<\/td>\n<td>\u015arednia stopa zwrotu z inwestycji w latach<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u015arednia arytmetyczna<\/td>\n<td>Wielko\u015bci addytywne<\/td>\n<td>\u015arednia wynik\u00f3w test\u00f3w<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u015arednia kwadratowa (RMS)<\/td>\n<td>Dane wahaj\u0105ce si\u0119 wok\u00f3\u0142 zera<\/td>\n<td>Skuteczne napi\u0119cie sygna\u0142u zmiennego<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Praktyczne zastosowanie pokrewne to <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/kalkulator-czasu-wspolnej-pracy\/\">obliczanie, jak d\u0142ugo dwie osoby wykonuj\u0105 prac\u0119 wsp\u00f3lnie<\/a> \u2014 stoj\u0105ca za tym matematyka jest w istocie obliczeniem \u015bredniej harmonicznej.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Wprowad\u017a dwie lub wi\u0119cej liczb dodatnich, a kalkulator zwr\u00f3ci ich \u015bredni\u0105 harmoniczn\u0105 \u2014 odwrotno\u015b\u0107 \u015bredniej z odwrotno\u015bci \u2014 idealn\u0105 do u\u015bredniania stawek i pr\u0119dko\u015bci.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[17],"class_list":["post-406","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematyka","tag-kalkulatory-arytmetyczne"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/406","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=406"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/406\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2098,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/406\/revisions\/2098"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=406"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=406"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=406"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}