{"id":46,"date":"2026-10-04T08:19:46","date_gmt":"2026-10-04T07:19:46","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/modul-wektora-3d\/"},"modified":"2026-10-04T08:19:46","modified_gmt":"2026-10-04T07:19:46","slug":"modul-wektora-3d","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/modul-wektora-3d\/","title":{"rendered":"Kalkulator modu\u0142u wektora 3D"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Kalkulator modu\u0142u wektora 3D kalkulator<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"46\" data-favorite-title=\"Modu\u0142 wektora 3D\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/modul-wektora-3d\/\" data-favorite-excerpt=\"Natychmiast oblicz d\u0142ugo\u015b\u0107 (modu\u0142) dowolnego wektora w przestrzeni 3D. Wprowad\u017a sk\u0142adowe x, y i z, a kalkulator zwr\u00f3ci modu\u0142 euklidesowy, korzystaj\u0105c z tr\u00f3jwymiarowego twierdzenia Pitagorasa.\" aria-label=\"Dodaj do ulubionych\" data-favorite-icon=\"icon icon-geometry\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/modul-wektora-3d\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-46\" data-post=\"46\"><fieldset class=\"fieldset-input is-3\"><legend class=\"sr-only\">Pola danych<\/legend><div class=\"field\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Wektor X<\/label><input type=\"number\" name=\"wektor_x\" id=\"field-1\" placeholder=\"3\" step=\"1\" value=\"3\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">Wektor Y<\/label><input type=\"number\" name=\"wektor_y\" id=\"field-2\" placeholder=\"4\" step=\"1\" value=\"4\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">Wektor Z<\/label><input type=\"number\" name=\"wektor_z\" id=\"field-3\" placeholder=\"5\" step=\"1\" value=\"5\"\/><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Przelicz ponownie\" id=\"calculate-button\" data-post=\"46\">Oblicz<\/button><button type=\"reset\">Wyczy\u015b\u0107<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Obliczaj automatycznie<\/label><small>Po w\u0142\u0105czeniu wynik aktualizuje si\u0119 automatycznie po zmianie dowolnej warto\u015bci.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Twoje wyniki<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>D\u0142ugo\u015b\u0107 wektora<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Kopiuj link do tego obliczenia<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Zostaw komentarz<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"46\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Jak oceniasz ten wynik?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Lubi\u0119 to <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Pomocne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niejasne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Rozczarowanie <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niedok\u0142adne <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Wz\u00f3r na modu\u0142 wektora 3D<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Wz\u00f3r<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ \\| \\vec{v} \\| = \\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>Gdzie:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(x\\) \u2014 sk\u0142adowa wektora wzd\u0142u\u017c osi x<\/li>\n<li>\\(y\\) \u2014 sk\u0142adowa wektora wzd\u0142u\u017c osi y<\/li>\n<li>\\(z\\) \u2014 sk\u0142adowa wektora wzd\u0142u\u017c osi z<\/li>\n<li>\\(\\| \\vec{v} \\|\\) \u2014 modu\u0142 (d\u0142ugo\u015b\u0107) wektora \\(\\vec{v} = (x, y, z)\\)<\/li>\n<\/ul>\n<p>Wz\u00f3r podaje d\u0142ugo\u015b\u0107 euklidesow\u0105 wektora w przestrzeni tr\u00f3jwymiarowej: ka\u017cd\u0105 sk\u0142adow\u0105 podnosisz do kwadratu, sumujesz kwadraty i bierzesz pierwiastek z tej sumy. Jest to bezpo\u015brednie rozszerzenie twierdzenia Pitagorasa na trzy wymiary.<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Modu\u0142 wektora 3D \u2013 przyk\u0142ad obliczenia<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Przyk\u0142ad:<\/strong> wektor ma sk\u0142adowe \\(x = 3\\), \\(y = 4\\) i \\(z = 5\\). Znajd\u017a jego modu\u0142.<\/p>\n<p>\\[ \\| \\vec{v} \\| = \\sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \\sqrt{9 + 16 + 25} = \\sqrt{50} \\approx 7.071 \\]<\/p>\n<p><strong>Wynik:<\/strong> modu\u0142 wektora wynosi oko\u0142o <strong>7,071<\/strong>.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Jak korzysta\u0107 z kalkulatora modu\u0142u wektora 3D<\/h2>\n<ol>\n<li>Wprowad\u017a sk\u0142adow\u0105 x swojego wektora w polu <strong>Wektor X<\/strong>.<\/li>\n<li>Wprowad\u017a sk\u0142adow\u0105 y w polu <strong>Wektor Y<\/strong>.<\/li>\n<li>Wprowad\u017a sk\u0142adow\u0105 z w polu <strong>Wektor Z<\/strong>.<\/li>\n<li><strong>Modu\u0142<\/strong> zostanie obliczony automatycznie i wy\u015bwietlony pod polami wprowadzania, zaokr\u0105glony do trzech miejsc po przecinku.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Wszystkie trzy pola akceptuj\u0105 warto\u015bci ujemne i dziesi\u0119tne, dzi\u0119ki czemu wektory skierowane w dowoln\u0105 stron\u0119 przestrzeni 3D s\u0105 obs\u0142ugiwane poprawnie.<\/p>\n<h2>Czym jest modu\u0142 wektora 3D?<\/h2>\n<p>Wektor w przestrzeni tr\u00f3jwymiarowej ma zar\u00f3wno kierunek, jak i d\u0142ugo\u015b\u0107. D\u0142ugo\u015b\u0107 \u2014 nazywana modu\u0142em, norm\u0105 lub norm\u0105 euklidesow\u0105 \u2014 m\u00f3wi, \u201eile\u201d jest tego wektora, niezale\u017cnie od tego, gdzie wskazuje. Zapisuje si\u0119 j\u0105 jako \\(\\| \\vec{v} \\|\\) lub czasem po prostu \\(| \\vec{v} |\\).<\/p>\n<p>Geometrycznie modu\u0142 to odleg\u0142o\u015b\u0107 w linii prostej od pocz\u0105tku uk\u0142adu \\((0, 0, 0)\\) do punktu \\((x, y, z)\\), w kt\u00f3rym wektor si\u0119 ko\u0144czy. Dlatego wz\u00f3r to po prostu twierdzenie Pitagorasa zastosowane dwukrotnie: najpierw na osiach \\(x\\) i \\(y\\), a nast\u0119pnie rozszerzone przez o\u015b \\(z\\). Wynik jest zawsze zerem lub liczb\u0105 dodatni\u0105 \u2014 nigdy nie jest ujemny, poniewa\u017c d\u0142ugo\u015b\u0107 nie ma kierunku.<\/p>\n<p>Modu\u0142 ma znaczenie w wielu praktycznych sytuacjach. W fizyce, je\u015bli \\(\\vec{v}\\) jest wektorem pr\u0119dko\u015bci, jego modu\u0142 to pr\u0119dko\u015b\u0107 skalarna; je\u015bli jest to wektor si\u0142y, jego modu\u0142 to wielko\u015b\u0107 si\u0142y w niutonach. W grafice 3D i tworzeniu gier modu\u0142 wektora przesuni\u0119cia daje odleg\u0142o\u015b\u0107 mi\u0119dzy dwoma punktami i stanowi pierwszy krok normalizacji wektora (podzielenia ka\u017cdej sk\u0142adowej przez modu\u0142, aby otrzyma\u0107 wektor jednostkowy o d\u0142ugo\u015bci 1).<\/p>\n<p>Interpretacja wyniku jest prosta: wi\u0119kszy modu\u0142 oznacza d\u0142u\u017cszy lub silniejszy wektor. Modu\u0142 r\u00f3wny dok\u0142adnie 0 oznacza, \u017ce wektorem jest wektor zerowy \\((0, 0, 0)\\), kt\u00f3ry w og\u00f3le nie ma kierunku.<\/p>\n<h2>Za\u0142o\u017cenia, ograniczenia i wskaz\u00f3wki<\/h2>\n<ul>\n<li>Kalkulator zak\u0142ada standardow\u0105 przestrze\u0144 euklidesow\u0105 z ortonormalnym uk\u0142adem wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych \\(x, y, z\\). W sko\u015bnych lub niekartezja\u0144skich wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych wz\u00f3r wymaga\u0142by korekty.<\/li>\n<li>Modu\u0142 jest zawsze nieujemny. Je\u015bli potrzebujesz informacji o kierunku, nios\u0105 j\u0105 same sk\u0142adowe \u2014 sam modu\u0142 nie m\u00f3wi, gdzie wektor wskazuje.<\/li>\n<li>Wynik jest zaokr\u0105glany do trzech miejsc po przecinku, co wystarcza do wi\u0119kszo\u015bci zada\u0144 domowych i in\u017cynierskich; miej to na uwadze przy obliczeniach wymagaj\u0105cych wi\u0119kszej precyzji.<\/li>\n<li>Je\u015bli chcesz otrzyma\u0107 wektor jednostkowy (o d\u0142ugo\u015bci 1) w tym samym kierunku, podziel ka\u017cd\u0105 sk\u0142adow\u0105 przez modu\u0142: \\((x, y, z) \/ \\| \\vec{v} \\|\\).<\/li>\n<li>Dla wektor\u00f3w le\u017c\u0105cych tylko w p\u0142aszczy\u017anie ustaw \\(z = 0\\) albo skorzystaj z dedykowanego <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/dlugosc-wektora-2d\/\">kalkulatora modu\u0142u wektora 2D<\/a>.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Powi\u0105zane narz\u0119dzia oparte na dzia\u0142aniach na wektorach to m.in. <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/iloczyn-skalarny-wektorow-3d\/\">kalkulator iloczynu skalarnego wektor\u00f3w 3D<\/a>, kt\u00f3ry wykorzystuje modu\u0142y do obliczania iloczyn\u00f3w skalarnych i k\u0105t\u00f3w, oraz <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/odleglosc-projekcja-perspektywiczna\/\">kalkulator odleg\u0142o\u015bci w rzucie perspektywicznym<\/a> do pracy z odleg\u0142o\u015bciami w scenach 3D.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Natychmiast oblicz d\u0142ugo\u015b\u0107 (modu\u0142) dowolnego wektora w przestrzeni 3D. Wprowad\u017a sk\u0142adowe x, y i z, a kalkulator zwr\u00f3ci modu\u0142 euklidesowy, korzystaj\u0105c z tr\u00f3jwymiarowego twierdzenia Pitagorasa.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[41],"class_list":["post-46","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematyka","tag-geometria"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/46","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=46"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/46\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1778,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/46\/revisions\/1778"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=46"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=46"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=46"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}