{"id":479,"date":"2026-10-04T10:09:46","date_gmt":"2026-10-04T09:09:46","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/kalkulator-dwusiecznej-kata\/"},"modified":"2026-10-04T10:09:46","modified_gmt":"2026-10-04T09:09:46","slug":"kalkulator-dwusiecznej-kata","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/kalkulator-dwusiecznej-kata\/","title":{"rendered":"Kalkulator d\u0142ugo\u015bci dwusiecznej k\u0105ta"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Oblicz d\u0142ugo\u015b\u0107 dwusiecznej k\u0105ta<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"479\" data-favorite-title=\"D\u0142ugo\u015b\u0107 dwusiecznej k\u0105ta\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/kalkulator-dwusiecznej-kata\/\" data-favorite-excerpt=\"Podaj d\u0142ugo\u015bci trzech bok\u00f3w tr\u00f3jk\u0105ta, aby obliczy\u0107 d\u0142ugo\u015b\u0107 wewn\u0119trznej dwusiecznej k\u0105ta \u2014 odcinka, kt\u00f3ry dzieli k\u0105t mi\u0119dzy Bokiem 1 a Bokiem 2 na dwie r\u00f3wne cz\u0119\u015bci.\" aria-label=\"Dodaj do ulubionych\" data-favorite-icon=\"icon icon-geometry\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/kalkulator-dwusiecznej-kata\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-479\" data-post=\"479\"><fieldset class=\"fieldset-input is-3\"><legend class=\"sr-only\">Pola danych<\/legend><div class=\"field\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Bok 1<\/label><input type=\"text\" name=\"bok_1\" id=\"field-1\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"5\" min=\"0\" value=\"5\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">Bok 2<\/label><input type=\"text\" name=\"bok_2\" id=\"field-2\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"7\" min=\"0\" value=\"7\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">Bok 3<\/label><input type=\"text\" name=\"bok_3\" id=\"field-3\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"6\" min=\"0\" value=\"6\"\/><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Przelicz ponownie\" id=\"calculate-button\" data-post=\"479\">Oblicz<\/button><button type=\"reset\">Wyczy\u015b\u0107<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Obliczaj automatycznie<\/label><small>Po w\u0142\u0105czeniu wynik aktualizuje si\u0119 automatycznie po zmianie dowolnej warto\u015bci.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Twoje wyniki<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>D\u0142ugo\u015b\u0107 dwusiecznej k\u0105ta<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Kopiuj link do tego obliczenia<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Zostaw komentarz<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"479\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Jak oceniasz ten wynik?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Lubi\u0119 to <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Pomocne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niejasne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Rozczarowanie <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niedok\u0142adne <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Wz\u00f3r na d\u0142ugo\u015b\u0107 dwusiecznej k\u0105ta<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Wz\u00f3r<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ l = \\sqrt{ab\\left(1 - \\frac{c^{2}}{(a+b)^{2}}\\right)} = \\frac{\\sqrt{ab\\left((a+b)^{2} - c^{2}\\right)}}{a+b} \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>Gdzie:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(l\\) \u2014 d\u0142ugo\u015b\u0107 dwusiecznej k\u0105ta mi\u0119dzy bokami \\(a\\) i \\(b\\)<\/li>\n<li>\\(a\\) i \\(b\\) \u2014 dwa boki tr\u00f3jk\u0105ta tworz\u0105ce dzielony k\u0105t (Bok 1 i Bok 2 w kalkulatorze)<\/li>\n<li>\\(c\\) \u2014 bok naprzeciw dzielonego k\u0105ta (Bok 3 w kalkulatorze)<\/li>\n<\/ul>\n<p>R\u00f3wnowa\u017cna posta\u0107 to \\( l = \\dfrac{2ab\\cos(C\/2)}{a+b} \\), gdzie \\(C\\) oznacza dzielony k\u0105t. Oba wyra\u017cenia daj\u0105 d\u0142ugo\u015b\u0107 wewn\u0119trznej dwusiecznej mierzon\u0105 od wierzcho\u0142ka do boku przeciwleg\u0142ego.<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>D\u0142ugo\u015b\u0107 dwusiecznej k\u0105ta \u2014 przyk\u0142ad obliczenia<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Przyk\u0142ad:<\/strong> tr\u00f3jk\u0105t ma boki \\(a = 5\\), \\(b = 7\\) i \\(c = 6\\). Znajd\u017a d\u0142ugo\u015b\u0107 dwusiecznej k\u0105ta mi\u0119dzy bokami \\(a\\) i \\(b\\).<\/p>\n<p>\\[ l = \\sqrt{5 \\cdot 7 \\left(1 - \\frac{6^{2}}{(5+7)^{2}}\\right)} = \\sqrt{35\\left(1 - \\frac{36}{144}\\right)} = \\sqrt{35 \\cdot 0.75} = \\sqrt{26.25} \\approx 5.123 \\]<\/p>\n<p><strong>Wynik:<\/strong> dwusieczna k\u0105ta ma d\u0142ugo\u015b\u0107 oko\u0142o <strong>5,123<\/strong> jednostki.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Jak korzysta\u0107 z kalkulatora<\/h2>\n<ol>\n<li>Wprowad\u017a d\u0142ugo\u015b\u0107 pierwszego boku tworz\u0105cego dzielony k\u0105t w polu <strong>Bok 1<\/strong>.<\/li>\n<li>Wprowad\u017a d\u0142ugo\u015b\u0107 drugiego boku tworz\u0105cego ten k\u0105t w polu <strong>Bok 2<\/strong>.<\/li>\n<li>Wprowad\u017a d\u0142ugo\u015b\u0107 boku naprzeciw tego k\u0105ta w polu <strong>Bok 3<\/strong>.<\/li>\n<li>Kalkulator natychmiast wy\u015bwietla <strong>D\u0142ugo\u015b\u0107 dwusiecznej k\u0105ta<\/strong> \u2014 odcinek od wierzcho\u0142ka mi\u0119dzy Bokiem 1 a Bokiem 2 do boku przeciwleg\u0142ego, zaokr\u0105glony do trzech miejsc po przecinku.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Czym jest dwusieczna k\u0105ta?<\/h2>\n<p>Dwusieczna k\u0105ta w tr\u00f3jk\u0105cie to odcinek, kt\u00f3ry zaczyna si\u0119 w wierzcho\u0142ku, dzieli k\u0105t przy tym wierzcho\u0142ku na dwa r\u00f3wne k\u0105ty i ko\u0144czy si\u0119 na boku przeciwleg\u0142ym. Ka\u017cdy tr\u00f3jk\u0105t ma trzy wewn\u0119trzne dwusieczne k\u0105t\u00f3w, po jednej z ka\u017cdego wierzcho\u0142ka. Wszystkie spotykaj\u0105 si\u0119 w jednym punkcie zwanym \u015brodkiem okr\u0119gu wpisanego w tr\u00f3jk\u0105t.<\/p>\n<p>Dwusieczna ma u\u017cyteczn\u0105 w\u0142asno\u015b\u0107: dzieli bok przeciwleg\u0142y na odcinki proporcjonalne do dw\u00f3ch przyleg\u0142ych bok\u00f3w. Je\u015bli dwusieczna k\u0105ta mi\u0119dzy bokami \\(a\\) i \\(b\\) przecina bok \\(c\\), to oba odcinki boku \\(c\\) pozostaj\u0105 w stosunku \\(a : b\\). Ta w\u0142asno\u015b\u0107, wraz z twierdzeniem cosinus\u00f3w lub twierdzeniem Stewarta, prowadzi wprost do u\u017cytego powy\u017cej wzoru na d\u0142ugo\u015b\u0107.<\/p>\n<p>Znajomo\u015b\u0107 d\u0142ugo\u015bci dwusiecznej bywa istotna w wielu sytuacjach praktycznych: przy konstrukcji tr\u00f3jk\u0105t\u00f3w na lekcjach geometrii, przy sprawdzaniu symetrii w rysunkach architektonicznych i in\u017cynieryjnych, przy obliczaniu p\u00f3l przez podzia\u0142 tr\u00f3jk\u0105ta na dwa mniejsze czy przy rozmieszczaniu element\u00f3w w modelach CAD. Poniewa\u017c wz\u00f3r wymaga tylko trzech d\u0142ugo\u015bci bok\u00f3w, nie trzeba osobno mierzy\u0107 \u017cadnych k\u0105t\u00f3w.<\/p>\n<p>Zwr\u00f3\u0107 uwag\u0119, \u017ce wynik jest zawsze kr\u00f3tszy od obu przyleg\u0142ych bok\u00f3w i nigdy nie mo\u017ce przekroczy\u0107 po\u0142owy sumy \\(a + b\\). Je\u015bli obliczona warto\u015b\u0107 jest bliska jednemu z bok\u00f3w, tr\u00f3jk\u0105t jest prawdopodobnie bardzo \u201ep\u0142aski\u201d w pobli\u017cu tego wierzcho\u0142ka.<\/p>\n<h2>Za\u0142o\u017cenia, ograniczenia i wskaz\u00f3wki<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Kt\u00f3ry k\u0105t jest dzielony:<\/strong> kalkulator zawsze dzieli k\u0105t mi\u0119dzy <strong>Bokiem 1<\/strong> a <strong>Bokiem 2<\/strong>; <strong>Bok 3<\/strong> musi by\u0107 bokiem naprzeciw tego k\u0105ta. Aby podzieli\u0107 inny k\u0105t, odpowiednio zmie\u0144 kolejno\u015b\u0107 danych wej\u015bciowych.<\/li>\n<li><strong>Wymagany poprawny tr\u00f3jk\u0105t:<\/strong> trzy d\u0142ugo\u015bci bok\u00f3w musz\u0105 spe\u0142nia\u0107 nier\u00f3wno\u015b\u0107 tr\u00f3jk\u0105ta \u2014 ka\u017cdy bok musi by\u0107 mniejszy od sumy dw\u00f3ch pozosta\u0142ych. Najpierw sprawd\u017a swoje warto\u015bci <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/nierownosc-trojkata\/\">kalkulatorem nier\u00f3wno\u015bci tr\u00f3jk\u0105ta<\/a>.<\/li>\n<li><strong>Wy\u0142\u0105cznie dodatnie d\u0142ugo\u015bci:<\/strong> wszystkie dane wej\u015bciowe musz\u0105 by\u0107 wi\u0119ksze od zera. Warto\u015bci zerowe lub ujemne nie tworz\u0105 tr\u00f3jk\u0105ta.<\/li>\n<li><strong>Jednostki:<\/strong> wynik jest wyra\u017cony w tych samych jednostkach co dane wej\u015bciowe. Je\u015bli podasz boki w centymetrach, d\u0142ugo\u015b\u0107 dwusiecznej b\u0119dzie w centymetrach.<\/li>\n<li><strong>Tylko dwusieczna wewn\u0119trzna:<\/strong> wz\u00f3r daje dwusieczn\u0105 wewn\u0119trzn\u0105. Dwusieczne zewn\u0119trzne podlegaj\u0105 innemu wzorowi i nie s\u0105 tu obliczane.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Je\u015bli potrzebujesz pracowa\u0107 z samymi k\u0105tami, a nie d\u0142ugo\u015bciami bok\u00f3w, <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/dwusieczna-kata\/\">kalkulator dwusiecznej k\u0105ta<\/a> obs\u0142uguje pokrewne obliczenia k\u0105towe, a <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/kat-miedzy-wektorami-2d\/\">kalkulator k\u0105ta mi\u0119dzy wektorami 2D<\/a> przyda si\u0119, gdy tr\u00f3jk\u0105t jest okre\u015blony wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnymi, a nie d\u0142ugo\u015bciami bok\u00f3w.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Podaj d\u0142ugo\u015bci trzech bok\u00f3w tr\u00f3jk\u0105ta, aby obliczy\u0107 d\u0142ugo\u015b\u0107 wewn\u0119trznej dwusiecznej k\u0105ta \u2014 odcinka, kt\u00f3ry dzieli k\u0105t mi\u0119dzy Bokiem 1 a Bokiem 2 na dwie r\u00f3wne cz\u0119\u015bci.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[41],"class_list":["post-479","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematyka","tag-geometria"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/479","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=479"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/479\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1607,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/479\/revisions\/1607"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=479"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=479"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=479"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}