{"id":644,"date":"2026-10-04T10:43:48","date_gmt":"2026-10-04T09:43:48","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/rownanie-kwadratowe\/"},"modified":"2026-10-04T10:43:48","modified_gmt":"2026-10-04T09:43:48","slug":"rownanie-kwadratowe","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/rownanie-kwadratowe\/","title":{"rendered":"R\u00f3wnanie kwadratowe \u2013 kalkulator"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Rozwi\u0105zywanie r\u00f3wna\u0144 kwadratowych<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"644\" data-favorite-title=\"R\u00f3wnanie kwadratowe\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/rownanie-kwadratowe\/\" data-favorite-excerpt=\"Rozwi\u0105\u017c natychmiast dowolne r\u00f3wnanie kwadratowe ax\u00b2 + bx + c = 0. Wprowad\u017a wsp\u00f3\u0142czynniki a, b i c, a kalkulator wyznaczy oba pierwiastki rzeczywiste lub zespolone, korzystaj\u0105c ze wzoru kwadratowego i wyr\u00f3\u017cnika.\" aria-label=\"Dodaj do ulubionych\" data-favorite-icon=\"icon icon-algebra\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/rownanie-kwadratowe\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-644\" data-post=\"644\"><fieldset class=\"fieldset-input is-3\"><legend class=\"sr-only\">Pola danych<\/legend><div class=\"field\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">a (wsp\u00f3\u0142czynnik przy x\u00b2)<\/label><input type=\"number\" name=\"a_wspczynnik_przy_x\" id=\"field-1\" placeholder=\"1\" step=\"0.01\" value=\"1\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">b (wsp\u00f3\u0142czynnik przy x)<\/label><input type=\"number\" name=\"b_wspczynnik_przy_x\" id=\"field-2\" placeholder=\"-3\" step=\"0.01\" value=\"-3\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">c (wyraz wolny)<\/label><input type=\"number\" name=\"c_wyraz_wolny\" id=\"field-3\" placeholder=\"2\" step=\"0.01\" value=\"2\"\/><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Przelicz ponownie\" id=\"calculate-button\" data-post=\"644\">Oblicz<\/button><button type=\"reset\">Wyczy\u015b\u0107<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Obliczaj automatycznie<\/label><small>Po w\u0142\u0105czeniu wynik aktualizuje si\u0119 automatycznie po zmianie dowolnej warto\u015bci.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Twoje wyniki<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>x\u2081<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>x\u2082<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Kopiuj link do tego obliczenia<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Zostaw komentarz<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"644\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Jak oceniasz ten wynik?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Lubi\u0119 to <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Pomocne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niejasne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Rozczarowanie <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niedok\u0142adne <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Wz\u00f3r na r\u00f3wnanie kwadratowe<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Wz\u00f3r<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>Gdzie:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(a\\) \u2014 wsp\u00f3\u0142czynnik przy \\(x^2\\) (nie mo\u017ce by\u0107 zerem)<\/li>\n<li>\\(b\\) \u2014 wsp\u00f3\u0142czynnik przy \\(x\\)<\/li>\n<li>\\(c\\) \u2014 wyraz wolny<\/li>\n<li>\\(D = b^2 - 4ac\\) \u2014 wyr\u00f3\u017cnik (dyskryminanta), kt\u00f3ry okre\u015bla rodzaj pierwiastk\u00f3w<\/li>\n<\/ul>\n<p>Wz\u00f3r wyznacza dwa rozwi\u0105zania r\u00f3wnania kwadratowego \\(ax^2 + bx + c = 0\\). O rodzaju pierwiastk\u00f3w decyduje wyr\u00f3\u017cnik:<\/p>\n<ul>\n<li>\\(D &gt; 0\\) \u2014 dwa r\u00f3\u017cne pierwiastki rzeczywiste<\/li>\n<li>\\(D = 0\\) \u2014 jeden rzeczywisty pierwiastek podw\u00f3jny, \\(x_1 = x_2 = -\\frac{b}{2a}\\)<\/li>\n<li>\\(D &lt; 0\\) \u2014 dwa sprz\u0119\u017cone pierwiastki zespolone \\(\\frac{-b}{2a} \\pm \\frac{\\sqrt{-D}}{2a}i\\)<\/li>\n<\/ul>\n<p>Szczeg\u00f3\u0142owe om\u00f3wienie wyra\u017cenia pod pierwiastkiem znajdziesz w artykule o <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/wyroznik-rownania-kwadratowego\/\">wyr\u00f3\u017cniku r\u00f3wnania kwadratowego<\/a>.<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>R\u00f3wnanie kwadratowe \u2013 przyk\u0142ad obliczenia<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Przyk\u0142ad:<\/strong> rozwi\u0105\u017c \\(x^2 - 3x + 2 = 0\\), czyli \\(a = 1\\), \\(b = -3\\), \\(c = 2\\).<\/p>\n<p>\\[ D = (-3)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 2 = 9 - 8 = 1 \\]<\/p>\n<p>\\[ x_{1,2} = \\frac{-(-3) \\pm \\sqrt{1}}{2 \\cdot 1} = \\frac{3 \\pm 1}{2} \\]<\/p>\n<p>\\[ x_1 = \\frac{3 + 1}{2} = 2, \\quad x_2 = \\frac{3 - 1}{2} = 1 \\]<\/p>\n<p><strong>Wynik:<\/strong> \\(x_1 = 2{,}0000\\), \\(x_2 = 1{,}0000\\). Sprawdzenie: \\(2^2 - 3 \\cdot 2 + 2 = 0\\) oraz \\(1 - 3 + 2 = 0\\).<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Jak korzysta\u0107 z kalkulatora<\/h2>\n<ol>\n<li>Wprowad\u017a wsp\u00f3\u0142czynnik przy \\(x^2\\) w pole <strong>a (wsp\u00f3\u0142czynnik przy x\u00b2)<\/strong>. Nie mo\u017ce by\u0107 zerem.<\/li>\n<li>Wprowad\u017a wsp\u00f3\u0142czynnik przy \\(x\\) w pole <strong>b (wsp\u00f3\u0142czynnik przy x)<\/strong>.<\/li>\n<li>Wprowad\u017a wyraz wolny w pole <strong>c (wyraz wolny)<\/strong>.<\/li>\n<li>Odczytaj wyniki w polach <strong>x\u2081<\/strong> i <strong>x\u2082<\/strong>. Pierwiastki rzeczywiste s\u0105 wy\u015bwietlane jako liczby dziesi\u0119tne; pierwiastki zespolone pojawiaj\u0105 si\u0119 w postaci \\(p + qi\\) i \\(p - qi\\).<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Czym jest r\u00f3wnanie kwadratowe?<\/h2>\n<p>R\u00f3wnanie kwadratowe to ka\u017cde r\u00f3wnanie, kt\u00f3re mo\u017cna zapisa\u0107 w postaci og\u00f3lnej \\(ax^2 + bx + c = 0\\), gdzie \\(a \\neq 0\\). Wykres odpowiedniej funkcji \\(y = ax^2 + bx + c\\) to parabola: otwiera si\u0119 ku g\u00f3rze, gdy \\(a &gt; 0\\), i ku do\u0142owi, gdy \\(a &lt; 0\\). Pierwiastki rzeczywiste r\u00f3wnania to dok\u0142adnie punkty, w kt\u00f3rych ta parabola przecina o\u015b x, dlatego rozwi\u0105zywanie r\u00f3wna\u0144 kwadratowych jest standardowym sposobem wyznaczania punkt\u00f3w przeci\u0119cia, warto\u015bci maksymalnych lub minimalnych oraz punkt\u00f3w optymalnych w zadaniach praktycznych.<\/p>\n<p>R\u00f3wnania kwadratowe pojawiaj\u0105 si\u0119 w ca\u0142ej algebrze, geometrii, fizyce, in\u017cynierii i ekonomii \u2014 tor lotu pocisku, zadania o polach i wymiarach, optymalizacja przychod\u00f3w i analiza obwod\u00f3w sprowadzaj\u0105 si\u0119 do znajdowania pierwiastk\u00f3w wielomianu drugiego stopnia. Wz\u00f3r kwadratowy dzia\u0142a dla ka\u017cdego r\u00f3wnania kwadratowego, nawet gdy rozk\u0142ad na czynniki jest trudny lub niemo\u017cliwy, co czyni go najbardziej niezawodn\u0105 metod\u0105 rozwi\u0105zywania.<\/p>\n<p>O rodzaju rozwi\u0105za\u0144 decyduje wyr\u00f3\u017cnik \\(D = b^2 - 4ac\\). Je\u015bli kalkulator zwr\u00f3ci dwie r\u00f3\u017cne liczby, parabola przecina o\u015b x w dw\u00f3ch punktach. Je\u015bli oba wyniki s\u0105 r\u00f3wne, parabola jedynie dotyka osi w swoim wierzcho\u0142ku. Je\u015bli w wynikach pojawia si\u0119 \\(i\\), nie ma rozwi\u0105za\u0144 rzeczywistych: parabola nigdy nie osi\u0105ga osi x, a oba pierwiastki s\u0105 <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/liczba-sprzezona\/\">liczbami sprz\u0119\u017conymi zespolonymi<\/a>. Takie warto\u015bci mo\u017cesz dalej analizowa\u0107 za pomoc\u0105 <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/kalkulator-liczb-zespolonych\/\">kalkulatora liczb zespolonych<\/a>.<\/p>\n<h2>Za\u0142o\u017cenia, ograniczenia i wskaz\u00f3wki<\/h2>\n<ul>\n<li>Wsp\u00f3\u0142czynnik \\(a\\) musi by\u0107 r\u00f3\u017cny od zera. Je\u015bli \\(a = 0\\), r\u00f3wnanie jest liniowe, a nie kwadratowe, i kalkulator wy\u015bwietli komunikat \u201eTo nie jest r\u00f3wnanie kwadratowe\u201d.<\/li>\n<li>Wyniki s\u0105 zaokr\u0105glane do 4 miejsc dziesi\u0119tnych. W celach praktycznych to wi\u0119cej ni\u017c wystarczaj\u0105ce, ale pami\u0119taj o zaokr\u0105gleniu, je\u015bli podstawiasz pierwiastki z powrotem do r\u00f3wnania wyj\u015bciowego w celu weryfikacji.<\/li>\n<li>Je\u015bli twoje r\u00f3wnanie nie jest w postaci og\u00f3lnej, najpierw je przekszta\u0142\u0107: przenie\u015b wszystkie wyrazy na lew\u0105 stron\u0119 tak, aby \\(ax^2 + bx + c = 0\\), i dopiero wtedy odczytaj wsp\u00f3\u0142czynniki. Uwa\u017caj na znaki \u2014 wpisanie \\(-3\\) zamiast \\(3\\) jako \\(b\\) zupe\u0142nie zmienia odpowied\u017a.<\/li>\n<li>Szybki spos\u00f3b sprawdzenia wyniku: zgodnie ze wzorami Vi\u00e8te'a \\(x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\) oraz \\(x_1 x_2 = \\frac{c}{a}\\). Je\u015bli oba warunki s\u0105 spe\u0142nione, pierwiastki s\u0105 poprawne.<\/li>\n<li>Dla wielomian\u00f3w wy\u017cszych stopni wypr\u00f3buj <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/rownanie-trzeciego-stopnia\/\">kalkulator r\u00f3wna\u0144 trzeciego stopnia<\/a> lub <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/rownanie-czwartego-stopnia\/\">kalkulator r\u00f3wna\u0144 czwartego stopnia<\/a>. Je\u015bli najpierw chcesz rozwin\u0105\u0107 posta\u0107 iloczynow\u0105 do postaci og\u00f3lnej, przyda si\u0119 <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/matematyka\/metoda-foil\/\">kalkulator metody FOIL<\/a>.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Rozwi\u0105\u017c natychmiast dowolne r\u00f3wnanie kwadratowe ax\u00b2 + bx + c = 0. Wprowad\u017a wsp\u00f3\u0142czynniki a, b i c, a kalkulator wyznaczy oba pierwiastki rzeczywiste lub zespolone, korzystaj\u0105c ze wzoru kwadratowego i wyr\u00f3\u017cnika.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[16],"class_list":["post-644","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematyka","tag-algebra"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/644","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=644"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/644\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2405,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/644\/revisions\/2405"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=644"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=644"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=644"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}